(29)-专题29 方阵问题

专题29方阵问题

考点聚焦

重点速记

将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类

问题就叫做方阵问题．

数量关系：

（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数=（每边人数-1）×4

每边人数=四周人数÷4+1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数=每边人数×每边人数

空心方阵：总人数=（外边人数）2-（内边人数）2

内边人数=外边人数-层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数=（每边人数-层数）×层数×4．

真题专练

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．（2分）四年级组成了一个正方形队列，准备参加学校课间操比赛，由于服装不够，只好

减少33人，使横竖各减少一排，四年级原来准备()人参加比赛．

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A．1089B．1024C．289D．196

2．（2分）为庆祝国庆60周年，学校排练团体操，六年级学生排成方阵，最外层每边（含

顶点）站了12人，最外层一共有多少名学生？算式是()

A．12´4B．(12-1)´4C．12´2+11´2

3．（2分）在学校组织的“庆六一”团体操表演中，当表演方队是一个正方形时，小芳的位

置用数对表示是(6,8)，参加团体操表演的至少有()人。

A．64B．48C．36D．24

4．（2分）某学校的全体学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是108人，问这个方阵共有

多少人()

A．748B．752C．729D．784

5．（2分）观察下面3个图形的规律，按这样的规律排列，第8个图形有()个．

A．24B．28C．32

6．在一个正方形花坛四周种树，每边种5棵（四个顶点也要种），一共要种()棵．

A．20B．28C．16D．15

7．（2分）若干名学生排成8列长方形队列，若增加120人或减少120人，都能组成一个新

的正方形队伍，那么原来学生有()人

A．902B．136C．240

8．参加体操表演的同学站成一个方阵，最外层每一边各站了20人，最外层一共有()人．

A．80B．78C．76D．74

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．（2分）图中第5个长方形有个点，第10个长方形点子总数是个。

10．（2分）学校武术队举行队列表演，排成一个方阵。小华站在最中间一列，最中间一行，

他的位置是(4,4)。这个方阵一共有人，最外圈有人。

11．（2分）团体操方阵表演，最外层每边15人，最外层一共有人，这个方阵一共有

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人。

12．（2分）学校舞蹈队举行队列表演，排成一个方阵。小刚站在最中间一列，最中间一行，

他的位置是(4,4)。这个方阵一共有人，最外圈有人。

13．（2分）“五一”国际劳动节，广场中央摆放着一个正六边形的鲜花图案，如图所示，

已知第一层摆黄色花，第二层摆红色花，第三层摆紫色花，第四层摆黄色花¼由里向外依次

按黄、红、紫的颜色摆放，那么第10层应摆盆花．

14．（2分）小明排在一个正方形方阵队伍中，无论从方阵的哪一面看，他的位置都能用数

对(6,6)表示，这个方阵共有人，最外圈有人。

15．（2分）小明排在一个正方形方阵队伍中，无论从方阵的哪一面看，他的位置都能用数

对(4,4)表示，这个方阵共有人。

16．（2分）在迎奥运团体操表演中，某校组成了横排和竖排人数相等且总人数是225人的

方阵，这个方阵最外层的学生共有人．

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

17．（2分）三年（1）班有学生39人，减少4人就可以排成方队．．

18．（2分）团体操方阵表演，最外层每边15人，最外层一共有60人。

19．（2分）用同样大小的黑、白两种小方砖铺一张正方形桌面，桌面的两条对角线铺黑色

的小方砖，其余的都铺白色小方砖，如图所示．铺满这张桌面恰好用了93块黑色小方砖，那

么用白色小方砖的块数是2116块．．

20．（2分）围棋盘的最外层每边能放19个棋子．最外层一共可以摆放76个棋子．．

四．解答题（共10小题，满分60分，每小题6分）

21．（6分）36名学生在操场上做游戏．大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都

有人．每边各有几名学生？

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22．（6分）有一队士兵，排成了一个实心方阵，最外层一周共有240人，这个方阵最外层

每边有多少人？

23．（6分）六一儿童节同学们表演节目，希望小学四年级的同学原准备排成一个正方形队

列，实际排队时将原正方形队列横竖各减少了1排，这样共去掉27人。问：四年级原来准备

列队的有多少人？

24．（6分）学校运动会要表演团体操，要求表演的同学排成一个实心的方阵，并且在表演

的过程中变换出几种不同的方阵。现在已经有97位同学报名参加。这个人数是否可行？为什

么？如果不行，可以怎样调整？

25．（6分）“六一”儿童节那天，学校举行团体操表演．四年级学生排成一个实心方阵，

最外层每边站了13个人，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？

26．（6分）2009年10月1日，为庆祝新中国60华诞，天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，

