高二数学北师大版选修44《圆的参数方程》教案

高二数学北师大版选修44《圆的参数方程》教案一、教学目标1.知识与技能目标理解圆的参数方程的概念，掌握圆的参数方程的推导过程。能够根据给定条件，建立圆的参数方程，并能将圆的参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程。会运用圆的参数方程解决一些与圆相关的简单问题，如求圆上点的坐标、距离最值等。2.过程与方法目标通过回顾圆的标准方程，引导学生类比推导圆的参数方程，培养学生的类比推理能力和逻辑思维能力。在建立圆的参数方程以及运用参数方程解决问题的过程中，体会参数的作用，提高学生运用参数法解决数学问题的能力。通过对圆的参数方程与普通方程的互化，让学生感受数学的转化思想，培养学生的数学运算能力。3.情感态度与价值观目标通过对圆的参数方程的探究，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。让学生体会数学知识之间的内在联系，感受数学的和谐美，提高学生的数学审美能力。

二、教学重难点1.教学重点圆的参数方程的推导过程和参数方程的概念。圆的参数方程与普通方程的互化。运用圆的参数方程解决相关问题。2.教学难点理解圆的参数方程中参数的几何意义。如何引导学生根据实际问题合理选择参数，建立圆的参数方程，并运用参数方程解决问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解圆的参数方程的概念、推导过程、参数方程与普通方程的互化方法以及典型例题，使学生系统地掌握知识。2.类比法：通过与圆的标准方程进行类比，引导学生推导圆的参数方程，让学生在熟悉的知识基础上更容易理解和接受新知识，培养学生的类比推理能力。3.讨论法：组织学生讨论圆的参数方程中参数的几何意义以及如何运用参数方程解决问题，激发学生的思维，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队协作精神和创新思维能力。4.练习法：布置适量的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高运用圆的参数方程解决问题的能力，及时反馈学生对知识的掌握情况，以便调整教学策略。

四、教学过程

（一）课程导入（5分钟）1.回顾圆的标准方程提问学生圆的标准方程是什么形式？（引导学生回答：\((xa)^2+(yb)^2=r^2\)，其中\((a,b)\)为圆心坐标，\(r\)为半径）举例说明如何根据圆的标准方程确定圆心和半径。例如，圆\(x^2+y^2=4\)的圆心为\((0,0)\)，半径\(r=2\)。2.引出课题提出问题：在实际问题中，有时用圆的标准方程来描述圆上点的位置并不方便。例如，在研究圆上点的运动规律时，我们希望能有一个更灵活的方式来表示圆上的点。这就需要引入圆的参数方程，今天我们就来学习圆的参数方程。

（二）知识讲解（20分钟）1.圆的参数方程的推导以圆心在原点，半径为\(r\)的圆为例进行推导。设圆上任意一点\(P(x,y)\)，以\(Ox\)为始边，\(OP\)为终边的角为\(\theta\)。根据三角函数的定义，\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)。所以，圆心在原点，半径为\(r\)的圆的参数方程为\(\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数，\(\theta\in[0,2\pi)\)）。对于圆心为\((a,b)\)，半径为\(r\)的圆，引导学生类比上述推导过程得出其参数方程。设圆上任意一点\(P(x,y)\)，以圆心\((a,b)\)为起点，\(P\)为终点的向量与\(x\)轴正方向的夹角为\(\theta\)。则\(xa=r\cos\theta\)，\(yb=r\sin\theta\)。所以，圆心为\((a,b)\)，半径为\(r\)的圆的参数方程为\(\begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数，\(\theta\in[0,2\pi)\)）。2.讲解圆的参数方程的概念强调参数方程是用参数来表示曲线上点的坐标的方程。指出在圆的参数方程\(\begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}\)中，\(\theta\)是参数，它的几何意义是圆心为起点，圆上动点为终点的向量与\(x\)轴正方向的夹角。说明参数\(\theta\)的取值范围\([0,2\pi)\)的确定原因，即当\(\theta\)从\(0\)变化到\(2\pi\)时，点\(P(x,y)\)刚好绕圆一周。

