2025年湖南省长沙二十一中高考数学一模试卷（含解析）

第1页（共1页）2025年湖南省长沙二十一中高考数学一模试卷一、单选题（共40分）1．（5分）若（1+i）z＝3+i（i为虚数单位），则z-zA．﹣2 B．4 C．﹣2i D．2i2．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，若命题p：“数列{an}为等差数列”，命题q：“对任意的k∈N*，Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k成等差数列”，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．（5分）函数y=eA． B． C． D．4．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）及圆O：x2+y2＝a2，如图过点B（0，aA．33 B．12 C．325．（5分）若函数f（x）＝（x+a）（x+2）2在x＝﹣1处有极小值，则实数a的值为（）A．﹣1 B．-12 C．16．（5分）若双曲线C1：xA．324 B．433 7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足2f（x）＝f（﹣x）+3ex，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣3 C．y＝x+3 D．y＝x﹣38．（5分）已知sin(π3-α)+sinα=A．79 B．-79 C．8二、多选题（共18分）（多选）9．（6分）若(1+2x)A．a0＝2024 B．a0C．a0﹣a1+a2﹣a3+⋯+a2024＝1 D．a1﹣2a2+3a3﹣⋯﹣2024a2024＝﹣2024（多选）10．（6分）已知一组样本数据：﹣1，5，a，b．其中a≤0，b≥0，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（）A．序列不可能既是等比数列又是等差数列 B．若成等比数列，a和b有3组可能取值 C．若成等差数列，a和b有3组可能取值 D．若该数据平均数是1，则方差最小值为21（多选）11．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则（）A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使PQ∥平面MBN C．三棱锥P﹣MBN的体积为13D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π三、填空题（共15分）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=2π3，a＝6，则△ABC的面积的最大值为13．（5分）设函数f（x）＝ax+xx-4（x＞4），若a是从1，2，3，4四个数中任取一个，b是从4，8，12，16，20，24六个数中任取一个，则f（x）＞b恒成立的概率为14．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0，则A＝；若b＝2，c＝1，BP→=tBC→，t∈[0，1]，则四、解答题（共77分）15．（13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2b＝c+2acosC．（1）求A；（2）若cosB=33，求sin（2B﹣（3）若bcosB=2a3，点D在边AB上，AD＝2DB，16．（15分）已知椭圆C：x2a2（1）求椭圆C的方程；（2）不过右焦点F2，且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接AF2交椭圆C于点B．（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；（ii）若过左焦点F1的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且AB⊥DG，求四边形ADBG面积的最小值．17．（15分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点．点Q在线段AC上BC⊥CD．且BC＝CD＝2．（1）若AQ＝3QC．求证：PQ∥平面BCD；（2）二面角A﹣BC﹣D为45°，求二面角A﹣BC﹣M的余弦值；（3）若三棱锥A﹣BCM的体积为1，求三棱锥A﹣BCD外接球的体积．18．（17分）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数01234保单份数800100603010已知：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．（Ⅰ）从抽取的1000份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于2的概率；（Ⅱ）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．（i）记X1为抽取的1000份保单的毛利润平均值，求X（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下抽取的1000份保单毛利润的平均值X2与（i）中X19．（17分）已知函数f（x）＝eaxlnx，其中a＞0．（1）若y＝f（x）在点（1，0）处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为e2，求a（2）若x＝x0是f（x）的极小值点，证明：f（x0）＜﹣e．

