第二章 专题四 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题

第二章相互作用专题四动态平衡问题平衡中的临界、极值问题题型1动态平衡问题题型2平衡中的临界、极值问题03练习帮练透好题精准分层CContents02点击此处添加小标题点击此处添加正文目录01点击此处添加小标题点击此处添加正文核心考点五年考情命题分析预测动态平衡问题2022：河北T7；2021：湖南T5；2019：全国ⅠT19，

上海T7动态平衡问题是高考考查的重点，一般以选择

题形式出现，要求用相互作用观念及科学思维

中的科学推理、科学论证等要素，分析求解动

态平衡问题.预计动态平衡问题仍是2025年高考

中考查的热点，在对共点力的平衡条件进行考

查的过程中可能涉及临界和极值问题.平衡中的临界、极值问题2022：浙江1月T5；2020：山东T8；2019：全国ⅡT16题型1动态平衡问题

1.动态平衡：通过控制某些物理量，使物体的状态缓慢地变化，而在这个过程中物

体又始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常出现“缓慢”等字眼.2.基本思路：受力分析

画不同状态平衡图构造矢量三角形

方法1：解析法

优点：定量分析常用于可以较简捷列出平衡方程或者正交分解力的情况.①先受力分析，得出物体受哪几个力而处于平衡状态.(如图1)

③分析方程中的变量有哪些(通常是夹角变化)，分析题目信息得到这些物理量是如

何变化的.(α增大)④把分析得到的变化的物理量代入方程，得到平衡条件下的受力动态变化情况.(T与

F均变大)方法2：图解法

优点：直观、便于比较常用于三力作用下的动态平衡三角形图解法适用于物体所受的三个力中，有一个力的大小、方向均不变(通常为

重力，也可能是其他力)，另一个力的方向不变、大小变化，第三个力则大小、方

向均发生变化的问题.①先正确分析物体的受力，画出受力分析图.(如图2)图2②构建矢量三角形.(如图3)图3③分析题目给出的信息，判断物体受力的变化，把力的大小变化问题转化为几何三

角形边长的大小变化问题进行讨论，得出结论.(如图4)图4

方法4：外接圆法图5物体在三个力作用下处于平衡状态，且其中一个力是恒力，另外两个力方向均发生变化，但两者的夹角不变.作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化，如图5所示.方法5：相似三角形法图6特征：一个恒力，两个变力，找出几何三角形.

命题点1

解析法的应用1.[2021湖南]质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所

示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点.凹槽恰好与竖直墙面接触，内有

一质量为m的小滑块.用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆

弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是(

C

)A.推力F先增大后减小B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大C.墙面对凹槽的压力先增大后减小D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大C

命题拓展命题情境拓展：凹槽→半圆柱若题中凹槽变为半圆柱工件，且放置在粗糙水平地面上，工件曲面光滑，截面为半

圆，如图所示，A为半圆水平直径的端点，B为半圆的最高点，小滑块仍在推力作用

下由A向B缓慢移动，其他条件不变，则(

C

)CA.作用力F先增大后减小B.工件对滑块的支持力先减小后增大C.水平地面对工件的摩擦力先增大后减小D.水平地面对工件的支持力先增大后减小

命题点2

图解法的应用2.[多选]如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮.一细绳跨

过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态.现

用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°.已知M始终保持静

止，则在此过程中(

BD

)A.水平拉力的大小可能保持不变B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加BD[解析]

解法1：图解法对N进行受力分析如图所示，因为N的重力与水平拉力F的

合力和细绳的拉力T是一对平衡力，从图中可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细

绳的拉力也一直增大，选项A错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确

定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMgsinθ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，

若mNg＜mMgsinθ，则M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大，选项D正确，C

错误.

命题拓展命题条件不变，设问拓展判断下列说法的正误.(1)斜面对地面的压力一直不变.

(

√

)[解析]对系统整体受力分析可知，竖直方向受到的地面的支持力始终等于系统所

受的重力，故正确.(2)斜面所受地面的摩擦力一定增加.(

√

)[解析]

对整体受力分析，可知斜面所受地面摩擦力一定增大，故正确.√√命题点3

正弦定理法的应用3.[2024河北邯郸开学联考]《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1

000kV的高压线上带电作业的过程.如图所示，绝缘轻绳OD一端固定在高压线杆塔

上的O点，另一端固定在兜篮D上.另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一

端连接兜篮，另一端由工人控制.身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C点运动

到处于O点正下方E点的电缆处.绳OD一直处于伸直状态，兜篮、王进及携带的设备

总质量为m，可看作质点，不计一切阻力，重力加速度大小为g.关于王进从C点缓慢

运动到E点的过程中，下列说法正确的是(

D

)DA.绳OD的拉力一直变小B.工人对绳的拉力一直变大C.OD、CD两绳拉力的合力小于mg

命题点4

外接圆法的应用4.[2024湖南怀化雅礼实验学校质检/多选]如图，倾角为30°的斜面体放置于粗糙水平

地面上，物块A通过跨过光滑定滑轮的柔软轻绳与小球B连接，O点为轻绳与定滑轮

的接触点.初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹

角θ＝120°，整个系统处于静止状态.现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角θ不

变，从初始到轻绳OB段水平的过程中，斜面体与物块A均保持静止不动，则在此过

程中(

AD

)ADA.拉力F逐渐增大B.轻绳上的张力先增大后减小C.地面对斜面体的支持力逐渐增大D.地面对斜面体的摩擦力先增大后减小[解析]小球B受重力mg、轻绳OB的拉力FT和拉力F，由题意可知，三个力的合力始

