解答题06 10类导数答题模板-高考数学答题技巧与模板构建

解答题0610类导数答题模板（含参导函数可（不可）分解、二阶导、导数证明不等式、恒（能）成立）、零点交点方程的根、双变量、隐零点、极值点偏移、杂糅）模板模板01含参函数且导函数可分解型函数单调性的答题模板模板02含参函数且导函数不可分解型函数单调性的答题模板模板03二阶导函数求函数单调性的答题模板模板04利用导数证明不等式的答题模板模板05利用导数研究恒成立（能成立）问题的答题模板模板06利用导数研究函数的零点、交点、方程的根的答题模板模板07利用导数研究双变量问题的答题模板模板08导数中的隐零点问题的答题模板模板09导数中的极值点偏移问题的答题模板模板10导数中杂糅问题的答题模板本节导航模板01含参函数且导函数可分解型函数单调性的答题模板函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图象、函数性质、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点导函数与原函数的关系，单调递增，单调递减导函数可分解型一般直接求根探讨（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；1．（2023·全国·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；2．（2021·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；3．（2021·新Ⅰ卷·高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；1．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.(1)若，求在处的切线方程.(2)讨论的单调性.2．（2024·广东佛山·一模）已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；3．（2024·湖南·三模）已知函数.(1)讨论的单调性；模板02含参函数且导函数不可分解型函数单调性的答题模板高考或模考中常遇见二阶导函数不可分解型，常需要二次讨论，是重点知识，需强化训练掌握导函数与原函数的关系，单调递增，单调递减导函数不可分解型一般用判别式和求根公式进行探讨（2021·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；1．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；2．（2024·山东威海·一模）已知函数.(1)讨论的单调性；3．（2024·山东青岛·二模）已知函数.(1)证明曲线在处的切线过原点；(2)讨论的单调性；1．函数.(1)求的单调区间；2．（2024·山西吕梁·三模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；3．已知函数，．(1)讨论的单调性；模板03二阶导函数求函数单调性的答题模板在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题，若遇这类问题，必须“再构造，再求导”，因此函数的二阶导数的应用尤为重要。二阶导的定义定义1:若函数的导函数在点处可导,则称在点的导数为在点的二阶导数,记作,同时称在点为二阶可导.定义2:若在区间上每一点都二阶可导,则得到一个定义在上的二阶可导函数,记作函数极值的第二判定定理若在附近有连续的导函数,且（1）若,则在点处取极大值;（2）若,则在点处取极小值解决这类题的常规解题步骤为:求函数的定义域;求函数的导数,无法判断导函数正负;构造求,求;列出的变化关系表;根据列表解答问题。（2024·江西九江·三模）已知函数，且.(1)讨论的单调性；1．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；2．已知函数.(1)当时，讨论的单调性；1．已知函数满足．(1)讨论的单调性；2．已知函数，其中.(1)当时，求证：在上单调递减；3．已知函数.(1)若，讨论的单调性；模板04利用导数证明不等式的答题模板不等式是数学中的一个重要概念，而导数作为一种重要的数学工具，在不等式证明中发挥着非常关键的作用。通过构造函数、利用导数的单调性等知识，我们可以更加便捷、快速地证明不等式，此类题型难度中等，是高考中的常考考点，需强加练习证明不等式通常需要借助导数来研究函数单调性、最值来综合求解用导数证明不等式的常用步骤：(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，证明：当时，恒成立．1．（2023·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线y=fx在处的切线斜率；(2)求证：当时，；2．（2021·全国·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)求的极值；(3)当时，证明：当时，.1．（2024·浙江宁波·一模）已知函数.(1)判断的奇偶性；(2)若，求证：；2．（2024·广东·二模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：.3．（2024·四川南充·一模）已知函数.(1)判断函数的单调性，并求出的极值；(2)讨论方程的解的个数；(3)求证：.模板05利用导数研究恒成立（能成立）问题的答题模板利用导数研究恒成立（能成立）问题是高考考查的重点内容，是稳中求变、变中求新、新中求活，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习恒成立问题常见类型假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，（1）的值域为①，则只需要，则只需要②，则只需要，则只需要（2）若的值域为①，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）②，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）恒成立问题的解决策略=1\*GB3①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；=4\*GB3④换元分离，简化运算；在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．能成立（有解）问题常见类型假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，（1）若的值域为①，则只需要，则只需要②，则只需要，则只需要（2）若的值域为①，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要②，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要能成立（有解）问题的解决策略=1\*GB3①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；=4\*GB3④换元分离，简化运算；在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．1（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．1．（2023·全国·高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．2．（2024·河南·模拟预测）已知函数．(1)若，证明：；(2)若恒成立，求实数的取值范围．2（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．(1)求的极值；(2)设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围．1．（2024·四川乐山·三模）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若存在，使得，求的取值范围.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．1．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若，求实数a的取值范围．2．（2024·广东·模拟预测）已知函数.(1)判断函数的单调性；(2)若恒成立，求的值.3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数，，．(1)讨论：当时，的极值点的个数；(2)当时，，使得，求实数a的取值范围．4．（2024·贵州安顺·二模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．模板06利用导数研究函数的零点、交点、方程的根的答题模板利用导数研究函数的零点、交点、方程的根是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合求解，需强加练习利用导数研究函数零点的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.(2)数形结合法求解零点对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．利用导数研究函数方程的根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.(2)数形结合法求解零点（方程的根）对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．