系统工程层次分析法

系统工程层次分析法摘要：本文详细介绍了系统工程中的层次分析法。首先阐述了层次分析法的基本概念、原理和特点，接着说明了其应用步骤，包括构建层次结构模型、构造判断矩阵、层次单排序及一致性检验、层次总排序及一致性检验等。通过实际案例展示了层次分析法在解决复杂决策问题中的具体应用过程，分析了其优势与局限性，并对层次分析法的未来发展进行了展望，旨在为相关领域的决策分析提供一种有效的方法和参考依据。

一、引言在系统工程领域，面对复杂的决策问题，需要一种科学、有效的方法来帮助决策者进行全面、系统的分析和选择。层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，简称AHP）应运而生，它是一种将定性与定量分析相结合的多准则决策方法。该方法通过将复杂问题分解为多个层次，使决策者能够清晰地理解问题的结构和各因素之间的关系，从而更准确地做出决策。自提出以来，层次分析法在众多领域如经济管理、工程技术、社会科学等得到了广泛的应用，并取得了显著的成效。

二、层次分析法的基本概念（一）定义层次分析法是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性和定量分析的决策方法。它把复杂问题分解为各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序。

（二）原理层次分析法的基本原理是将复杂问题分解为多个层次，每个层次包含若干个元素，通过对同一层次元素之间的相对重要性进行比较，构建判断矩阵，然后利用数学方法计算判断矩阵的特征向量，从而得到各元素的相对权重。其核心思想是将决策者的主观判断定量化，通过层次结构的建立和权重的计算，为决策提供科学的依据。

（三）特点1.系统性：层次分析法将复杂问题看作一个系统，全面考虑系统中各因素之间的相互关系，通过建立层次结构模型，使决策者能够从整体上把握问题。2.实用性：该方法能够处理定性和定量相结合的问题，不需要高深的数学知识，易于理解和应用，适用于各种类型的决策问题。3.简洁性：层次分析法将复杂的决策问题分解为相对简单的层次结构，通过两两比较确定各因素的权重，计算过程较为简洁，便于决策者操作。4.灵活性：可以根据具体问题的特点和决策者的需求，灵活地调整层次结构和判断矩阵，以适应不同的决策场景。

三、层次分析法的应用步骤（一）构建层次结构模型1.目标层：明确决策的目标，即要解决的问题。2.准则层：将影响目标实现的因素进行分类，形成准则层。这些因素可以是多个方面的，如经济、技术、环境等。3.方案层：针对每个准则，提出具体的可行方案，构成方案层。

例如，在选择投资项目时，目标层为选择最优投资项目；准则层可包括收益水平、风险程度、发展潜力等；方案层则为各个具体的投资项目。

（二）构造判断矩阵对于同一层次中的各元素，通过两两比较的方式确定它们之间的相对重要性。采用19标度法来表示比较结果，具体标度含义如下：1.表示两个元素相比，具有同样重要性。2.表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要。3.表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要。4.表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要。5.表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要。69表示上述相邻判断的中间值。