终为零，由于重力不变，且FT与F之间的夹角θ不变，因此矢量三角形的三个顶点在

同一外接圆上，如图所示.在FT转至水平的过程中，轻绳OB的拉力FT逐渐减小，拉

力F逐渐增大，故选项A正确，选项B错误；整体(含斜面体、物块A和小球B)受向下

的重力、向上的支持力、向左的摩擦力以及拉力四个力的作用，根据对小球的受力

分析可知，拉力F的竖直方向分力逐渐增大，水平方向分力先增大后减小，所以地

面对斜面体的支持力逐渐减小，地面对斜面体的摩擦力先增大后减小，故选项C错

误，选项D正确.题型2平衡中的临界、极值问题

1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态

“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”

等.临界问题常见的种类：(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力.(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.2.极值问题平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.3.解题方法(1)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分

析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.(2)数学分析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时利用数学知识求极值.通

常用到的数学知识有二次函数求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等.(3)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极

值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要

把某个物理量推向极端，即极大或极小.命题点1

物理分析法5.如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、

B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行.A与B

间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当木板与水

平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(

C

)C

命题点2

数学分析法6.[2022浙江1月]如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石礅，石礅与水平

地面间的动摩擦因数为μ.工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石礅时，两平行轻绳

与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是(

B

)C.减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小D.轻绳的合拉力最小时，地面对石礅的摩擦力也最小B

命题点3

极限法7.如图所示为两个挡板夹一个小球的纵截面图，每个挡板和竖直方向的夹角均为θ.

挡板与小球间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小球静止不动.小球的质量为m，与

两挡板之间的动摩擦因数均为μ(μ＜tanθ)，重力加速度为g.则每个挡板的弹力N的范

围为多少？

1.[平衡中的临界问题/2024吉林长春质量监测]如图，质量为m的光滑球体夹在竖直

墙壁和斜面体之间，斜面体的质量为2m，倾角θ＝37°，设斜面体与地面间的最大静

摩擦力等于滑动摩擦力，若斜面体恰好不滑动，则斜面体与水平地面间的动摩擦因

数μ为(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(

A

)A12

图1

图2122.[动态平衡问题]如图(a)所示，小球系在细绳的一端，放在倾角为α＝30°的光滑斜

面体上，细绳的另一端固定在天花板上，开始细绳沿竖直方向，现用力将斜面体在

水平桌面上缓慢向左推动.(1)如果斜面体足够高，小球缓慢地沿斜面运动的过程中，细绳的拉力与小球所受

的支持力如何变化？(图解法)[答案]

细绳的拉力先减小后增大，小球所

受的支持力一直增大.

12[解析]

将斜面体在水平桌面上缓慢地向左推动，小球始终处于平衡状态，对小

球进行受力分析，由平衡条件得支持力FN和拉力FT的合力大小F'＝mg，即两者合力

的大小和方向均不发生变化，当斜面体在水平桌面上缓慢地向左移动时，细绳与竖

直方向的夹角逐渐变大，FT的方向发生变化，根据平行四边形定则作图如图1所

示，由图可看出，拉力先减小后增大，支持力一直增大.图112(2)如果细绳与斜面平行，细绳的拉力为多大？(正交分解法)

图2图212(3)如果细绳与斜面成15°角，细绳的拉力为多大？(正弦定理法)

图3图312(4)如果将斜面体换为固定的光滑半圆柱体，如图(b)所示，放在半圆柱体上的小球

被一绕过定滑轮的绳用力F拉着由半圆柱体的底端缓慢地到顶端的过程中，分析绳

的拉力F及半圆柱体对小球的支持力F支的变化情况.(相似三角形法)[答案]

F减小，F支不变.

