2024-2025学年安徽省芜湖市镜湖区中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）(含详解)

2024-2025学年安徽省芜湖市镜湖区荟萃中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列英文字母中，既属于轴对称图形，也属于中心对称图形的是（）A．A B．C C．Z D．X2．（4分）下列事件中，属于随机事件的是（）A．今天是周二，明天是周三 B．买了一张彩票，中了一等奖 C．抛掷一枚骰子，得到的点数为7 D．在平面内画一个四边形，其内角和为360°3．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，1） C．（3，﹣1） D．（3，1）4．（4分）如图，A，B，C，D是⊙O上的点．若∠ABC＝25°，则∠ADC的度数是（）A．12.5° B．25° C．27.5° D．30°5．（4分）如图，正方形的边长为2，阴影部分是正方形的内切圆．若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A． B．3π C．2π D．6．（4分）已知A（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x+2）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y1＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y38．（4分）某商场为了减少某品牌服装老款的库存，将原售价为625元的该品牌服装降价，经过两次降价后现售价为361元．若两次的降价百分率均为x，则下列方程中正确的是（）A．625（1+x）2＝361 B．625（1﹣x）2＝361 C．625（1+2x）＝361 D．625（1﹣2x）＝3619．（4分）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则∠AOB的度数为（）A．100° B．120° C．130° D．150°10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，则OI的长度为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）若方程（a﹣2）x|a|+3x﹣a＝0是关于x的一元二次方程，则a＝．12．（5分）口袋中有5个黄球和m个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则m＝．13．（5分）如图，圆锥的高为，母线的长为6cm，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为．14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，D是AC的中点，E是BC上一动点，将线段DE绕点D按逆时针方向旋转90°得到线段DF，连接AF，EF．（1）当点E和点C重合时，AF＝；（2）在点E运动的过程中，AF的最小值为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2．16．（8分）已知点A（﹣5，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于原点对称，将点A向右移动3个单位长度得到点C，点C关于x轴的对称点为点D．（1）求点A，B的坐标；（2）顺次连接A，D，B，C，求所得图形的面积．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求该二次函数的对称轴和顶点坐标．18．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求∠CAD的度数．五、（本大题共2小题，满分20分）19．（10分）小赵经营一家网店，销售一款成本为80元的冬装．他销售一段时间后发现，当售价为240元时，每周可销售200件，售价每下降1元，可多销售2件．设该冬装降价x元，每周可获利润y元．（1）试用含x的式子表示y，并求当y取最大值时，该款冬装应降价多少元？（2）小赵准备减少库存，且每周的利润不低于32000元，则该款冬装最多降价多少元？20．（10分）如图1，当线段AB上有1个点时，可将线段AB分成2个部分，可得到3条线段；如图2，当线段AB上有2个点时，可将线段AB分成3个部分，可得到6条线段；如图3，当线段AB上有3个点时，可将线段AB分成4个部分，可得到10条线段…根据题意，回答下列问题．（1）当线段AB上有4个点时，可将线段AB分成个部分，可得到条线段；（2）若线段AB上有n个点时，可将线段AB分成个部分，可得到条线段；（3）若在线段AB上得到66条线段，则线段AB上除端点之外还有多少个点？六、（本题满分12分）21．（12分）如图，以BC为直径的⊙O经过点A，点D在BC的延长线上，且∠B＝∠CAD．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）已知AD＝4，BD＝8，∠CAD＝20°．①求⊙O的半径；②求AC的长．七、（本题满分12分）22．（12分）某校为了了解九年级学生的体质情况，组织全体九年级学生进行体能测试，并随机抽取部分同学的测试结果进行统计分析．体育老师将体能测试的最终结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图．（1）本次随机抽取的学生共人，并把条形统计图补充完整；（2）若该校九年级有900人，请估计该校体能测试不合格的总人数；（3）假定A等级样本中有2名女生，现准备从A等级样本中随机抽取2名同学，求抽取的同学恰好是一男一女的概率．八、（本题满分14分）23．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求a，b的值；（2）直线l∥BC，且直线l与抛物线只有一个交点．①求直线l的表达式；②设直线l与抛物线的交点为D，在平面内是否存在点P，使以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点P的坐标．

2024-2025学年安徽省芜湖市镜湖区荟萃中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析题号1234568910答案DBDBACBDB一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．2．【解答】解：A、今天是周二，明天是周三，是必然事件，不符合题意；B、买了一张彩票，中了一等奖，是随机事件，符合题意；C、抛掷一枚骰子，得到的点数为7，是不可能事件，不符合题意；D、在平面内画一个四边形，其内角和为360°，是必然事件，不符合题意；故选：B．3．【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1），故选：D．4．【解答】解：由圆周角定理得：∠ADC＝∠ABC＝25°．故选：B．5．【解答】解：∵正方形的边长为2，∴圆的半径为1，∴若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为＝，故选：A．6．【解答】解：∵抛物线y＝（x+2）2+m，∴该抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，∵A（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x+2）2+m上的三点，﹣2﹣（﹣3）＝1，0﹣（﹣2）＝2，2﹣（﹣2）＝4，∴y3＞y2＞y1，故选：C．8．【解答】解：根据题意得：625（1﹣x）2＝361．