（人教A版）高二数学下学期期中复习考点题型讲练 专题06离散型随机变量的数字特征（2个知识点1个拓展1个突破6种题型2个易错点）（解析版）

专题06离散型随机变量的数字特征（2个知识点1个拓展1个突破6种题型2个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.离散型随机变量的均值知识点2.离散型随机变量的方差拓展：离散型随机变量均值与方差的定义与性质突破：均值与方差在决策中的应用【方法二】实例探索法题型1.求离散型随机变量的均值（数学期望）题型2.离散型随机变量均值的性质题型3.离散型随机变量均值的应用题型4离散型随机变量的方差题型5.离散型随机变量方差的性质题型6.离散型随机变量的方差的应用【方法三】差异对比法易错点1.求随机变量的均值时因分布列不准确致误易错点2.错用公式致误【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.离散型随机变量的均值一离散型随机变量的均值1．离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望．2．离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．3．离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.思考离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？答案(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．二、两点分布的均值如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.例1．（2023上·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1则；.【答案】2.810.4【分析】由期望的计算公式及即可得.【详解】,.故答案为：2.8；10.4.知识点2.离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列如表所示．Xx1x2…xnPp1p2…pn我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称eq\r(DX)为随机变量X的标准差(standarddeviation)，记为σ(X)．二、离散型随机变量方差的性质1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．2．D(c)＝0(其中c为常数)．例2.（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先找出X的取值可能，计算每种可能的概率后结合方差定义计算即可得.【详解】由题意可知，X的取值可能为，，，因为，，，所以，故．故选：B.拓展：离散型随机变量均值与方差的定义与性质3．（2024·全国·高三专题练习）已知X的分布列为X01P则下列结论正确的是（

）．A． B． C． D．【答案】AC【分析】求出、的值，可判断A、B选项的正误，利用均值和方差的性质可判断B、D选项的正误.【详解】对A：由，知A正确；对B：由，知B错误；对C、D：因为的分布列为所以，故C正确；，故D错误．故选：AC.突破：均值与方差在决策中的应用4．（2021上·重庆黔江·高三重庆市黔江中学校校考阶段练习）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；(2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成.【答案】(1)(2)方案二，理由见解析【分析】（1）由古典概型结合组合数公式求解；（2）分别求解两方案的均值和方差比较可得结果【详解】（1）设顾客的奖励额为X,依题意得（2）根据方案一，设顾客的奖励额为其可能取值为30，，30m60，90，，根据方案二，设顾客的奖励额为其可能取值为40，60，80，，商场对奖励总额的预算是30000元，故每个顾客平均奖励额最多为60，两方案均符合要求，但方案二奖励的方差比方案一小，所以应选择方案二【方法二】实例探索法题型1.求离散型随机变量的均值（数学期望）1．（2023下·北京怀柔·高二校考期中）已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则.【答案】17【分析】求出可能取值，求出相应的概率，得出的分布列，即可求出期望.【详解】由题意可得：的可能取值为，用隔板法可求得：事件总情况为种，若，三个正整数为或，则有种，故；若，三个正整数为或，则有种，故；若，三个正整数为或，则有种，故；若，三个正整数为，则有种，故；若，三个正整数为，则有种，故；故的分布列为：45678故.所以故答案为：.题型2.离散型随机变量均值的性质2．多选题（2023上·高二课时练习）随机变量和，其中，且，若的分布列如表：X1234Pmn则下列正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先利用均值的性质根据求出，再根据分布列求出随机变量的均值和的值，联立即可求解.【详解】根据分布列可知①，因为，所以，解得，又由分布列可得，整理得②，①②联立解得，，故选：BCD题型3.离散型随机变量均值的应用3．（2024上·山东滨州·高三统考期末）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．(1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率；(2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物．若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？【答案】(1)(2)小明应该选择方案一【分析】（1）根据古典概型求取概率；（2）分别分析两种方案的分布，然后求取期望值比较；【详解】（1）设小明第3次购买是恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为，则分为有空盒和无空盒两种情况，．（2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为．的可能取值为80，110．则，．所以．方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为．依题意，的可能取值为70，100，130，则，，．所以．因为．所以小明应该选择方案一．题型4离散型随机变量的方差2．单选题（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知随机变量，满足，且，则（

