偏微分方程数值解

第8章偏微分方程数值解一、经典偏微分方程介绍1.椭圆型方程:在研究有热源稳定状态下热传导，有固定外力作用下薄膜平衡问题时，都会碰到Poisson方程Laplace方程Poisson方程第1页2.抛物型方程

热传导方程:在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场传输等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常碰到抛物型方程。这类方程中最简单、最经典是热传导方程。其中a是常数。它表示长度为L细杆内，物体温度分布规律第2页3．双曲型方程波动方程(波传输、物体振动)它表示长度为L弦振动规律。第3页二、定解问题决定方程唯一解所必须给定初始条件和边界条件叫做定解条件.定解条件由实际问题提出.解条件

抛物型方程边界条件提法应为物体在端点温度分布为已知，即边界条件第4页双曲型方程初始条件表示弦在两端振动规律为已知：第5页Poisson方程反应稳定状态情况，与时间无关，所以不需要提初始条件。边界条件提法为：其中

(x,y)为已知边界，s是区域D边界。第6页本章主要针对几个经典微分方程介绍惯用差分方法和有限元方法。这些方法基本思想是：把一个连续问题离散化经过各种手法化成有限形式线性方程组然后求其解。第7页计算机只能作有限次加、减、乘、除运算，它既不能求导数，更不能解偏微分方程假如想在计算机上求得微分方程数值解，它主要做法是把偏微分方程中全部偏导数分别用差商代替从而得到一个代数方程组——差分方程组然后对差分方程求解，并以所求解作为偏微分方程数值解8.1

差分法介绍第8页所以需要对区域进行剖分，用网格点来代替连续区域，所以差分法亦称“网格法”。0xy第9页把整体分割成若干个单元来处理问题方法在数学上称为“离散化方法”。在结点上采取离散化方法（数值微分、数值积分、泰勒展开等）将微分方程初边值问题化成关于离散变量对应问题，这个对应问题解就是方程在点xi上数值解f(x)，或在点（xi

,ti）上数值解U(xi

,ti)。普通来说，不一样离散化造成不一样方法。第10页例：取一边长为1正方形均匀薄板，上下侧面绝热，四面保持恒温，求板内各点稳定温定分布。u=0u=0u=00xyLaplace方程第一边值问题第11页记u在这些点满足方程

第12页得到u(i,k)近似ui,k，所满足线性代数方程组：其中用迭代法来解方程组第13页简单迭代法高斯—赛德尔迭代法第14页表8.1表8.200000k=400000000.35400.707k=300.1510.3540.4530.70700.2500.751k=200.250.4270.751000.35400.707k=100.1510.3540.4530.70700000k=000000i=0i=1i=2i=3i=4u(0)第15页000000.7070.4530.2580.151010.583

0.4270.182

00.7070.453

0.2580.151000000表8.3i=0i=1i=2i=3i=4k=0k=1k=2k=3k=4第16页000000.7070.4530.2580.151010.573

0.3860.182

00.7070.3810.2430.134000000表8.4i=0i=1i=2i=3i=4k=0k=1k=2k=3k=4第17页用差分法解偏微分方程需要考虑三个问题：1．选取网格，将微分方程离散化为差分方程。2．当网格步长h

0时差分方程准确解是否收敛于微分方程解？3．怎样解对应代数方程组？第18页8.2椭圆型方程差分解法

椭圆型方程最简单经典问题就是拉普拉斯方程泊松方程第19页考虑泊松方程第一边值问题：第20页(一)矩形网格设

为xy平面上一有界区域，

为其边界，是分段光滑曲线。0xy正则内点非正则内点边界点第21页（二）五点差分格式现在假设（i，k）为正则内点。沿着x，y轴方向分别用二阶中心差商代替uxx，uyy，则得若以uh，fh表示网函数，记第22页则差分方程可简写成：利用Taylor展式

第23页第24页这四个式子两两相加便有：第25页于是可得差分方程截断误差第26页（三）边值条件处理

以第一边值条件为例：非正则内点集合

h：边界点集合

（1）直接转移法对（xi,yk）

，用边界上距离这点最近点值作为（xi,yk）值，即第27页（2）线性插值法641352h1第28页则u在这些点上值有近似关系：

第29页（3）列不等距差分方程f1为f在1点值。

第30页8.3抛物型方程差分解法

抛物型方程是指以下形式方程：

很多实际物理问题都能够用这类方程描述：热传导方程第31页现以热传导方程为例，介绍抛物型方程有限差分格式。设热传导方程：定解条件(1)(2)求（1）满足（2）解。第32页8.3.1矩形网格用两组平行直线族xj=jh,

