湖南省岳阳市2025届高三上学期教学质量监测（一）数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页湖南省岳阳市2025届高三上学期教学质量监测（一）数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A． B． C． D．3．若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．4．已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则（

）A． B． C． D．5．将一个底面半径为2，高为的圆锥形石材打磨成一个球，则该球表面积的最大值为（

）A． B． C． D．6．甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（

）A． B． C． D．7．已知椭圆分别为椭圆的左右焦点，离心率为，点为直线上的一点.当的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为（

）A．1 B．2 C．4 D．88．已知函数，其导函数为，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的有（

）A．的展开式中，的系数是B．的展开式中，各二项式系数和为C．从名男生，名女生中选名学生参加志愿者服务，表示参加志愿服务的男生人数，则D．有个不同的正因数10．如图，直线与函数的部分图象交于三点（点在轴上），若，则下列说法正确的是（

）

A．B．C．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象D．当时，11．已知是双曲线：的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，和的内切圆半径分别为.设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是（

）A． B．双曲线的离心率C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量.若，则.13．已知数列满足，则.14．已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且.(1)求；(2)求的面积.16．已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点.(1)求抛物线的方程；(2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标.17．如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，为边的中点，.

(1)求证：；(2)已知二面角的平面角等于，则在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.18．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)令，当时，求的极值点个数；(3)令，当有且仅有两个零点时，求的取值范围.19．“外观数列”设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．比如外观数列为：第一项：第二项：描述第一项为个第三项：描述第二项为个个第四项：描述第三项为个个个第五项：描述第四项个个个．(1)求“外观数列”的第三项和第五项；(2)若从“外观数列”中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项的概率；(3)证明：当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减．

参考答案1．【答案】D【详解】由，得，所以，故选：D.2．【答案】C【详解】由．故选：C3．【答案】B【详解】令，可得，即函数的定义域为，若函数为奇函数，则，可得，所以.故选：B.4．【答案】C【详解】由题意，则.故选：C5．【答案】A【详解】由题意可得圆锥的母线长为，所以圆锥的轴截面是等边三角形，将圆锥形石材打磨成一个球，要使球的表面积的最大，则球的半径要最大，此时球是圆锥的内切球，设等边三角形的内切球的半径为，由等边三角形的性质可得，所以，所以球的表面积为.故选：A.6．【答案】D【详解】在第一关中甲乙两人通过的事件分别为，两人有资格挑战第二关的事件为，则，，，所以若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率.故选：D7．【答案】C【详解】