2025年湖南省长沙二十一中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CAAACACB二．多选题（共3小题）题号91011答案BCABABC一、单选题（共40分）1．（5分）若（1+i）z＝3+i（i为虚数单位），则z-zA．﹣2 B．4 C．﹣2i D．2i【分析】根据已知条件求出z，再求出z，最后计算z-z【解答】解：已知（1+i）z＝3+i，则z=3+i化简得到z=(3+i)(1-i)可得：z-z故选：C．2．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，若命题p：“数列{an}为等差数列”，命题q：“对任意的k∈N*，Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k成等差数列”，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【分析】运用等差数列定义性质，结合充分条件，必要条件的概念判定即可．【解答】解：若数列{an}为等差数列，设其首项为a1＝2，公差为d．根据等差数列前n项和公式Sn可得Sk=kaS3k那么S=ka所以S=ka因为2(SSk所以2（S2k﹣Sk）＝Sk+（S3k﹣S2k），所以对任意的k∈N*，Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k成等差数列，所以p是q的充分条件．当数列{an}的通项公式为an当k＝2时，S2＝a1+a2＝0+2＝2，S4＝a1+a2+a3+a4＝4，S6＝S4+a5+a6＝6，此时2（S4﹣S2）＝2×2＝4，S2+（S6﹣S4）＝2+2＝4，2（S4﹣S2）＝S2+（S6﹣S4），满足q．说明满足q时，数列{an}不一定是等差数列，所以p不是q的必要条件．综上，p是q的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）函数y=eA． B． C． D．【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可．【解答】解：函数f(x)=ex-e-xe|x|当x＞0时，f(x)=ex-e-x再取x＝1，f(1)=e1-故选：A．4．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）及圆O：x2+y2＝a2，如图过点B（0，aA．33 B．12 C．32【分析】由等边三角形可得|AB|＝a，设直线AB的方程为y＝kx+a（k＞0），求得圆心到直线的距离，由圆的弦长公式可得k=3【解答】解：由∠AOB＝60°，可得△ABO为等边三角形，即|AB|＝a，设直线AB的方程为y＝kx+a（k＞0），圆心到直线的距离为d=|a|弦长|AB|＝a＝2a2解得k=3可得直线y=33x+a，代入椭圆方程b2x2+a2y2＝a2b可得（b2+13a2）x2+233a3x+a4﹣由直线和椭圆相切，可得：Δ=43a6﹣4（b2+13a2）（a4﹣a化简可得b2=23a由b2＝a2﹣c2，可得c2=13a即有e=c故选：A．5．（5分）若函数f（x）＝（x+a）（x+2）2在x＝﹣1处有极小值，则实数a的值为（）A．﹣1 B．-12 C．1【分析】求导，利用函数f（x）在x＝﹣1处有极小值，建立方程求得a的值，再将a的值代入f（x）的解析式中验证即可．【解答】解：函数f（x）＝（x+a）（x+2）2，f'（x）＝（x+2）2+2（x+a）（x+2）＝（x+2）（3x+2+2a），因为函数f（x）＝（x+a）（x+2）2在x＝﹣1处有极小值，可得f′（﹣1）＝0，即（﹣1+2）（﹣3+2+2a）＝0，解得a=1当a=12时，f′（x）＝3（x+1）（令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜﹣1，令f′（x）＞0，解得x＜﹣2或x＞﹣1，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣∞，﹣2）和（﹣1，+∞）上单调递增，所以f（x）在x＝﹣1处有极小值，符合题意，所以a=1故选：C．6．（5分）若双曲线C1：xA．324 B．433 【分析】根据已知双曲线的离心率得出a，b的关系，再求双曲线C2的离心率．【解答】解：因为双曲线C1的离心率e1=a2+b2所以双曲线C2的离心率e2故选：A．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足2f（x）＝f（﹣x）+3ex，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣3 C．y＝x+3 D．y＝x﹣3【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程．【解答】解：因为2f（x）＝f（﹣x）+3ex，所以2f（﹣x）＝f（x）+3e﹣x，联立可解得f（x）＝e﹣x+2ex，所以f（0）＝3，所以f′（x）＝﹣e﹣x+2ex，f′（0）＝1．所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣3＝x，故所求的切线方程为y＝x+3．故选：C．8．（5分）已知sin(π3-α)+sinα=A．79 B．-79 C．8【分析】由两角和与差的正弦和半角公式，二倍角余弦公式，结合拆角计算即可．【解答】解：由sin(π3-α)+sinα=即12sinα+3所以sin(2α+π故选：B．二、多选题（共18分）（多选）9．（6分）若(1+2x)A．a0＝2024 B．a0C．a0﹣a1+a2﹣a3+⋯+a2024＝1 D．a1﹣2a2+3a3﹣⋯﹣2024a2024＝﹣2024【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令x＝﹣1计算可判断D错误．【解答】解：若(1+2x)令x＝0，可得a0＝1，A错误；令x＝1，则a0+a令x＝﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+⋯+a2024＝1，C正确；由(1+2x)两边同时求导得2024×2×(1+2x)令x＝﹣1，则a1﹣2a2+3a3+⋯﹣2024a2024＝﹣4048，D错误．故选：BC．（多选）10．（6分）已知一组样本数据：﹣1，5，a，b．其中a≤0，b≥0，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（）A．序列不可能既是等比数列又是等差数列 B．若成等比数列，a和b有3组可能取值 C．