数学 第四册（五年制高职） 课件 2.3-17.3.4 直线与平面所成的角_第1页
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17.3.4直线与平面所成的角五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第三册）》问题探究

我国是一个有着悠久造桥历史的国家，也是一个拥有世界顶级造桥技术的国家.现在外出旅游到处可见各式各样美轮美奂的斜拉桥，每座斜拉桥都有很多根斜拉索，这些斜拉索相对于桥面的倾斜程度明显不同，那么，如何表示这些不同的倾斜程度呢？

直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形，如果一条直线与一个平面相交且不垂直，那么就称这条直线为这个平面的斜线.

问题探究

如图17-42，在长方体

中，直线BA1,BD1，是平面ABCD的两条斜线，如何表示它们相对于平面的倾斜程度？通过变换角度观察图形可以发现，斜线BA1在平面ABCD内的正投影为直线BA,用BA和BA1的夹角来表示斜线BA1相对于平面ABCD的倾斜程度是合理的（这个角是斜线BA1与平面ABCD内所有过点B的直线的夹角中最小的角）.同样的，斜线BD1在平面ABCD内的正投影为直线BD,用BD和BD1的夹角来表示斜线相对于平面ABCD的倾斜程度是合理的，如图17-43.图17-42图17-43问题探究

斜线与平面的交点称为斜足.过斜线上一点（除斜足外）向平面引垂线，过垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面内的射影（正投影）.如图17-44，直线

为平面

的斜线，点A为斜足，直线PO为平面

的垂线，点O为垂足，直线OA就是斜线PA在平面

内的射影.线段PO的长称为点到平面的距离.图17-44抽象概括一般地，平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与这个平面所成的角.特别地，若一条直线与一个平面垂直，则称它们所成的角是直角；若一条直线与一个平面平行或在这个平面内，则称它们所成的角是0°.因此，直线与平面所成的角的取值范围是.抽象概括

容易证明，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的任意一点到这个平面的距离为定值，这个定值称为这条直线到这个平面的距离.

例题讲析例5如图17-45,在棱长为1的正方体中，求：（1）直线与底面所成角的大小；（2）直线到平面ADD1A1的距离.图17-45合作交流从平面外一点向平面引若干斜线段（指以该点和斜足为短线的线段），如果斜线段的长相等，那么它们在平面内的射影长相等吗？思维拓展虎丘塔，又称云岩寺塔，是驰名中外的宋代古塔，建于公元959—961年，比意大利著名的比萨斜塔早建200多年，被尊称为“中国第一斜塔”.该塔为仿楼阁式砖木结构，共七层，高47.5.从明代起，虎丘塔开始向西北倾斜，现塔顶中心偏离底层中心2.34，求该塔与地面所成角的大小（精确到0.1°）.课堂练习1.如果两条直线与同一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？2.已知斜线段的长是它在平面上射影长的倍，求斜线段所在直线与该平面所成的角.3.如图，长方体中

，

，

，

，求：（1）直线

与平面

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