（三）例题讲解（20分钟）1.例1：已知圆的参数方程为\(\begin{cases}x=2+3\cos\theta\\y=1+3\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数），求该圆的圆心坐标和半径。分析：根据圆的参数方程\(\begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}\)，直接可得圆心坐标为\((a,b)\)，半径为\(r\)。解答：由圆的参数方程\(\begin{cases}x=2+3\cos\theta\\y=1+3\sin\theta\end{cases}\)可知，圆心坐标为\((2,1)\)，半径\(r=3\)。总结：让学生明确如何从圆的参数方程中直接获取圆心坐标和半径，加深对圆的参数方程形式的理解。2.例2：将圆的参数方程\(\begin{cases}x=1+2\cost\\y=3+2\sint\end{cases}\)（\(t\)为参数）化为普通方程。分析：利用三角函数的平方关系\(\cos^2t+\sin^2t=1\)来消去参数\(t\)。解答：由\(x=1+2\cost\)可得\(\cost=\frac{x1}{2}\)。由\(y=3+2\sint\)可得\(\sint=\frac{y+3}{2}\)。将\(\cost\)和\(\sint\)代入\(\cos^2t+\sin^2t=1\)，得到\((\frac{x1}{2})^2+(\frac{y+3}{2})^2=1\)。化简可得\((x1)^2+(y+3)^2=4\)，这就是所求的普通方程。总结：引导学生回顾消去参数的方法，强调利用三角函数的基本关系进行消参，让学生掌握将圆的参数方程化为普通方程的一般步骤。3.例3：已知圆\(x^2+y^2=9\)，求其参数方程。分析：根据圆的参数方程的形式，结合已知圆的方程确定参数方程中的参数及参数的取值范围。解答：已知圆的方程为\(x^2+y^2=9\)，其圆心在原点，半径\(r=3\)。所以该圆的参数方程为\(\begin{cases}x=3\cos\theta\\y=3\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数，\(\theta\in[0,2\pi)\)）。总结：让学生学会根据圆的普通方程写出其参数方程，进一步理解圆的普通方程与参数方程之间的联系。4.例4：已知圆的参数方程为\(\begin{cases}x=3+4\cos\theta\\y=2+4\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数），求圆上点到直线\(xy+5=0\)的距离的最大值和最小值。分析：先将圆上点的坐标用参数表示出来，然后利用点到直线的距离公式求出距离\(d\)关于参数\(\theta\)的表达式。再根据三角函数的性质求出\(d\)的最大值和最小值。解答：设圆上点\(P(3+4\cos\theta,2+4\sin\theta)\)。根据点到直线的距离公式，点\(P\)到直线\(xy+5=0\)的距离\(d=\frac{|(3+4\cos\theta)(2+4\sin\theta)+5|}{\sqrt{1^2+(1)^2}}\)。化简得\(d=\frac{|10+4(\cos\theta\sin\theta)|}{\sqrt{2}}=\frac{|10+4\sqrt{2}\cos(\theta+\frac{\pi}{4})|}{\sqrt{2}}\)。因为\(1\leqslant\cos(\theta+\frac{\pi}{4})\leqslant1\)。所以当\(\cos(\theta+\frac{\pi}{4})=1\)时，\(d_{max}=\frac{|10+4\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}+4\)。当\(\cos(\theta+\frac{\pi}{4})=1\)时，\(d_{min}=\frac{|104\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}4\)。总结：通过本题，让学生体会圆的参数方程在解决距离最值问题中的应用，掌握利用参数方程解决此类问题的一般方法，即先将点的坐标用参数表示，再根据相关公式建立函数关系，最后利用函数性质求解最值。

（四）课堂练习（15分钟）1.已知圆的参数方程为\(\begin{cases}x=1+2\cos\alpha\\y=3+2\sin\alpha\end{cases}\)（\(\alpha\)为参数），求圆心坐标和半径。2.将圆的参数方程\(\begin{cases}x=4+5\cos\beta\\y=2+5\sin\beta\end{cases}\)（\(\beta\)为参数）化为普通方程。3.已知圆\((x2)^2+(y+1)^2=16\)，写出它的参数方程。4.已知圆的参数方程为\(\begin{cases}x=1+3\cos\theta\\y=2+3\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数），求圆上点到点\((4,2)\)的距离的最大值和最小值。

（五）课堂小结（5分钟）1.与学生一起回顾圆的参数方程的推导过程，强调参数方程的概念以及参数的几何意义。2.总结圆的参数方程与普通方程的互化方法：由参数方程化为普通方程主要是利用三角函数的平方关系消去参数。由普通方程化为参数方程要根据圆的标准方程的形式确定参数方程中的参数及参数的取值范围。3.回顾运用圆的参数方程解决的问题，如求圆心坐标、半径、距离最值等，强调参数方程在解决这些问题中的优势和方法。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：已知圆的参数方程为\(\begin{cases}x=3\cos\varphi\\y=4\sin\varphi\end{cases}\)（\(\varphi\)为参数），求其普通方程，并指出该圆的圆心坐标和半径。将圆\(x^2+y^24x+6y12=0\)化为参数方程。已知圆的参数方程为\(\begin{cases}x=2+5\cost\\y=3+5\sint\end{cases}\)（\(t\)为参数），求圆上点到直线\(3x4y2=0\)的距离的最小值。2.拓展作业：查阅资料，了解圆的参数方程在物理中的应用，如简谐振动等，并写一篇简短的报告。思考如何建立椭圆的参数方程，尝试类比圆的参数方程的推导过程进行推导。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对圆的参数方程有了初步的认识和理解。在教学过程中，采用讲授法、类比法、讨论法和练习法相结合的教学方法，引导学生积极参与课堂活动，取得了较好的教学效果。

在推导圆的参数方程时，通过与圆的标准方程进行类比，让学生更容易理解和接受新知识，培养了学生的类比推理能力。在讲解圆的参数方程与普通方程的互化以及运用参数方程解决问题时，通过典型例题的详细讲解和课堂练习的巩固，学生基本掌握了相关知