若成等差数列，a和b有3组可能取值 D．若该数据平均数是1，则方差最小值为21【分析】数据的顺序可以打乱，根据每一个选项的条件求解即可．【解答】解：若序列既是等比数列又是等差数列，则公比为1，公差为零，即该序列构成常数列，而﹣1≠5，所以序列不可能既是等比数列又是等差数列，A项正确；若排列后成等比数列，设公比绝对值大于1有：①公比为﹣5，数列为a，b，﹣1，5⇒a=-125，数列为﹣1，5，a，b⇒a＝﹣25，b＝125．②公比为3-5，数列为﹣1，b，a，5⇒a=-325公比绝对值小于1，对应同解，故a，b有3组可能取值，B项正确；由a≤0，b≥0，若﹣1，5，a，b若排序后成等差数列，设公差大于0有：①公差d＝6，数列为a，﹣1，5，b⇒a＝﹣7，b＝11；②公差d＝3，数列为﹣1，a，5，b⇒a＝2，b＝8不符；③公差d＝2，数列为﹣1，a，b，5⇒a＝1，b＝3不符；公差小于0，对应上述倒序排列，同解，故a，b有1组可能取值，C项错误；由数据平均数是1，得x=方差D(X)==20+2a2故选：AB．（多选）11．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则（）A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使PQ∥平面MBN C．三棱锥P﹣MBN的体积为13D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π【分析】对于A，连接A1B，CD1，可证得A1B∥PN，从而可得结论；对于B，连接PQ，A1C1，当Q是D1A1的中点时，由线面平行的判定可证得；对于C，利用V三棱锥P﹣MBN＝V三棱锥M﹣PBN=V三棱锥D1-PBN=V三棱锥B-PD1N求解；对于D，分别取BB1，【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接A1B，CD1，因为N，P分别是CC1，C1D1的中点，所以CD1∥PN，又因为CD1∥A1B，所以A1B∥PN，所以A1，B，N，P四点共面，即当Q与A1重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；连接PQ，A1C1，当Q是D1A1的中点时，因为PQ∥A1C1，A1C1∥MN，所以PQ∥MN，因为PQ⊄平面BMN，MN⊂平面BMN，所以PQ∥平面BMN，故选项B正确；连接DlM，DlN，DlB，因为D1M∥BN，所以V三棱锥P﹣MBN＝V三棱锥M﹣PBN=V三棱锥D故选项C正确；分别取BB1，DD1的中点E，F，构造长方体MADF﹣EBCN，则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF﹣EBCN的外接球，设所求外接球的直径为2R，则长方体MADF﹣EBCN的体对角线即为所求的球的直径，即（2R）2＝AB2+BC2+CN2＝4+4+1＝9，所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为4πR2＝9π，故选项D错误．故选：ABC．三、填空题（共15分）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=2π3，a＝6，则△ABC的面积的最大值为3【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得bc最大值，再用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：因为已知A=2π3，由余弦定理可得：a2即36＝b2+c2+bc≥2bc+bc＝3bc，所以bc≤12，当且仅当b=c=23则△ABC面积为S=1当且仅当b=c=23故△ABC的面积的最大值为33故答案为：3313．（5分）设函数f（x）＝ax+xx-4（x＞4），若a是从1，2，3，4四个数中任取一个，b是从4，8，12，16，20，24六个数中任取一个，则f（x）＞b恒成立的概率为5【分析】根据题意，利用基本不等式，求得f(x)min=(2a+1)2，转化为(2a+1)2【解答】解：因为a＞0，x＞4，可得x﹣4＞0，所以f(x)=ax+xx-4=ax+1+4x-4=a(x-4)+4当且仅当a（x﹣4）=4x-4，即（x﹣4）2=4故f(x)由不等式f（x）＞b恒成立转化为(2a因为a是从1，2，3，4四个数中任取一个，b是从4，8，12，16，20，24六个数中任取一个，则构成（a，b）的所有基本事件总数有4×6＝24个，又由(21+1)设事件A＝{不等式f（x）＞b恒成立}，则事件A包含事件：（1，4），（1，8），（2，4），（2，8），（2，12），（3，4），（3，8），（3，12），（3，16），（4，4），（4，8），（4，12），（4，16），（4，20），（4，25）共15个，因此不等式f（x）＞b恒成立的概率为1524故答案为：5814．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0，则A＝2π3；若b＝2，c＝1，BP→=tBC→，t∈【分析】由正弦定理及余弦定理可求得A=2π3，进而求得a=7【解答】解：由sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0及正弦定理，可得b2+c2﹣a2+bc＝0，由余弦定理可得：cosA=b又∵A∈（0，π），∴A=2π3，又b＝2，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA=4+1-2×2×1×(-12)=且cosB=a∴AB→与BC→的夹角的余弦值为又∵BP→=tBC且AP→∴PC2→-∴PC→四、解答题（共77分）15．（13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2b＝c+2acosC．（1）求A；（2）若cosB=33，求sin（2B﹣（3）若bcosB=2a3，点D在边AB上，AD＝2DB，【分析】（1）根据正弦定理求解即可；（2）利用二倍角公式求解即可；（3）利用向量数量积运算求出b，利用面积公式即可求解．