根据两两比较的结果，构造判断矩阵。例如，对于准则层中的收益水平、风险程度、发展潜力三个因素，假设它们之间的相对重要性比较结果如下：

|判断矩阵|收益水平|风险程度|发展潜力||::|::|::|::||收益水平|1|3|5||风险程度|1/3|1|3||发展潜力|1/5|1/3|1|

（三）层次单排序及一致性检验1.层次单排序：计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，将特征向量归一化后得到各元素的相对权重。计算判断矩阵最大特征值的方法有多种，常用的是方根法。计算判断矩阵每行元素的乘积：\(M_i=\prod_{j=1}^{n}a_{ij}\)（\(i=1,2,\cdots,n\)），其中\(a_{ij}\)为判断矩阵中的元素，\(n\)为判断矩阵的阶数。计算\(M_i\)的\(n\)次方根：\(\overline{W}_i=\sqrt[n]{M_i}\)对\(\overline{W}_i\)进行归一化处理，得到权重向量\(W=(W_1,W_2,\cdots,W_n)^T\)：\(W_i=\frac{\overline{W}_i}{\sum_{j=1}^{n}\overline{W}_j}\)2.一致性检验：由于在构造判断矩阵时，决策者的判断可能存在一定的主观性和不一致性，因此需要进行一致性检验。计算一致性指标\(CI\)：\(CI=\frac{\lambda_{max}n}{n1}\)，其中\(\lambda_{max}\)为判断矩阵的最大特征值。引入平均随机一致性指标\(RI\)，不同阶数的判断矩阵\(RI\)值如下：1阶：\(RI=0\)2阶：\(RI=0\)3阶：\(RI=0.58\)4阶：\(RI=0.90\)5阶：\(RI=1.12\)6阶：\(RI=1.24\)7阶：\(RI=1.32\)8阶：\(RI=1.41\)9阶：\(RI=1.45\)计算一致性比例\(CR\)：\(CR=\frac{CI}{RI}\)当\(CR\lt0.1\)时，认为判断矩阵具有满意的一致性，否则需要对判断矩阵进行调整。

（四）层次总排序及一致性检验1.层次总排序：根据层次单排序的结果，计算各方案对于目标的总权重。假设准则层有\(m\)个因素，其权重向量为\(W=(W_1,W_2,\cdots,W_m)^T\)，方案层有\(n\)个方案，对于第\(j\)个准则，方案层各方案的权重向量为\(P_j=(P_{1j},P_{2j},\cdots,P_{nj})^T\)，则方案层各方案对于目标的总权重向量为：\(B=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T=\sum_{i=1}^{m}W_iP_{ij}\)2.一致性检验：计算层次总排序的一致性比例\(CR\)，公式为：\(CR=\frac{\sum_{i=1}^{m}W_iCI_i}{\sum_{i=1}^{m}W_iRI_i}\)当\(CR\lt0.1\)时，认为层次总排序结果具有满意的一致性。

四、实际案例分析以某企业选择新的生产基地为例，介绍层次分析法的应用过程。

（一）构建层次结构模型1.目标层：选择最优生产基地。2.准则层：包括生产成本、交通便利性、劳动力资源、基础设施、政策环境。3.方案层：有三个候选生产基地A、B、C。

（二）构造判断矩阵1.准则层判断矩阵：假设各准则之间的相对重要性比较结果如下：|判断矩阵|生产成本|交通便利性|劳动力资源|基础设施|政策环境||::|::|::|::|::|::||生产成本|1|2|3|2|2||交通便利性|1/2|1|2|1|1||劳动力资源|1/3|1/2|1|1/2|1||基础设施|1/2|1|2|1|1||政策环境|1/2|1|1|1|1|2.方案层判断矩阵：针对生产成本准则，三个方案的判断矩阵如下：|判断矩阵|A|B|C||::|::|::|::||A|1|2|3||B|1/2|1|2||C|1/3|1/2|1|针对交通便利性准则，三个方案的判断矩阵如下：|判断矩阵|A|B|C||::|::|::|::||A|1|1/2|1/3||B|2|1|1/2||C|3|2|1|针对劳动力资源准则，三个方案的判断矩阵如下：|判断矩阵|A|B|C||::|::|::|::||A|1|2|3||B|1/2|1|2||C|1/3|1/2|1|针对基础设施准则，三个方案的判断矩阵如下：|判断矩阵|A|B|C||::|::|::|::||A|1|1/2|1/3||B|2|1|1/2||C|3|2|1|针对政策环境准则，三个方案的判断矩阵如下：|判断矩阵|A|B|C||::|::|::|::||A|1|1|1||B|1|1|1||C|1|1|1|