故选：B．9．【解答】解：由等边△ABC，OA＝3，OB＝4，OC＝5，线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，得BO＝BO′，∠OBO′＝60°，得三角形OBO′是等边三角形，得△OCB≌△O'AB（SAS），得OO'＝OB＝4，由OA2+OO'2＝32+42＝52＝AO'2，得∠AOO'＝90°，得∠AOB＝90°+60°＝150°．故选：D．10．【解答】解：作△ABC的外接圆，则圆心为点O，连接并延长AO交BC于点E，连接OB、OC，则OB＝OA＝OC，∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴＝，∴AE垂直平分BC，∴∠AEB＝90°，BE＝CE＝BC＝5，∴AE＝＝＝12，∵BE2+OE2＝OB2，且OB＝OA＝12﹣OE，∴52+OE2＝（12﹣OE）2，解得OE＝，连接IB、IC，作IG⊥AB于点G，IF⊥AC于点F，∵点I是△ABC的内心，∴∠IBC＝∠IBA＝∠ABC，∠ICB＝∠ICA＝∠ACB，∴∠IBC＝∠ICB，∴IB＝IC，∴点I在BC的垂直平分线上，即点I在AE上，∴IG＝IF＝IE，∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝×13IG+×13IF+×10IE＝×10×12，∴×13IE+×13IE+×10IE＝×10×12，解得IE＝，∴OI＝OE﹣IE＝﹣＝，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．【解答】解：∵（a﹣2）x|a|+3x﹣a＝0是关于x的一元二次方程，∴|a|＝2且a﹣2≠0，解得a＝﹣2，故答案为：﹣2．12．【解答】解：，8m＝3m+15，5m＝15，m＝3，故答案为：3．13．【解答】解：设圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为n，∵圆锥的高为4cm，母线的长为6cm，∴圆锥的底面半径为：＝2（cm），则圆锥的底面周长为4πcm，由题意得：＝4π，解得：n＝120°，故答案为：120°．14．【解答】解：（1）如图1，当点E和点C重合时，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵∠BAC＝30°，BC＝4，∴AC＝2BC＝8，∵D是AC的中点，∴AD＝DC＝4，由旋转可知：DF＝DC＝4，∠CDF＝90°＝∠ADF，∴AD＝DF＝4，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝AD＝4，故答案为：4；（2）如图2，作DM⊥BC于M，FJ⊥DM于J交AB于N，得四边形BMJN是矩形，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵∠BAC＝30°，BC＝4，∴AC＝2BC＝8，AB＝BC＝4，∵AD＝DC，DM∥AB，∴DM＝AB＝2，BM＝CM＝2，∵四边形BMJN是矩形，∴JN＝BM＝2，∵∠FDJ+∠EDM＝90°，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠FDJ＝∠DEM，∵∠FJD＝∠DME＝90°，∴△FJD≌△DME（AAS），∴FJ＝DM＝2，∴FN＝FJ+JN＝2+2，∴点F在直线l上运动（直线l与直线AB之间的距离为2+2），根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为2+2，故答案为：2+2．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．【解答】解：x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝1．16．【解答】解：（1）∵点A（﹣5，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于原点对称，∴2b+1＝5，3a﹣1＝2，∴a＝1，b＝2，∴点A的坐标是（﹣5，2），点B的坐标是（5，﹣2）；（2）∵将点A向右移动3个单位长度得到点C，∴点C的坐标是（﹣2，2），∵点C关于x轴的对称点为点D，∴点D的坐标是（﹣2，﹣2），∴BD＝7，CD＝4，AC＝3，BD＝7，如图，∴四边形ADBC的面积是＝20．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．【解答】解：（1）把（1，﹣4）和（﹣1，0）分别代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）．18．【解答】解：∵∠B＝65°，∠C＝30°，∴∠CAB＝85°，∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到△ADE，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝65°，∴∠BAD＝50°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠BAD＝35°．五、（本大题共2小题，满分20分）19．【解答】解：（1）由题意得：y＝（240﹣x﹣80）（200+2x）＝﹣2x2+120x+32000＝﹣2（x﹣30）2+33800，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝30时，w最大＝33800元，∴当y取最大值时，该款冬装应降价30元；（2）当y＝32000时，﹣2x2+120x+32000＝32000，解得：x1＝0，x2＝60，∴当0≤x≤60时，y≥32000，∴小赵准备减少库存，该款冬装最多降价60元．20．【解答】解：（1）线段AB上有1个点时，将线段AB分成2个部分，线段总共有：1+2＝3条，线段AB上有2个点时，将线段AB分成3个部分，线段总共有：1+2+3＝6条，线段AB上有3个点时，将线段AB分成4个部分，线段总共有：1+2+3+4＝10条，线段AB上有4个点时，将线段AB分成5个部分，线段总共有：1+2+3+4+5＝15条；故答案为：5，15；（2）由（1）得：线段AB上有n个点时，将线段AB分成（n+1）个部分，线段总共有：1+2+3+…+n+n+1＝＝条；故答案为：（n+1），；（3）由（2）得＝66，解得n＝10，或n＝﹣13（不符合题意，舍去），∴线段AB上除端点之外还有10个点．六、（本题满分12分）21．【解答】（1）证明：连接OA，∵BC是圆的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD+∠ACB＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACB，∴∠CAD+∠OAC＝90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线；（2）解：①∵∠CAD＝∠B，∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA，∴AD：DB＝DC：AD，∵AD＝4，BD＝8，∴DC＝2，∴BC＝BD﹣DC＝6，∴⊙O的半径长是BC＝3；②∵△DAC∽△DBA，∴AC：AB＝AD：DB＝1：2，∴AB＝2AC，∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴5AC2＝36，∴AC＝．七、（本题满分12分）22．【解答】解：（1）本次随机抽取的学生共20÷40%＝50（人）．A等级的人数为50﹣20﹣17﹣8＝5（人）．补全条形统计图如图1所示．故答案为：5．（2）900×＝144（人）．∴估计该校体能测试不合