）A．16 B．8 C．4 D．【答案】B【分析】由方差的性质求解即可.【详解】由题可知.故选：B.题型5.离散型随机变量方差的性质5．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为．【答案】/【分析】结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得.【详解】由题意可知，X服从两点分布，可得，，，则，当且仅当，即时，等号成立，故最大值为．故答案为：.题型6.离散型随机变量的方差的应用6．（2023上·安徽·高三安徽省怀远第一中学校联考阶段练习）投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示．表1

股票甲收益的分布列收益X（元）02概率0.10.30.6表2

股票乙收益的分布列收益Y（元）012概率0.30.40.3关于两种股票，下列结论正确的是（

）A． B．C．投资股票甲的期望收益较大 D．投资股票甲比投资股票乙风险高【答案】ACD【分析】计算期望以及方差，从而由期望和方差的意义判断CD，由方差和期望的性质判断AB.【详解】，，，，则投资股票甲的期望收益较大，投资股票甲比投资股票乙风险高.，．故选：ACD【方法三】差异对比法易错点1.求随机变量的均值时因分布列不准确致误1．（2023上·四川雅安·高三校联考期中）为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的，，三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换，，三种商品的概率分别为，，，乙兑换，，三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立.(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；(2)记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【分析】（1）应用独立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；（2）根据题设确定的可能取值并确定对应概率，即可写出分布列，进而求期望.【详解】（1）由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为；（2）由题意，兑换，，三种商品所需的积分分别为800，900，1000，则的取值可能为0，100，200，300，400，，，，，，则的分布列为0100200300400.易错点2.错用公式致误2．多选题（2023·浙江台州·统考二模）已知,随机变量的分布列为:则(

)A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据期望方差的相关公式，以及判断,再举特例判断D即可.【详解】因为,所以错，因为,所以对，因为，所以,所以,所以对，举特例来说明错,取，则，，，,所以错.故选:BC【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023·高二课时练习）两点分布也叫分布，已知随机变量服从参数为的两点分布，则下列选项中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由两点分布的定义即可判断A、B选项；由期望和方差公式即可判断C、D选项.【详解】由参数为的两点分布知，故A、B正确；，C正确；，D错误.故选：D.2．（2022下·广东广州·高二统考期末）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)X0123P0.20.30.4a则下列计算结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由概率之和为1可判断A，根据分布列计算可判断B,C,D.【详解】因为，解得，故A错误；由分布列知，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.3．（2021下·全国·高三校联考阶段练习）已知随机变量的分布列是01随机变量的分布列是123以下错误的为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分布列的性质，以及概率的计算和期望的计算公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确．对于B中，，所以B正确．对于C中，，，所以，所以C错误．对于D中，，，，，，计算得，所以，所以D正确.故选：C．4．（2021·高二课时练习）已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝（）A．6 B．8C．18 D．20【答案】C【分析】根据方差公式，即可计算.【详解】∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.故选:C.5．（2020下·全国·高二校联考阶段练习）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球且，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中，放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，求得的分布列，并根据分布列求得数学期望，即可比较大小；结合已知条件，结合期望的性质即可判断选择.【详解】从乙盒中取1个球时，取出的红球个数记为，则的所有可能取值为0，1，则，，所以；从乙盒中取2个球时，取出的红球数记为，则的可能取值为0，1，2，则，，，所以所以，故A项正确；，因为，所以，所以，所以，所以，即，故C项正确；而，，得，即，故D项错误；，故B项正确；故选：D.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，涉及期望的性质，属综合中档题.6．（2021下·高二课时练习）设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a为常数，则A．a= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=【答案】B【分析】利用概率的性质列方程可求得，根据分布列和期望公式可求出、、，从而可得答案.【详解】因为a(1+2+3+4)=1，所以a=，所以P(X>)=+，P(X<4a)=P(X<)=，E(X)=×+×+×+×.故选：B.【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.7．（2021下·高二课时练习）设，，随机变量X的分布列如表：则当内增大时（

