2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高一（下）期中数学试卷 （含解析）

2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分。1．扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是．2．已知点，，若点满足，则点的坐标为．3．向量在向量方向上的数量投影为．4．函数的单调增区间是．5．在三角形中，是上靠近点的三等分点，为中点，若，则．6．在上的最大值为．7．向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是．8．在△中，角、、的对边分别为、、，，则角．9．已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是．10．平面，，上三点的坐标分别是，，．小林同学在点处休息，进而小猫沿着所在直线来回跑动，小猫离小林同学最近时的坐标为．11．矩形中，，，动点满足，，，，，则下列说法中正确的是．①若，则△的面积为定值；②若，则的最小值为4；③若，则满足的点不存在；④若，，则△的面积为．12．在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13．下列函数中，最小正周期为的奇函数是A． B． C． D．14．已知，，则A． B． C． D．15．是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心16．若非零不共线的向量，满足，则A． B． C． D．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．已知平面向量，满足，，且．（1）求向量，的夹角；（2）若，求实数的值．18．某同学用“五点法“画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：0010（1）请直接写出表中，的值，并求出函数的解析式和最小正周期；（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．19．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中为圆心，直径的长为，，两点在半圆弧上，且，设；（1）当时，求四边形的面积．（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求出的最大值．20．（18分）已知函数的图象如图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值．（1）求参数的值；（2）若，求向量与向量的夹角；（3）若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围．21．（18分）个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．（2）证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．（3）已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．

参考答案一．选择题（共4小题）题号13141516答案BBDC一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分。1．扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是．解：扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，所以该扇形的面积．故答案为：．2．已知点，，若点满足，则点的坐标为．解：设点的坐标是，由，，可得，，又，则有，，，即，解得．故答案为：．3．向量在向量方向上的数量投影为．解：向量，，，，所以在方向上的数量投影为．故答案为：．4．函数的单调增区间是，，．解：对于函数，令，，求得，，可得函数的单调增区间为，，．故答案为：，，．5．在三角形中，是上靠近点的三等分点，为中点，若，则．解：因为为中点，所以，因为是上靠近点的三等分点，所以，所以，因为，所以．故答案为：．6．在上的最大值为．解：函数，由于，故，当时，函数取得最大值为．故答案为：．7．向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是．解：，，且，解得且，故实数的取值范围是．故答案为：．8．在△中，角、、的对边分别为、、，，则角或．解：由，因为，可得，因为，可得，所以或．故答案为：或．9．已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是．解：当时，而，则，因为函数在上有且仅有3个极值点，则，解得，所以的取值范围是．故答案为：．10．平面，，上三点的坐标分别是，，．小林同学在点处休息，进而小猫沿着所在直线来回跑动，小猫离小林同学最近时的坐标为．解：因为点，，所以，所以直线的方程为，即，由题意知，小猫离小林同学最近时所在位置的点与的连线与垂直，设，则，所以，解得，所以点．故答案为：．11．矩形中，，，动点满足，，，，，则下列说法中正确的是①③④．①若，则△的面积为定值；②若，则的最小值为4；③若，则满足的点不存在；④若，，则△的面积为．解：对于①，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上，在△中，以为底边，高为点到的距离，所以为定值，故①正确；对于②，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上，当位于点处时，有最小值2，故②错误；对于③，当时，取的中点，的中点，连接，此时点位于上，如图点与重合，此时、夹角为，同理，若点与重合，此时、夹角也为，若不与、重合，设、夹角为，则，因为、，所以，，又因为，，所以，由题意知，，，，的夹角为，所以，又因为、夹角为，所以，因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以、夹角为锐角，综上，无论怎么移动，，都不会垂直，故③正确；对于④，当，时，由向量加法的平行四边形法则作图，此时到的距离为，所以，故④正确．故答案为：①③④．12．在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是，．解：如图，以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立平面直角坐标系，则，，，设，可得，则，令，，，可得，，，的取值范围是，．故答案为：，．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13．下列函数中，最小正周期为的奇函数是A． B． C． D．解：函数、的最小正周期为，不正确；函数是偶函数，不正确，是奇函数，且最小正周期为，正确．故选：．14．已知，，则A． B． C． D．解：因为，，所以，所以，则．故选：．15．是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解：如图所示，过点作，垂足为点．则，同理，动点满足，．，．，，因此的轨迹一定通过的垂心．故选：．16．若非零不共线的向量，满足，则A． B． C． D．解：，，是非零向量，必有，上式中等号不成立，，故选：．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．已知平面向量，满足，，且．（1）求向量，的夹角；（2）若，求实数的值．解：（1）根据题意，，则，变形可得，又由，则；（2）根据题意，由（1）的结论，，则，若，则，解可得：，故，18．某同学用“五点法“画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：0010（1）请直接写出表中，的值，并求出函数的解析式和最小正周期；（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．解：（1）根据表中的数据，得，，又，，函数的解析式为，令，解得，可得，数据补全如下表：00100则，最小正周期为（2），，，关于的方程在上有两个不同的实数解，则与的图象有两个交点，作出两函数的图象如图所示：结合函数图像可知．实数的取值范围为．19．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中为圆心，直径的长为，，两点在半圆弧上，且，设；（1）当时，求四边形的面积．（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求出的最大值．解：（1）连接，则，，四边形的面积为；（2）由题意，，，，令，则，，时，即，的最大值为5．20．（18分）已知函数的图象如图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值．（1）求参数的值；（2）若，求向量与向量的夹角；（3）若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围．解：（1）由题意可得在处取得最小值，则，，所以，，因为，则；（2）由题意，可得，则，，，则，，所以，，，设向量与向量的夹角为，则，因为，，所以；（3），，，因为是上动点，设，，，则，易知，在或处有最小值，在或处有最大值，所以当或时，有最小值，即当在或时，有最小值，此时或，若，则，，所以，又，解得，若，则，，所以，又，解得，综上可得．21．（18分）个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．（2）证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．（3）已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．解：（1）依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为：，1，1，，，，1，，，1，，，，1，