辽宁省七校协作体2024-2025学年高二下学期3月联考 数学试题（含解析）

辽宁省七校协作体2024−2025学年高二下学期3月联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（

）A． B． C．1 D．42．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（

）A． B． C． D．3．“”是“方程表示椭圆”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．已知，则方程与在同一坐标系内的图形可能是（）A． B．C． D．5．若函数有两个零点，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．6．小梁同学将个完全相同的球放入个不同的盒子中有种放法，小郅同学将个完全不同的球放入个相同的盒子中有种放法.若每个盒子中至少有一个球，则（）.A． B． C． D．7．如图，直三棱柱的所有棱长均相等，P是侧面内一点，若点P到平面的距离，则点P的轨迹是（

）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分8．设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（

）A．始终过定点 B．若，则或2C．当时，与的距离为 D．若不经过第三象限，则10．已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（

）A．弦有最小值为 B．有最小值为C．面积的最大值为 D．的最大值为911．已知正方体棱长为1，为棱中心，为正方形上的动点，则（

）A．满足平面的点的轨迹长度为B．满足的点的轨迹长度为C．存在点，使得平面经过点D．存在点满足三、填空题（本大题共3小题）12．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标13．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是．14．已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为．(1)求n的值及展开式中的常数项是第几项；(2)展开式中系数最大的项是第几项？16．已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上.(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(2)求△ABC的面积.17．如图，正方体的棱长为2，点E为的中点．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离．18．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）.

(1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.19．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且.（1）求椭圆的方程；（2）点P，Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线，的斜率之积为，求证：为定值；（3）直线l过点且与椭圆交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由.

参考答案1．【答案】B【详解】由题意，抛物线，即，解得，即焦点到准线的距离是故选：B2．【答案】B【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，，令，则，而，，于是得，因此，，所以与所成角的大小为.故选：B3．【答案】B【详解】由方程表示椭圆，可得，解得，因为，所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.故选：B.4．【答案】A【详解】解：由题意，当，时，方程表示焦点在轴上的椭圆，方程表示开口向左的抛物线，故排除选项C、D；当，时，方程表示焦点在轴上的双曲线，方程表示开口向右的抛物线，故排除选项B，而选项A符合题意，故选：A.5．【答案】C【详解】由题意可得，有两个根，由得，所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），直线过定点，当直线与相切时，圆心到直线的距离，解得或（舍去），当直线过点时，直线斜率为，结合图形可得实数的取值范围是.故选：C.6．【答案】B【详解】根据题意将个完全相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，利用隔板法共有种放法，所以；将个完全不同的球放入个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，可以将个球分成组，有和两种分组方法，按分组时，有种放法，按分组时，有种放法，所以，所以.故选：B7．【答案】D【详解】如图，作，做，连接.因几何体为直三棱柱，则平面，又平面，则，又平面，平面，，则平面.又由题可得平面，则.因，，则.又平面EPD，平面EPD，，平面，平面，，则平面EPD平面.因平面平面EPD，平面平面，则.故，结合平面，平面，可得，则.又，则.由题又有，结合，则，即为点P到直线距离.故点P到定点距离等于点P到直线距离，则点P轨迹为抛物线的一部分.故选：D8．【答案】C【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得，所以.在中，，由余弦定理可得，整理可得，，两边同时除以可得，.又，，所以有，所以，.因为，所以，所以，所以，，，所以，.则，故.故选：C.9．【答案】ABC【详解】A.由得，由得，直线始终过定点，选项A正确.B.由得，解得或2，选项B正确.C.当时，：，即，：，与的距离为，选项C正确.D.当时，：，不经过第三象限，选项D错误.故选：ABC.10．【答案】BCD【详解】圆的圆心，半径，直线过定点，因为，所以点在圆内，所以直线与圆一定相交，当点为弦的中点时，有最小值，此时直线的斜率不存在，而直线的斜率一定存在，所以，故A错误；因为点为弦的中点，所以，即，所以点的轨迹是以为直径的圆(去除），圆心为，半径为，所以轨迹方程为，因为，所以点在圆外，所以的最小值为，故B正确；对于C，，要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，直线的方程为，即，圆心到直线的距离，所以点到直线的距离最大值为，所以面积的最大值为，故C正确；对于D，设，联立，得，则，故，所以点的坐标为，则，当时，，当时，，当时，，当且仅当，即时，取等号，综上所述的最大值为9，故D正确.故选：BCD.11．【答案】ABD【分析】对于A，利用线面平行的判定定理找出P的轨迹，进而求解判断即可；对于B，建立空间直角坐标系，找出A、M的坐标，设，由得，找出P的轨迹，进而求解判断即可；对于C，连接BM，取的中点H，连接AH、HM，得到平面ABM截正方体所得截面与正方形没有交点，即可判断；对于D，借助空间直角坐标系，求得的最小值，即可判断.【详解】如图，以D原点，以所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，设，()，所以.A：取的中点Q，的中点N，如图，因为点M为的中点，由正方体的性质知，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，所以平面平面，由平面，得平面，所以点P的轨迹为线段NQ，其长度为，故A正确；B：由得，即，又，所以点P的轨迹为线段EF，且，则，即点P的轨迹长度为，故B正确；C：如图，连接BM，取的中点H，连接AH、HM，则平面ABM截正方体所得截面为ABMH，与正方形没有交点，所以不存在点P，使得平面AMP经过点B，故C错误；D：由B知，点M关于平面的对称点为，所以当P、A、M三点共线时最小，即，又，所以存在点P满足，故D正确.故选：ABD.【点睛】立体几何中关于动点轨迹问题，常常结合线、面的判定定理和性质寻求，或借助空间直角坐标系进行辅助计算求解.12．【答案】【详解】空间向量，则，，则向量在向量上的投影向量的坐标为.故答案为：.13．【答案】x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0【详解】由已知条件知圆心(－1，－2)，半径r＝5，弦长m＝8.设弦心距是d，则由勾股定理得r2＝d2＋2，解得d＝3.若l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－4，圆心到直线的距离是3，符合题意．若l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0，则d＝＝3，即9k2－6k＋1＝9k2＋9，解得k＝－，则直线l的方程为4x＋3y＋25＝0.所以直线l的方程是x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0.14．【答案】【详解】解：如图所示，由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，所以，，即，，所以双曲线的方程为：，所以，，，由双曲线定义得，所以，当三点共线时，最小为故.故答案为：.15．【答案】(1)，第17项(2)第7项和第8项【详解】（1）二项式展开式的通项公式为．因为第3项和第4项的系数比为，所以，化简得，解得，所以．令，得，所以常数项为第17项．（2）设展开式中系数最大的项是第项，则，解得．因为，所以或，所以展开式中系数最大的项是第7项和第8项．16．【答案】(1)(2)2【详解】（1）解：由题意可知，为的中点，因为，，所以，，所以，所在直线方程为，即．

（2）解：由解得，所以，所以平行于轴，平行于轴，即，，．17．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）如图以点D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，所以．（2）设平面的一个法向量为，又，，则，令，则，又，则，所以直线与平面的正弦值为．（3）点到平面的距离为，所以点到平面的距离为．18．【答案】(1)证明见解析(2)(3)不能，理由见解析【详解】（1）因为平面，所以，，又，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，B1,0,0，，D0,1,0，，，所以，，，所以，，所以，，且，，平面，所以平面，所以平面平面.

（2）由（1）知是平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，所以，即，令，则，，所以，所以，又由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为.（3）