tk=k

(j=0,

1,…，k=0，

1,…)组成矩形网覆盖了xt平面，网格点（xj,tk）称为结点，简记为（j,k），h、

为常数，分别称为空间步长及时间步长，或称h为沿x方向步长，称

为沿t方向步长，，N为正整数。在t=0上结点称为边界结点，其余全部属于

内结点称为内部结点。txoh

(xj,tk)第33页8.3.2．古典差分格式于平面区域上考虑传导方程：a为正常数

（3）

(4)第34页于结点（j,k）处偏导数与差商之间有以下近似关系：利用上述表示式得到LU在(j,k)处关系式：

(5)第35页视为u(xj,tk)近似值。

令，j=1,2,…,N–1；k=0,1,2,…则有：（6）差分方程（6）称为解热传导方程（3）古典显格式，它所用到结点以下列图：

*

***

（j,k）第36页将（6）写成便于计算格式：（7）称为网比，利用（7）及初边值条件（4）在网格上值（8）即可算出k=1,2,…，各层上值。截断误差阶为0(

+h2)。

第37页为了提升截断误差阶，能够利用中心差商：j=1,2,…,N–1；k=0,1,2,…

（9）得到Richardson格式，其结点图为：

*

***（j,k）*第38页截断误差阶为o(

2+h2)，较古典显格式高。将（9）式改写成适于计算形式：j=1,2,…,N–1；

k=1,2,…

r=a

/h2称为网比，（10）式中出现了三层网格上值，（10）才能逐层计算。故需要事先求得第k－1层值

和第k层值,第39页假如利用向后差商

j=1,2,…,N–1；k=0,1,2,…

(11)(12)j=1,2,…,N–1；k=0,1,2,…

古典隐格式，其结点图为：

（j,k）****截断误差为o(

+h2)，与古典显格式相同。

第40页8.3.3六点对称格式取该点中心差商，从而对于方程（3）式，在点列方程，，a为正常数

（3）

第41页将以上各式代入（3）式得到差分方程：

第42页整理,得

此即六点对称格式，也称为Crank-Nicolson格式，所用结点图为：

***k+1 ***k

j+1jj–1（13）第43页8.3.4稳定性（1）当步长无限缩小时，差分方程解是否迫近于微分方程（2）计算过程中产生误差在以后计算中是无限增加，还是能够控制？（稳定性）解？（收敛性）稳定性问题是研究抛物型差分方程一个中心课题！

第44页考查Richardson格式稳定性。

用表示计算所产生误差，假如右端无误差存在，则满足：取（14）假设k-1层之前无误差存在。即，而在第k层产生了误差。，这一层其它点也无误差，而且在计算过程中不再产生新误差，利用（14）式算出误差

传输以下表：第45页

r=½时Richardson格式误差传输

j

j0–4j0–3j0–2j0–1j0

j0+1j0+2j0+3j0+4k

-2

-4

7

4

-6

17

-24

17

-6

-8

31

-68

89

-68

31

-8

-10

49

-144

277

-388

277

-144

49

-10

71

-260

641

-109

1311

-109

641

-260

71

第46页

r≤1/2时古典显格式误差传输

j

j0–4j0–3j0–2j0–1j0

j0+1j0+2j0+3j0+4k

0.500.50.2500.5

00.25

0.125

00.375

00.375

00.125

0.0625

00.25

00.375

00.25

00.0625

假如选取

r=½

时古典显格式，误差方程为：第47页

差分格式关于初值稳定实际含义是：假如其解在某一层存在误差，则由它引发以后各层上误差不超出原始误差M倍（M为与

无关常数）。所以，在稳定条件下，只要初始误差足够小，以后各层误差也能足够小。以上结构几个差分格式中，古典显格式：r≤1/2时稳定古典隐格式：绝对稳定Richardson格式：绝对不稳定六点对称格式：绝对稳定。稳定性概念：第48页8.4双曲型方程差分解法

一阶线性双曲型方程最简单形式为（8.4.1)当给定初始条件(8.4.2)以后，轻易验证，双曲型方程(8.4.1)解为：(8.4.3)第49页也就是说，在平面

xt上，沿着（k

是常数）

这么直线，u值保持不变。这种直线叫做特征线。0xta>00xta<0这是个单向传输波，a>0时，波形

（x）沿x轴方向传输，为右传输波，a<0时，为左传输波，在传输过程中，波形均不发生改变。第50页在物理上常见双曲型偏微分方程最简单模型是波动方程其中，假如引进变量则得到与波动方程等价方程组(8.4.4)(8.4.6)(8.4.5)第51页8.4.1矩形网格用两组平行直线族xj=jh,

tn=n

(j=0,

1,…，n=0，1,2…)组成矩形网覆盖了xt平面，网格点（xj,tn）称为结点，简记为（j,n），h、

为常数，分别称为空间步长及时间步长，或称h为沿x方向步长，称

为沿t方向步长，，N为正整数。在t=0上结点称为边界结点，其余全部属于

内结点称为内部结点。txoh

(xj,tn)第52页a）迎格调式

ut(xj,tn)用向前差商代替，ux（xj,tn）用向前或向后差商代替，得8.4.2一阶双曲方程差分法或第53页令r=

/h，得截断误差均为节点分布图：

*

***

（j,n）(8.4.7)(8.4.8)第54页稳定性讨论：令代入（8.4.7）得传输因子第55页当a>0时，恒有，格式（8.4.7）不稳定；当a<0且ar

1时，，格式（8.4.7）稳定。

格式（8.4.8）在a<0时不稳定，在a>0且ar

1时稳定