2025年宁夏石嘴山市石嘴山三中高考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年宁夏石嘴山三中高考数学一模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(x,−2)，b=(3,4)，且(a−b)⊥A.−173 B.13 C.82.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是(

)A.y=x+1 B.y=(x−1)2 C.3.已知A是三角形ABC的内角，则“sinA=32”是“cosA=1A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.六名志愿者到三所学校参加活动，若每所学校安排两名志愿者，则安排方式共有(

)A.15种 B.90种 C.540种 D.720种5.已知三点A(1,0)，B(0,3)，C(2,3)A.53 B.213 C.26.正四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积为283，AB=4，A.6211 B.211117.已知函数f(x)=sinωx+3cosωx−3(ω>0)在A.(103,143) B.[8.设实数a>0，对任意实数x>0，若不等式12eax−1aA.[12e,+∞) B.[2e,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的有(

)A.函数f(x)=|x|x的值域为{−1,1}

B.已知点P(3,−4)是角α终边上的一点，则sinα=35

C.若一扇形的弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为6π

D.关于x的不等式10.已知椭圆C：x2a2+y2=1(a>1)的上顶点为BA.若BF1⊥BF2，则a=2

B.若椭圆C的离心率为32，则a=2

C.当a=2时，过点F1的直线被椭圆C所截得的弦长的最小值为1

D.若直线B11.阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点A1(−1,0)，A2(0,−2)，A3(3,0)，A4(0,4)，A5(−5,0)A.对于任意的正整数n，|AnAn+4|=4

B.对于任意的正整数n，|AnAn+1|为整数

C.存在正整数n，三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z=i1+i(i为虚数单位)，则|z|=13.随机变量X服从正态分布X～N(8,σ2)，P(X>10)=m，P(6≤X≤10)=n，则214.若△ABC的面积为34(a2+c2−b2)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知{an}是等差数列，且lg(Ⅰ)求数列{a(Ⅱ)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，求k16.(本小题15分)

设函数f(x)=x3+3ax2−9x+5，且f(x)在x=1处有极值，g(x)=x2−bx+1．

(1)求实数a的值；

(2)求函数f(x)的极值；

(3)若存在x17.(本小题15分)

某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示：年份2018201920202021202220232024年份代码x1234567利润y(单位：亿元)2.93.33.64.44.85.25.9(1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关.计算y与x之间的相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；

(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润；

(3)把利润不超过4(亿元)的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望．

参考数据：i=17(xi−x−)(yi−y−)=14,i=17(yi−y−)218.(本小题17分)

如图1所示，在平行四边形EBCD中，BA⊥ED，垂足为A，EA=AD=AB=2，将△EAB沿AB折到△PAB的位置，点M为棱AB的中点，点N在棱PC上，如图2所示．

(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)当二面角P−AB−D的大小为60°，

(i)求四棱锥P−ABCD的体积；

(ii)若直线PC与平面AMN所成角的正弦值为217，求点C到平面AMN的距离．19.(本小题17分)

已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，且过点P(52,1)．

(1)求C的标准方程；

(2)过C的右焦点F的直线l1与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，点Q是线段AB的中点，过点F且与l垂直的直线l2交直线OQ于点M，点参考答案1.D

2.A

3.A

4.B

5.B

6.C

7.D

8.B

9.ACD

10.BCD

11.AC

12.213.9

14.π315.解：(Ⅰ)数列{an}是等差数列，设公差为d，且lga1=0，lga4=1．

则：a1=1a1+3d=10，

解得：d=3

所以：an=1+3(n−1)=3n−2．

(Ⅱ)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，

则：ak2=a1⋅a6=16，

又ak=3k−2>0，

即3k−2=4，16.解：(1)函数f(x)=x3+3ax2−9x+5，则f′(x)=3x2+6ax−9，

由f(x)在x=1处有极值，得f′(1)3+6a−9=0，解得a=1．

(2)由(1)得f(x)=x3+3x2−9x+5，则f′(x)=3x2+6x−9，

令f′(x)=0，解得x1=−3，x2=1，

当x∈(−∞,−3)，f′(x)>0，当x∈(−3,1)，f′(x)<0，

当x∈(1,+∞)，f′(x)>0，可得当x=1时，函数x=1取极小值f(1)=0．

当x=−3时，f(x)取得极大值f(−3)=32．

(3)存在x1∈[12,2]，使得∀x2∈[12,2]，都有f(x1)<g(x2)成立，17.解：(1)由题设，易知y与x线性相关，且x−=4,y−=4.3，

又因为i=17(xi−x−)(yi−y−)=14,i=17(yi−y−)2=7.08,28×7.08≈14.08，

所以r=i=17(xi−x−)(yi−y−)i=17(xi−x−)2i=17(yi−y−)2=1428×7.08=14X012P241所以E(X)=0×2718.解：(1)证明：由题意可知，图2中AB⊥PA，AB⊥AD，

因为PA∩AD=A，PA，PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，

又因为AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．

(2(i)由图1知BA⊥ED，AD=AB=EA=2，所以BC=4，

在图2中取AD中点O，连接PO，

因为AB⊥PA，AB⊥AD，所以∠PAD为二面角P−AB−D的平面角，

所以∠PAD=π3，则△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，所以四棱锥的高为PO=32×2=3，

所以SABCD=12(AD+BC)×AB=12(2+4)×2=6，

故四棱锥P−ABCD的体积为V=13×6×3=23；

(ii)以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，平行于PO的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)，P(0,1,3)，M(1,0,0)，

设PN=tPC(0≤t≤1)，所以AM=(1,0,0)，

AN=AP+tPC=(0,1,3)+t(2,3,−3)=(2t,3t+1,3−3t)，

设平面AMN的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AM=0n⋅AN19.解：(1)因为双曲线C的离心率为5，且过点P(52,1)，

所以ca=5254a2−1b2=1a2+b2=c2，

解得a=1，b=2，

则双曲线方程为x2−y24=1；

(2)①证明：由(1)知F(5,0)，

已知直线l1的斜率k存在且k≠0，

设直线l1：y=k(x−5