图4图4121.[2024黑龙江鸡西实验中学校考]建筑工人用如图所示的方式将重物从平台缓慢下

放到地面上，固定重物的光滑圆环套在轻绳上，轻绳的一端固定在竖直墙上，工人

手握的部分有足够长的绳子，工人站在平台上的位置保持不变，缓慢释放手中的绳

子，重物缓慢下降，则在重物下降的过程中(

D

)A.绳对圆环的作用力逐渐减小B.工人对绳的拉力不变C.平台对工人的支持力逐渐增大D.平台对工人的摩擦力逐渐减小D123456789101112

1234567891011122.[2024辽宁鞍山模拟]如图所示，装卸工人利用斜面将一质量为m、表面光滑的油桶

缓慢地推到汽车上.在油桶上移的过程中，人对油桶推力的方向由与水平方向成60°

角斜向上逐渐变为水平向右，已知斜面的倾角为θ＝30°，重力加速度为g，则关于工

人对油桶的推力大小，下列说法正确的是(

D

)A.不变B.逐渐变小C.逐渐变大D123456789101112

1234567891011123.[设问创新/2024湖北武汉部分学校调研]某装备矢量发动机(其喷口可以偏转，以产

生不同方向的推力)的战斗机沿水平方向飞行.已知战斗机的质量为m，升阻比(升力

与阻力之比，升力主要由机翼上下表面空气流速不同产生，垂直机身向上，阻力平

行机身向后)为k，重力加速度取g.战斗机匀速巡航时，该发动机提供的最小推力为

(

D

)A.mgD123456789101112

1234567891011124.重庆南开中学为增强学生体魄，组织学生进行多种体育锻炼.在某次锻炼过程

中，一学生将铅球置于两手之间，其中两手之间夹角为60°，保持两手之间夹角不

变，将右手由图示位置缓慢旋转60°至水平位置.不计一切摩擦，则在转动过程中，

下列说法正确的是(

B

)A.右手对铅球的弹力增加B.右手对铅球的弹力先增加后减小C.左手对铅球的弹力增加D.左手对铅球的弹力先增加后减小B123456789101112[解析]对铅球受力分析，右手对铅球的弹力为F1，左手对铅球的弹力为F2，受力

分析如图甲所示.F1与F2夹角为120°保持不变，故可以用动态圆求解如图乙所示.从图

乙可看出F1先增大后减小，F2一直减小.故选B.图甲

图乙1234567891011125.[2024湖南常德一中开学考]如图所示，质量均为m的铁球和木块通过轻绳a连接，

轻绳b一端拴接在铁球上，另一端连接在弹簧测力计的挂钩上，通过弹簧测力计牵

引铁球和木块一起沿水平方向做匀速直线运动.当轻绳b与水平方向成30°角时弹簧测

力计示数最小.已知重力加速度为g，则(

D

)A.木块与地面间的动摩擦因数为0.5D.弹簧测力计示数最小时，轻绳a与竖直方向的夹角为60°D123456789101112

1234567891011126.[回归教材/2024山西大同一中阶段练习/多选]如图所示，木板B放在粗糙水平地

面上，O为光滑铰链.轻杆一端与铰链O固定连接，另一端固定连接重为G的小球A.

现

将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑定滑轮O'由力F牵引，定滑轮位于O的正

上方，整个系统处于静止状态.现改变力F的大小使小球A和轻杆从图示位置缓慢运

动到O点正上方，木板始终保持静止，则在小球A运动过程中(

AD

)A.牵引力F逐渐减小B.轻杆对小球的作用力先减小后增大C.地面对木板的支持力逐渐减小D.地面对木板的摩擦力逐渐减小AD123456789101112

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7.拖把是常用的劳动工具，假设拖把与水平地面接触端的质量为m，其他部分质量

可忽略，接触端与地面之间的动摩擦因数为μ，如图所示，人施加沿杆方向的力

F(图中未画出)，推着接触端在水平地面上匀速滑行，杆与水平地面的夹角为α，重

力加速度为g，则(

D

)A.夹角α越大，推动拖把越轻松B.接触端受到的支持力大小为FsinαC.接触端受到地面的摩擦力大小为μmgD.接触端受到地面的摩擦力与支持力的合力方向不变D123456789101112

1234567891011128.[情境创新/2024江苏苏州实验中学校考]某建筑工地用一可以移动的升降机来吊

装重物，如图所示，轻绳穿过下方吊着重物的光滑圆环，A、B两点分别固定在建筑

和升降机上，下列说法正确的是(

A

)A.升降机缓慢上升时，绳中的张力大小不变B.升降机缓慢向左移动时，绳中的张力变小C.升降机缓慢上升时，地面对升降机的摩擦力变小D.升降机缓慢向左移动时，升降机对地面的压力变大A123456789101112

1234567891011129.[2022河北]如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将

木板以直线MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略

圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中(

B

)A.圆柱体对木板的压力逐渐增大B.圆柱体对木板的压力先增大后减小C.两根细绳上的拉力均先增大后减小D.两根细绳对圆柱体的拉力不变B123456789101112

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12345678910111210.一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C(劲度系数为

k)、锁舌D(倾角θ＝30°)、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示.设锁舌D

的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力Ffm由Ffm＝μFN(FN

为正压力)求得.有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将

门关上(这种现象称为自锁)，此刻暗锁所处