共有56个方队通过天安门广场接受祖国和人民的检阅．其中徒步方队12个，每个方队有14

行，每行25人．徒步方队一共有多少人？

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27．（6分）在迎接神七返回的庆祝活动中，瑞金三中的同学们朝气蓬勃地扭着秧歌，排成

了两个正方形阵，每一边有20人，在每个方阵的中心空出了36人的正方形空地，你能算出

这个队伍的人数吗？

28．（6分）学校体操队同学站成一个方阵表演体操，每一横行和每一竖列的人数相同，都

是32人，学校体操队共有多少人？最外一圈每人拿一个花环，一个要准备多少花环？

29．（6分）我们学校在庆六一活动中，开展了大型的文艺汇演，为了把会场装扮得更加美

观，准备在正方形会场的四周插上56面彩旗，每边彩旗相等．四个顶点都有彩旗，请你计算

一下每边各需要有多少彩旗？

30．（6分）教室里有很多桌子，都整齐地排列着，每列桌子数相等，每排的桌子数相等，

小秋的桌从前面数第3张，从后面数第4张，他的左边有3张，右边有1张，小秋的教室一

共有多少张？

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专题29方阵问题

参考答案

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．【分析】根据题干，一共去掉了33人，那么原来的方阵的每边人数是(33+1)¸2=17人，

据此利用每边人数´每边人数即可求出总人数．

【解答】解：原来的方阵的每边人数是(33+1)¸2=17（人)，

17´17=289（人)

答：四年级原来准备289人参加表演．故选：C．

【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数-1)´4，每边的人数=四周的

人数¸4+1，中实方阵的总人数=每边的人数´每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每

边的人数-空心方阵的层数）´空心方阵的层数´4，外层边长数2-中空边长数2=实面积数．

2．【分析】最外层人数=每边人数´4-4=（每边人数-1)´4；代入数据即可解答．

【解答】解：最外层一共有：

(12-1)´4=44（人)

答：最外层一共有44人．故选：B．

【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数=每边点数´4-4的灵活应用．

3．【分析】小芳的位置用数对表示是(6,8)，即小芳在第6列第8行，因为方队是一个正方形，

列数与行数相等，所以最少有8行8列，根据方阵总点数=每边点数´每边点数，由此计算即

可。

【解答】解：8´8=64（人)

答：参加团体操表演的至少有64人。故选：A。

【点评】此题考查数对表示物体位置的方法和“方阵总点数=每边点数´每边点数”应用。

4．【分析】方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可知：每

边人数=四周人数¸4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以

求了。

【解答】解：方阵最外层每边人数：108¸4+1=28（人)

整个方阵共有学生人数：28´28=784（人)

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答：这个方阵共有784人。故选：D。

【点评】此题考查了方阵问题中：总点数=每边点数´每边点数；最外层四周点数=（每边点

数-1)´4的灵活应用。

5．【分析】每边圆圈的个数=图形顺序+1；再利用方阵最外层四周点数=每边点数´4-4计

算出最外层四周圆圈数即可．

【解答】解：(8+1)´4-4

=36-4

=32（人)

答：第8个图形有32个．故选：C．

【点评】此题考查了方阵问题中：总点数=每边点数´每边点数；最外层四周点数=每边点数

´4-4的灵活应用．

6．【分析】根据公式“最外层四周点数=每边点数´4-4”代入数据解答即可．

【解答】解：5´4-4

=20-4

=16（棵)

答：四周共种了16棵．故选：C．

【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数=每边点数´4-4的灵活应用．

7．【分析】根据题干可知，设原来每一列中有n人，则8列一共有8n人，增加120人后组成

一个方阵：总人数(8n+120)人可以表示为：a2；减少120人后组成一个方阵：总人数(8n-120)

可以表示为：b2，这里a和b一定都是4的倍数；由此可得：a2-b2=240，由此利用平方差公

式可以变形为：(a+b)(a-b)=240，由此利用240的因数情况进行讨论推理，得出a、b的值

即可解决问题。

【解答】解：设原来每一列中有n人，则8列一共有8n人，

增加120人后组成一个方阵：总人数为：8n+120=a2；

减少120人后组成一个方阵：总人数为：8n-120=b2，这里a和b一定都是4的倍数；

由此可得：a2-b2=240，

所以(a+b)(a-b)=240，

240=2´2´2´2´3´5=60´4=20´12，所以：

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当a=32，b=28时，满足(32+28)(32-28)=240，

则8n=322-120=1024-120=904（人)，即原有904人；

当a=16，b=4时，满足(16+4)(16-4)=240，

则8n=162-120=256-120=136，即原有136人；

所以原有是904人或是136人。故选：B。

【点评】方阵问题中：总人数都是完全平方数，此题关系复杂，需要学生认真审题，找准等

量关系利用平方差公式和合数分解质因数的方法灵活解答。

8．【分析】最外层每边站20人，要求最外层一共有多少人，根据最外层人数=每边人数

´4-4；代入数据即可解答．

【解答】解：20´4-4

=80-4

=76（名)