）Xa1bPA．增大 B．减小C．先增大后减小 D．先减小后增大【答案】B【分析】先求出，利用方差的定义建立，利用二次函数单调性判断出的变化.【详解】由题意：，∵，∴.∴又，∴，∴∴当时，单调递减，即当内增大时减小.故选：B8．（2020上·浙江温州·高三温州中学校考阶段练习）若随机变量X满足，N为正整数，则当时，的值最接近（

）A．0 B． C． D．1【答案】C【解析】由期望公式计算出期望，计算可得近似值．【详解】，显然，当时，的值最接近．故选：C．【点睛】本题考查随机变量的均值，掌握随机变量的概率分布列与期望的关系是解题基础．二、多选题9．（2023下·山东烟台·高二统考期中）在平面直角坐标系的第一象限内随机取一个整数点，若用随机变量表示从这个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，表示，同时发生的概率，则（

）A．当时，B．当时，C．当时，的均值为D．当（且）时，【答案】ACD【分析】利用条件概率公式可判断A选项；列举出满足的点的坐标，利用古典概率公式可判断B选项；利用离散型随机变量的期望公式可判断C选项；列举出满足，的点的坐标，利用古典概型的概率公式可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，整数点共个，则，由得，即满足，的点的坐标为，所以，，A对；对于B选项，当时，整数点共个，满足的整数点为，，则，B错；对于C选项，当时，的分布列如下表所示：的可能取值有、、、、、、，满足的点为，则，满足的点为、，则，满足的点为、、，则，满足的点为、、、，则，满足的点为、、，则，满足的点为、，则，满足的点为，则，故当时，，C对；对于D选项，满足的解为，则，D对.故选：ACD.10．（2020·全国·校联考模拟预测）新冠肺炎疫情发生后，我国加紧研发新型冠状病毒疫苗，某医药研究所成立疫苗研发项目，组建甲、乙两个疫苗研发小组，且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为.该研发项目的奖金为100万元，分配方案是：若只有某一小组研发成功，则该小组获得全部奖金；若两个小组都研发成功，则平分全部奖金；若两个小组均未研发成功，则均不获得奖金.则（

）A．该研究所疫苗研发成功的概率为B．乙小组获得全部奖金的概率为C．在疫苗研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为D．甲小组获得奖金的期望值为60万元【答案】AC【分析】于A和B选项，可利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解并判断；对于C选项，可利用条件概率的计算公式求解判断；对于D选项，可先写出甲小组获得奖金数的可能取值，求出分布列，再计算期望值，进而判断即可.【详解】对由题，当甲、乙两个小组至少有一个小组研发成功时，该研究所疫苗研发成功，其概率为，故A选项正确；乙小组获得全部奖金，即甲小组没有研发成功，而乙小组研发成功，概率为，故B选项错误；设事件A为“疫苗研发成功”，事件B为“甲小组研发成功”，则，故C选项正确；设甲小组获得的奖金数为（单位：万元），则的可能取值为0，50，100，且，，，所以，故D选项错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查概率问题，关键考查建模能力，理解题意，正确转化为概率模型求解，试题从实际生活中的场景出发，对新型冠状病毒疫苗研发情况进行分析，需要考生选择随机变量刻画随机现象，并利用所学知识解决实际问题，体现对理性思维、数学应用、数学探索学科素养的考查.11．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过，第一次从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中，记此时盒子中已使用过的球的个数为，第二次从盒子中任取2个球，设其中新球的个数为随机变量，则（

）A．的所有可能取值是3，4，5 B．C． D．【答案】ACD【分析】求出的所有可能取值及对应的概率，求出期望可判断A、B；根据条件概率公式可判断C；根据全概率公式可判断D.【详解】由题意得，的所有可能取值是3，4，5，故A正确；，，，则，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD12．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）在平面直角坐标系的第一象限内随机取一个整数点，若用随机变量表示从这个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，表示，同时发生的概率，则（