1（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．1．（2022·全国·高考真题）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．2．（2021·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点①；②．2（2021·全国·高考真题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．1．（2022·全国·高考真题）已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2．（2022·新Ⅰ卷·高考真题）设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则；（ⅱ）若，则．（注：是自然对数的底数）1．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知函数．(1)当时，求y=fx在点1,f1(2)若有两个不同的零点，求实数a的取值范围．2．（2024·四川·一模）设(1)若，求的单调区间．(2)讨论的零点数量．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)若有两个不同的实数根，求实数的取值范围．4．（2023·江苏南通·一模）已知函数和在同一处取得相同的最大值．(1)求实数a；(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：．模板07利用导数研究双变量问题的答题模板利用导数研究双变量问题是高考中的难点，双变量问题运算量大，综合性强，解决起来需要很强的技巧性，解题总的思想方法是化双变量为单变量，然后利用函数的单调性、最值等解决．需强加练习破解双参数不等式的方法:一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式:二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值;三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果（2024·广东佛山·二模）已知.(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个极值点，，证明：.1．已知.(1)若，求在处的切线方程；(2)设，求的单调区间；(3)求证：当时，.2．（2024·四川德阳·二模）已知函数，(1)当时，讨论的单调性；(2)若函数有两个极值点，求的最小值.1．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．2．（2024·山西·模拟预测）已知函数.(1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；(2)若；求证：；(3)设，是函数的两个极值点，求证：.3．已知函数.(1)当时，存在，使得，求M的最大值；(2)已知m，n是的两个零点，记为的导函数，若，且，证明：.模板08导数中的隐零点问题的答题模板零点问题是高考的热点问题，隐零点的代换与估计问题是函数零点中常见的问题之一,其源于含指对函数的方程无精确解,这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围，高考中曾多次考查隐零点代换与估计,需综合复习在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”．1.解题步骤第1步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程,并结合的单调性得到零点的范围;第2步:以零点为分界点,说明导函数的正负,进而得到的最值表达式;第3步:将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简:（1）要么消除最值式中的指对项（2）要么消除其中的参数项;从而得到最值式的估计.2.隐零点的同构实际上,很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项,而这类问题由往往具有同构特征,所以下面我们看到的这两个问题,它的隐零点代换则需要同构才能做出,否则,我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例:一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析所以在解决形如,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.3.解题感悟1.隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确实存在的问题。特别是在求导的过程，求函数极值点，对原函数求导后，令导函数等于零，就导函数零点进一步探寻原函数极值点或最值时会经常遇到“隐零点”问题。2.隐零点常见题型，有证明零点个数，求解不等式，求最值的取值范围，求参数的范围。3.解决办法，往往是“虚设零点”，设而不求，结合零点存在定理来初步确定零点的所在区间。往往这样的零点都与某个参数相关联，相互依赖。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。4.特别是针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题，或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。（2020·新Ⅰ卷·统考高考真题第21题）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．1．（2024·山东威海·二模）已知函数．(1)求的极值；(2)证明：2．已知函数，若,求的取值范围.3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，若的最小值为0，(1)求的值;(2)若，证明:存在唯一的极大值点，且.1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数，求：(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，总有，求整数的最小值.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数的最小值为，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数，.(1)求的极值；(2)证明：.模板09导数中的极值点偏移问题的答题模板极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习运用判定定理判定极值点偏移的方法（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.（2022·全国·统考高考真题）已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．1．已知函数.(1)若，求的取值范围；(2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，，且，求证：．3．设函数.(1)若，求函数的最值；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.1．已知函数有两个零点．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．2．已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；3．设，为函数（）的两个零点．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．模板10导数中杂糅问题的答题模板导数通常与三角函数、数列、概率统计等知识点杂糅在一起综合考查学生解题能力，需强化练习运用不同的分块知识点求解即可（2024·河南·模拟预测）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)当时，设正项数列满足：，①求证：；②求证：.1．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.(1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；(2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差；(3)在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值.0122．（2024·湖南益阳·一模）已知两点，及一动点，直线，的斜率满足，动点的轨迹记为.过点的直线与交于，两点，直线，交于点.(1)求的方程；(2)求的面积的最大值；(3)求点的轨迹方程.1．（2024·河北·三模）现随机对件产品进行逐个检测，每件产品是否合格相互独立，且每件产品不合格的概率均为．(1)当时，记20件产品中恰有2件不合格的概率为，求的最大值点；(2)若这件产品中恰好有件不合格，以（1）中确定的作为的值，则当时，若以使得最大的值作为的估计值，求的估计值．2．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．．(1)求证：是直角三角形；(2)求四棱锥体积的最大值；(3)求平面与平面的夹角余弦值的范围．3