答：最外层一共有76人．故选：C．

【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数=每边点数´4-4的灵活应用．

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．【分析】注意观察前三个图形中圆点的个数可以发现分别为：4、8、12，后一个图形中的

圆点个数比前一个图形中圆点多4，即每边的点数多1，所以可得圆点的总数与每边上的圆点

数之间的关系用字母表示为：S=4n-4(n表示每边的点数）；也可直接根据“空心方阵的四

周点数=每边点数´4-4”解答。

【解答】解：根据分析可得，

(5+1)´4-4

=24-4

=20（个)

(10+1)´4-4

=44-4

=40（个)

答：图中第5个长方形有20个点，第10个长方形点子总数是40个。

故答案为：20；40。

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【点评】此题属于空心方阵问题，空心方阵的四周点数=每边点数´4-4。

10．【分析】由“小华站在最中间一列，最中间一行”可知，一共有(4´2-1)列，(4´2-1)行，

据此用行数乘列数，即可计算出这个方阵的人数；然后再利用方阵最外层四周人数=每边人

数´4-4计算出最外层四周人数即可。

【解答】解：4´2-1

=8-1

=7（人)

7´7=49（人)

7´4-4

=28-4

=24（人)

答：这个方阵一共有49人，最外圈有24人。故答案为：49，24。

【点评】解答此题的关键是弄清方阵的列数、行数，即方阵每边的人数。

11．【分析】最外层人数=每边人数´4-4；实心方阵中总人数=每边人数´每边人数；代入

数据即可解答.

【解答】解：15´4-4

=60-4

=56（名)

15´15=225（名)

答：最外层一共有56人，这个方阵一共有225人。故答案为：56，225。

【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数=每边点数´4-4；实心方阵中总点数=每边点

数´每边点数的灵活应用。

12．【分析】由“小刚站在最中间一列，最中间一行”可知，他们班一共有(4´2-1)列，(4´2-1)

行，据此用行数乘列数，即可计算出这个方阵的人数；然后再利用方阵最外层四周人数=每

边人数´4-4计算出最外层四周人数即可。

【解答】解：4´2-1

=8-1

=7（人)

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7´7=49（人)

7´4-4

=28-4

=24（人)

答：这个方阵一共有49人，最外圈有24人。故答案为：49，24。

【点评】解答此题的关键是弄清方阵的列数、行数，即方阵每边的人数。

13．【分析】已知第一层摆黄色花，第二层摆红色花，第三层摆紫色花，第四层摆黄色花¼

由里向外依次按黄、红、紫的颜色摆放，发现：颜色是黄、红、紫三个一循环；花盆个数是

逐层加6盆鲜花；第一层是2´6-6=6盆花；第二层是3´6-6=12盆花；依此类推，第10层

是11´6-6=60盆花．据此解答．

【解答】解：第一层是2´6-6=6盆花；第二层是3´6-6=12盆花；

依此类推，第10层是11´6-6=60盆花．

答：第10层应摆60盆花．故答案为：60．

【点评】此题要分别考虑颜色和摆放盆数的规律，根据规律进行分析．

14．【分析】因为小明的位置都能用数对(6,6)表示，所以他应该在方阵的最中间位置，他的

前后左右都有6人，所以这个方阵的行数和列数都是6+6-1=11（人)，行数乘列数即为总人

数；每边人数乘4再减去4就是最外圈的人数；据此解答即可。

【解答】解：6+6-1=11（人)

11´11=121（人)

11´4-4=40（人)

答：这个方阵共有121人，最外圈有40人。故答案为：121，40。

【点评】此题考查的目的是理解掌握利用数对表示物体位置的方法及应用，关键是找出小明

所在行和列的人数。

15．【分析】根据题意可得，小明的前后左右都有3人，所以小明所在行和列的人数都是(3+3+1)

人，小明所在行的人数就是方阵的列数，小明所在列的人数就是方阵的行数，据此计算出方

阵人数。

【解答】解：(3+3+1)´(3+3+1)

=7´7

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=49（人)

答：这个方阵共有49人。故答案为：49。

【点评】解答本题的关键是找出小明所在行和列的人数，再根据小明所在行的人数和所在列

的人数与方阵的行数、列数关系解答。

16．【分析】根据“中实方阵的总人数=每边的人数´每边的人数，”可知225人应是最外层

的学生人数的平方，因为225=15´15，所以这个方阵最外层每边的学生共有15人，据此解答．

【解答】解：225=15´15

(15-1)´4=56（人)