（三）层次单排序及一致性检验1.准则层单排序及一致性检验：计算准则层各因素的权重向量\(W\)：按照方根法计算过程：对于生产成本准则：\(M_1=\prod_{j=1}^{5}a_{1j}=1\times2\times3\times2\times2=24\)\(\overline{W}_1=\sqrt[5]{24}\approx1.86\)同理计算其他准则的\(\overline{W}_i\)，并进行归一化处理，得到权重向量\(W=(0.322,0.177,0.107,0.177,0.217)^T\)。计算判断矩阵的最大特征值\(\lambda_{max}\)：通过计算得到\(\lambda_{max}\approx5.073\)。计算一致性指标\(CI\)：\(CI=\frac{\lambda_{max}5}{51}=\frac{5.0735}{4}=0.018\)计算一致性比例\(CR\)：已知\(RI=1.12\)，\(CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.018}{1.12}\approx0.016\lt0.1\)，一致性通过。2.方案层单排序及一致性检验：以生产成本准则下的方案层判断矩阵为例：计算方案层各方案的权重向量\(P_1\)：对于方案A：\(M_{A1}=\prod_{j=1}^{3}a_{Aj}=1\times2\times3=6\)\(\overline{W}_{A1}=\sqrt[3]{6}\approx1.82\)同理计算\(\overline{W}_{B1}\)和\(\overline{W}_{C1}\)，并进行归一化处理，得到权重向量\(P_1=(0.549,0.302,0.149)^T\)。计算判断矩阵的最大特征值\(\lambda_{max}\)：通过计算得到\(\lambda_{max}\approx3.009\)。计算一致性指标\(CI\)：\(CI=\frac{\lambda_{max}3}{31}=\frac{3.0093}{2}=0.005\)计算一致性比例\(CR\)：已知\(RI=0.58\)，\(CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.005}{0.58}\approx0.009\lt0.1\)，一致性通过。同理对其他准则下的方案层判断矩阵进行计算，得到相应的权重向量和一致性检验结果。

（四）层次总排序及一致性检验1.层次总排序：根据准则层和方案层的权重向量，计算各方案对于目标的总权重向量\(B\)：\(b_A=0.322\times0.549+0.177\times0.229+0.107\times0.549+0.177\times0.229+0.217\times0.333\approx0.393\)\(b_B=0.322\times0.302+0.177\times0.637+0.107\times0.302+0.177\times0.637+0.217\times0.333\approx0.334\)\(b_C=0.322\times0.149+0.177\times0.134+0.107\times0.149+0.177\times0.134+0.217\times0.333\approx0.273\)2.一致性检验：计算层次总排序的一致性比例\(CR\)：\(CR=\frac{\sum_{i=1}^{5}W_iCI_i}{\sum_{i=1}^{5}W_iRI_i}\)已知各准则下的\(CI_i\)和\(RI_i\)，代入计算得到\(CR\approx0.012\lt0.1\)，一致性通过。

根据总权重向量可知，方案A的权重最高，所以该企业应选择生产基地A作为最优方案。

五、层次分析法的优势与局限性（一）优势1.系统性强：能够全面考虑决策问题的各个方面，将复杂问题分解为清晰的层次结构，使决策者能够从整体上把握问题，避免片面决策。2.定性与定量结合：既考虑了决策者的主观判断，又通过数学方法进行定量计算，提高了决策的科学性和准确性。3.适用范围广：可应用于各种领域的决策问题，如投资决策、项目评估、资源分配等，具有广泛的实用性。4.操作简便：不需要复杂的数学模型和计算工具，易于理解和掌握，便于决策者使用。

（二）局限性1.主观因素影响较大：判断矩阵的构建依赖于决策者的主观判断，可能存在一定的偏差，尤其是当决策者对问题的认识不够全面或准确时，会影响决策结果的可靠性。2.一致性检验问题：虽然一致性检验可以检查判断矩阵的合理性，但在实际应用中，有时难以保证判断矩阵完全满足一致性要求，可能需要多次调整判断矩阵，增加了工作量。3.因素过多时计算复杂：当层次结构中的因素较多时，判断