设的外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上又在上，在轴上，即当的外接圆的半径为时，周长取最小值，由题意可知，，即，所以该圆的半径为4.故选：C.8．【答案】B【详解】因为，所以，因为当时，不等式恒成立，即当时，不等式恒成立，所以当时，不等式恒成立，即当时，不等式恒成立，即当时，不等式恒成立，即当时，不等式恒成立，设，，则，所以函数在上单调递增，所以在上恒成立，可以转化为在上恒成立，即对恒成立，即对恒成立，即，.设，，则，令，即；令，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，，又，，显然，所以，所以，所以，即实数a的取值范围为.故选：B.9．【答案】BCD【详解】由展开式的通项公式为，令时，展开式中的系数为，A错误；由的展开式中，可得各二项式系数和为，B正确；由题意，从名男生和名女生中任选名参加活动，共有种不同选法，的取值为、、，，，，所以，C正确；因为，所以有个不同的正因数，D正确．故选：BCD10．【答案】AD【详解】对A，由过可得，即，由图结合可得，故A正确；对B，由可得，即或，由相邻可得，，故，又，则，可得，故B错误；对C，由AB可得，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，故C错误；对D，当时，，故，则，故D正确.故选：AD11．【答案】BCD【详解】对于A，如图所示，设内切圆与的三边分别切与点，则由双曲线定义可得，又由内切圆性质可得：，又，则，，所以，又，即，则，故A错误；对于B，设，，所以为等腰三角形，则点为的中点，则，，所以，即得，所以双曲线离心率为，故B正确；对于C，由B可知：，，则.因为内切圆半径为，所以，由等面积法可知，，整理得，即，设，，，又由可知为等腰三角形，则，所以，由余弦定理可得：，整理得：，即，即，，又等面积法可得：，即，即，则，故C正确；对于D，所以，故D正确，故选：BCD.12．【答案】【详解】，，因为，所以，即.故答案为：.13．【答案】；【详解】由，可得，所以，两式相减得，所以，当时，，所以，适合上式，所以.故答案为：.14．【答案】.【详解】当时，则，令，求导可得，令，解得，可得下表：单调递增极大值单调递减由函数的极大值为，则存在唯一零点，所以函数与函数在上有且仅有一个交点；当时，，令，求导可得，显然上，则函数在上单调递减，当时，，当时，，由，则函数在上存在唯一零点，所以函数与函数在上有且仅有一个交点；由题意可得函数与函数在上有且仅有一个交点，当时，，令，令，整理可得，当方程有两个相等的实数解时，，解得，此时，符合题意，当方程在有一个实数根时，可得，解得，综上可得.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1），利用正弦定理可得，又，故，即，因为，所以，故，由辅助角公式得，又，故，即，所以；（2），故，由余弦定理得，由为中点，化简得，，故，又，所以，又，故，将代入上式得，即，解得，负值舍去，则的面积为16．【答案】(1)(2)证明见解析，【详解】（1）的焦点在轴上，为，直线与轴的交点坐标为，则，即所以抛物线为（2）法一：由题意可知所在直线斜率不为0，设所在直线方程为，联立，化简可得：，则，又则，满足（*）式即直线恒过点法二：当直线的斜率不存在时，设，所以，所以，所以直线的方程为；当直线的斜率存在时，设所在直线方程为，联立，化简可得：，由题意可知即（*）；由韦达定理知，所以，所以，满足（*）式；所以所在直线方程为综上，直线恒过点17．【答案】(1)证明见解析(2)存在，为中点【详解】（1）因为，为边的中点，所以，又在中，，由余弦定理可得，即，则，又为平行四边形，所以，则，又平面底面，平面底面，所以平面，又平面，所以.（2）法一：取的中点，又，

所以，又平面底面，所以底面，所以，而，所以即为二面角的平面角，，又为直角三角形，，所以，设在线段上存在点，使得到平面的距离为，且，为直角三角形，，，又，解得，即为中点.法二：取的中点，又，

所以，又平面底面，所以底面，又，所以，所以两两垂直.如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系：，设，则，设平面的法向量为，则，取，则，又平面的一个法向量为，则，得，即.则平面的一个法向量为，设，则，则，解得，即为中点.18．【答案】(1)答案见解析(2)两个极值点.(3)或【详解】（1）的定义域为，当时，在上单调递增当时，由，得，由，得，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2），令当时，时单调递减，时，单调递增，，又时，，所以分别在和上存在唯一的变号零点，即有两个极值点.（3），又为一个零点，①若，则在定义域内单调递增，又，所以只有一个零点.②若，令又，则，即单调递增，i.当时，即，当时，单调递减；当时，单调递增，的最小值为，函数只有一个零点.ii.当时，即，当时，，所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减，当时，单调递增.又时，，所以有两个零点.iii.当时，即，当时，，所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，又时，，所以有两个零点.所以，有且仅有两个零点时，或.19．【答案】(1)第三项为第五项为(2)(3)证明见解析【详解】（1）根据“外观数列”的定义得到，第三项为第五项为；（2）为一位数时，第项为两位数，不符合；为两位数时，即为时，第二项为当大于时第二项小于第一项，此时有个符合.当由两种不同的数字构成时，第二项为四位数，不符合；为三位数时，即为时，第二项为第二项小于第一项，此时有个符合.当由两种或三种数字构成时，第二项为四位数或六位数，不符合．综上，总共有个数列符合，在所有数列中含的数有个，故总数为个，故第二项小于第一项的概率为．（3）证明：定义一个数列中连续相同若干个数字为一个数字串，数列中第项为．若只有一个数字串，即则.若则为位数若则两种都不存在连续项单调递减．若只