）A．当时，B．当时，C．当时，的均值为D．当（且）时，【答案】ACD【分析】利用条件概率公式可判断A选项；列举出满足的点的坐标，利用古典概率公式可判断B选项；利用离散型随机变量的期望公式可判断C选项；列举出满足，的点的坐标，利用古典概型的概率公式可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，整数点共个，则，由得，即满足，的点的坐标为，所以，，A对；对于B选项，当时，整数点共个，满足的整数点为，，则，B错；对于C选项，当时，的可能取值有、、、、、、、、，此时，样本点共个，满足的点为，则，满足的点为、，则，满足的点为、、，则，满足的点为、、、，则，满足的点为、、、、，则，满足的点为、、、，则，满足的点为、、，则，满足的点为、，则，满足的点为，则，故当时，，C对；对于D选项，满足的解为，则，D对.故选：ACD.三、填空题13．（2022上·高二课时练习）已知随机变量的分布列如表:X-10bPab若X的数学期望，则.【答案】【分析】根据分布列的性质和期望的计算公式，列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】根据题意，可得，解得，所以.故答案为：.14．（2022下·北京·高二首都师范大学附属中学校考期中）从3台甲型彩电和2台乙型彩电中不放回地抽3次，每次抽取1台，设抽取的乙型彩电台数为，则．【答案】/1.2【分析】确定的取值，计算每个取值的概率，可得分布列，求得期望.【详解】设抽取的乙型彩电台数为，取值可能为：0,1,2，则则，，；所以的分布列为：012；故答案为15．随机变量的概率分布为，其中是常数，则．【答案】【分析】根据随机变量分布列概率和为1求出，求出，再由方差性质，即可求解.【详解】由题意得，则，∴，，，则，，∴.故答案为:【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质、期望、方差以及方差的性质，考查计算求解能力，属于中档题.16．（2021·全国·高二专题练习）已知随机变量的分布列如下表：01其中，则的最大值是.【答案】【分析】求出随机变量的均值，再由公式表示出，结合基本不等式可得，结合二次函数得性质即可得解.【详解】由题意，，则，，所以又当且仅当，即时取等号，所以，所以所以，故的最大值是.故答案为：.四、解答题17．（2022下·重庆九龙坡·高二四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大?(2)从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差；(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好时的概率（不用化简）及Y的方差.【答案】(1)(2)，(3)，【分析】（1）由条件概率公式计算即可得解；（2）由题意可得的所有可能取值分别为：0，1，2，分别求出对应的概率，即可得分布列，从而求出期望与方差；（3）由已知可得，由二项分布的概率和方差公式计算即可得解．【详解】（1）解：设“这位小学生佩戴眼镜”为事件，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，所以，所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是．（2）解：依题意可知：其中男生人数的所有可能取值分别为：0，1，2，其中：；；，所以男生人数的分布列为：012所以，（3）解：由已知可得：，则：，，18．（2024·吉林白山·统考一模）俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为．(1)求出随机变量的分布列，并求出期望及方差；(2)求张老师当天穿西装的概率．【答案】(1)分布列见解析；，(2)【分析】（1）结合古典概型即可写出分布列，进而可求期望与方差；（2）结合条件概率即可求解.【详解】（1）将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种，掷出的点数之和是3的倍数有：，12种；则掷出的点数之和不是3的倍数有24种，随机变量的取值为0，1，，所以的分布列为：01．；（2）设表示深色，则表示穿浅色，表示穿西装，则表示穿休闲装．根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为，穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为，则当天穿西装的概率为．所以张老师当天穿西装的概率为．19．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）为了推动足球运动的发展，某足球比赛允许不同俱乐部的运动员参加．现有来自甲俱乐部的运动员4名，其中知名选手2名；乙俱乐部的运动员5名，其中知名选手3名．从这9名运动员选择5名参加比赛．(1)求选出的5人中恰有2人是知名选手，且这2名知名选手来自同一俱乐部的概率；(2)设随机变量X为选出的5人中知名选手的人数，求X的分布列与数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）结合概率公式计算即可得；（2）根据随机变量X的可能取值逐一计算相应概率可得分布列，即可得期望.【详解】（1）设“选出的5人中恰有2人是知名选手且这2名知名选手来自同一俱乐部”为事件A，则；（2）由题意可知，X的取值可能为1，2，3，4，5．，，，，，所以随机变量X的分布列为X12345P.20．（2023上·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求随机变量的概率分布、数学期望和方差．【答案】分布列见解析，均值为，方差为.【分析】求出的可能取值以及对应的概率，进而列出分布列，根据期望与方差的概念即可求出结果.【详解】依题意，的所有