【解答】解：（1）由2b＝c+2acosC，得2sinB＝sinC+2sinAcosC，又因为sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA，所以2sinCcosA＝sinC，0＜C＜π，sinC＞0⇒2cosA＝1，即cosA=1（2）若cosB=33，则则cos2B=2cos则sin(2B-A)=sin(2B-π（3）由bcosB所以tanB=2由（1）知A=π3，所以C=π2，所以在直角三角形如图：因为AD＝2DB，所以CD→平方得CD→则13=1所以直角三角形ABC的面积S=116．（15分）已知椭圆C：x2a2（1）求椭圆C的方程；（2）不过右焦点F2，且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接AF2交椭圆C于点B．（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；（ii）若过左焦点F1的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且AB⊥DG，求四边形ADBG面积的最小值．【分析】（1）由题意，列出关于a，b，c的方程，代入计算，即可求解；（2）（i）由题意，设直线AB方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，将直线BM的方程表示出来，求出直线与x轴交点，进而即可得证；（ⅱ）利用弦长公式分别表示出|AB|，|DG|，结合面积公式代入计算，再根据基本不等式进行求解即可．【解答】解：（1）因为椭圆C经过点(1，3所以1a解得a=2b=则椭圆C的方程为x2（2）（i）证明：易知直线的AB斜率存在，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），可得M（x1，﹣y1），联立y=k(x-1)x24+y23=1，消去y并整理得（4k2+3）x2因为直线AB过椭圆焦点，所以Δ＞0，由韦达定理得x1+x易知直线BM的方程为y+y不妨设直线BM交x轴于点N，令y＝0，解得x=2×则直线MB过定点N（4，0）；（ii）易知|AB|==1+因为AB⊥DG，所以DG=-1同理得|DG|=12(因为AB⊥DG，所以S=72(当且仅当4k2+3＝3k2+4，即k＝±1时，等号成立．故四边形ADBG的面的最小值为2884917．（15分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点．点Q在线段AC上BC⊥CD．且BC＝CD＝2．（1）若AQ＝3QC．求证：PQ∥平面BCD；（2）二面角A﹣BC﹣D为45°，求二面角A﹣BC﹣M的余弦值；（3）若三棱锥A﹣BCM的体积为1，求三棱锥A﹣BCD外接球的体积．【分析】（1）取BD中点E，在线段CD上取点F，使用DF＝3FC，连接PE，EF，QFD，先证明四边形EFQP为平行四边形，从而PQ∥EF，由线面平行的判定定理能证明PQ∥平面BCD；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣M的余弦值；（3）由VA﹣BCM＝VA﹣BCD﹣VM﹣BCD=13(a-12a)⋅1【解答】解：（1）证明：取BD中点E，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接PE，EF，QFD，∵P，E分别是BM，BD的中点，∴PE是△BDM的中位线，∴PE∥DM，且PE=12DM，∴PE∥AD，且PE在△CAD中，AQ＝3QC，DF＝3FC，∴QF∥AD，且QF=14AD，∴PE∥QF，且PE∴四边形EFQP为平行四边形，∴PQ∥EF，∵EF⊂面BCD，PQ⊄平面BCD，∴PQ∥平面BCD．（2）过点C作CG⊥面BCD，∵CB，CD⊂平面BCD，∴CG⊥CB，CG⊥CD，∵CB⊥CD，∴CD，CB，CG两两垂直，以C为坐标原点，以CD，CB，CG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AD＝a，（a＞0），∵BC＝CD＝2，∴C（0，0，0），D（2，0，0），B（0，2，0），A（2，0，a），M（2，0，a2∴CB→=（0，2，0），CA→设平面ABC的一个法向量为n→=（x，y，则CB→⋅n→=2y=0CA→⋅n∵CG⊥平面BCD，∴平面BCD的法向量为m→∵二面角A﹣BC﹣D为45°，∴|cos＜n→，m→此时平面ABC的一个法向量为n→∵C（0，0，0），B（0，2，0），M（2，0，1），设平面CB→=（0，2，0），设平面CBM的法向量为p→=（x′，y′，∴CB→⋅p→=2y′=0由图得二面角A﹣BC﹣M是锐角，∴二面角A﹣BC﹣M的余弦值为：|cos＜n→，（3）设AD＝a，（a＞0），若三棱锥A﹣BCM的体积为1，则VA﹣BCM＝VA﹣BCD﹣VM﹣BCD=13•（a-12a∵BC⊥CD，∴△BCD外接圆圆心坐标为（1，1，0），∵AD⊥平面BCD，AD＝a＝3，∴由对称性可知三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O（1，1，32即CO→=（1，1，∴三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R＝|CO→|=∴三棱锥A﹣BCD外接球的体积为V=418．（17分）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数01234保单份数800100603010已知：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．（Ⅰ）从抽取的1000份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于2的概率；（Ⅱ）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．（i）记X1为抽取的1000份保单的毛利润平均值，求X（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下抽取的1000份保单毛利润的平均值X2与（i）中X【分