答：这个方阵最外层的学生共有56人．故答案为：56．

【点评】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人

数-1)´4，每边的人数=四周的人数¸4+1，中实方阵的总人数=每边的人数´每边的人数，空

心方阵的总人数=（最外层每边的人数-空心方阵的层数）´空心方阵的层数´4，外层边长数

2-中空边长数2=实面积数．

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

17．【分析】39人减少4人还剩35人，35应是每边人数的完全平方数，但是35不是自然数

的完全平方数，所以39人减少4人后不能排成方队．

【解答】解：根据分析可知，39-4=35（人)；

因为35不是自然数的完全平方数，所以39人减少4人后不能排成方队；

但是如果39人减少3人后能排成6´6的方队．

故答案为：错误．

【点评】本题考查了实心方阵的有关知识，计算公式是：总点数=每边点数´每边点数；总点

数¸4+1=每边点数．

18．【分析】最外层人数=每边人数´4-4；代入数据即可解答。

【解答】解：15´4-4

=60-4

=56（人)

即最外层一共有56人，所以原题说法错误。故答案为：´。

【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数=每边点数´4-4的灵活应用。

19．【分析】此题可以看做是方阵问题进行解决：那么根据实心方阵的特点可知每边点数为：

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(93+1)¸2=47，利用实心方阵总点数=每边点数´每边点数，先求得黑白方砖的总块数数为：

47´47=2209块，由此计算得出白色小方砖即可进行判断．为：2009-93=2116（块)

【解答】解：根每条边上的方砖块数为：(93+1)¸2=47（块)

黑白色点数之和为：47´47=2209（块)，

所以白色方砖的块数为：2209-93=2116（块)，

所以原题说法正确．故答案为：正确．

【点评】此题考查了利用实心方阵问题解决实际问题的灵活应用，这里抓住对角线上的块数

之和得出每边点数是解决此类问题的关键．

20．【分析】利用空心方阵最外层总点数=每边点数´4-4，即可计算得出这个围棋盘最外层

一共可以摆放的棋子数，据此即可判断．

【解答】解：19´4-4，

=76-4，

=72（个)；

答：最外层一共可以摆放72个棋子．故答案为：´．

【点评】此题主要考查空心方阵最外层总点数的计算方法的灵活应用，熟记公式即可解答．

四．解答题（共10小题，满分60分，每小题6分）

21．【分析】此题可以看做是空心方阵问题，把36名学生看做36个点，利用空心方阵的最

外围每边点数=（最外层四周点数+4)¸4，即可解决问题．

【解答】解：(36+4)¸4，

=40¸4，

=10（人)；

答：每边各有10名学生．

【点评】此题考查了空心方阵中每边点数=（四周点数+4)¸4这个公式的灵活应用．

22．【分析】方阵问题中，最外层四周点数=（每边点数-1)´4，则最外层每边点数=最外层

四周点数¸4-1，由此代入数据即可解答．

【解答】解：240¸4=60（人)，

60+1=61（人)．

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答：这个方阵最外层每边有61人．

【点评】此题考查了实心方阵最外层点数和最外层每边点数之间关系的应用．

23．【分析】横竖各去掉了一排，因为顶点处的人数需要计算2次，所以用27加1除以2即

可求出每排、每列的人数；最后用每排与每列的人数相乘即可求出参加表演节目的总人数。

【解答】解：根据分析可得：

27+1=28（人)

28¸2=14（人)

14´14=196（人)

答：四年级原来准备列队的有196人。

【点评】本题考查了方阵问题，关键是求出每排、每列的人数。

24．【分析】根据实心方阵的总人数=每边人数´每边人数，97是一个质数，不能分解成两

个数相同数相乘的形式。通过增加或减少人数，使人数变为两个相同数的积即可。

【解答】解：根据实心方阵的总人数=每边人数´每边人数，97是一个质数，不能分解成两

个数相同数相乘的形式。所以97人不能组成方阵。再增加3人，总人数就是：

97+3=100

100=10´10

答：这个人数不可行，因为总人数要分解成两个相同数的乘积的形式。再增加3人就可以排

成方阵。

【点评】熟悉实心方阵总数与每边人数的关系是解决本题的关键。

25．【分析】最外层人数=每边人数´4-4；实心方阵中总人数=每边人数´每边人数；代入

数据即可解答．

【解答】解：13´4-4=48（人)，

13´13=169（人)，

答：最外层人数有48人，整个方阵一共有169名同学．

【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数=每边点数´4-4；实心方阵中总点数=每边点

数´每边点数的灵活应用．

26．【分析】根据题干，先求出一个方队的人数是：25´14=350人，再乘12即可解答．

【解答】解：25´14´12=4200（人)，

答：徒步方队一共有4200人．