N考核《大学物理学》机械振动与机械波部分练习题解答

N考核《大学物理学》机械振动与机械波部分练习题解答一、选择题

1.一弹簧振子作简谐振动，总能量为\(E_1\)，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量\(E_2\)变为：A.\(E_2=E_1\)B.\(E_2=2E_1\)C.\(E_2=4E_1\)D.\(E_2=16E_1\)

答案：D

解析：弹簧振子的总能量\(E=\frac{1}{2}kA^2\)（其中\(k\)为劲度系数，\(A\)为振幅）。当振幅增加为原来的两倍，即\(A_2=2A_1\)，质量增为原来的四倍时，由\(k=m\omega^2\)（\(\omega\)为角频率），\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)，质量变为\(m_2=4m_1\)，则\(k_2=4k_1\)。新的总能量\(E_2=\frac{1}{2}k_2A_2^2=\frac{1}{2}(4k_1)(2A_1)^2=16\times\frac{1}{2}k_1A_1^2=16E_1\)。

2.一质点作简谐振动，周期为\(T\)，当它由平衡位置向\(x\)轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需的时间为：A.\(\frac{T}{12}\)B.\(\frac{T}{8}\)C.\(\frac{T}{6}\)D.\(\frac{T}{4}\)

答案：C

解析：设简谐振动方程为\(x=A\sin(\omegat)\)，\(\omega=\frac{2\pi}{T}\)。从平衡位置开始，\(x=0\)时\(t=0\)。当\(x=\frac{A}{2}\)时，\(\frac{A}{2}=A\sin(\omegat_1)\)，解得\(\sin(\omegat_1)=\frac{1}{2}\)，则\(\omegat_1=\frac{\pi}{6}\)，\(t_1=\frac{T}{12}\)。当\(x=A\)时，\(A=A\sin(\omegat_2)\)，解得\(\sin(\omegat_2)=1\)，\(\omegat_2=\frac{\pi}{2}\)，\(t_2=\frac{T}{4}\)。所以从二分之一最大位移处到最大位移处所需时间\(\Deltat=t_2t_1=\frac{T}{4}\frac{T}{12}=\frac{T}{6}\)。

3.一平面简谐波沿\(x\)轴负方向传播，已知\(x=1m\)处质点的振动方程为\(y=A\cos(\omegat+\varphi)\)，若波速为\(u\)，则此波的波动方程为：A.\(y=A\cos[\omega(t+\frac{x+1}{u})+\varphi]\)B.\(y=A\cos[\omega(t\frac{x+1}{u})+\varphi]\)C.\(y=A\cos[\omega(t+\frac{x1}{u})+\varphi]\)D.\(y=A\cos[\omega(t\frac{x1}{u})+\varphi]\)

答案：A

解析：沿\(x\)轴负方向传播的平面简谐波波动方程为\(y=A\cos[\omega(t+\frac{xx_0}{u})+\varphi_0]\)，这里\(x_0=1m\)，\(\varphi_0=\varphi\)，所以波动方程为\(y=A\cos[\omega(t+\frac{x+1}{u})+\varphi]\)。

4.两列相干波在空间相遇，以下哪种情况一定能产生干涉加强现象：A.两列波的波程差为波长的整数倍B.两列波的波程差为半波长的整数倍C.两列波的相位差为\(2k\pi\)（\(k=0,1,2,\cdots\)）D.两列波的相位差为\((2k+1)\pi\)（\(k=0,1,2,\cdots\)）

答案：AC

解析：两列相干波干涉加强的条件是波程差\(\Deltar=k\lambda\)（\(k=0,1,2,\cdots\)），或相位差\(\Delta\varphi=2k\pi\)（\(k=0,1,2,\cdots\)）。B选项波程差为半波长整数倍是干涉减弱条件；D选项相位差为\((2k+1)\pi\)（\(k=0,1,2,\cdots\)）是干涉减弱条件。

5.一质点作简谐振动，振动方程为\(y=A\sin(\omegat+\varphi)\)，当时间\(t=\frac{T}{2}\)（\(T\)为周期）时，质点的速度为：A.\(A\omega\cos\varphi\)B.\(A\omega\cos\varphi\)C.\(A\omega\sin\varphi\)D.\(A\omega\sin\varphi\)

答案：A

解析：对振动方程\(y=A\sin(\omegat+\varphi)\)求导得速度方程\(v=A\omega\cos(\omegat+\varphi)\)。当\(t=\frac{T}{2}\)时，\(\omegat=\pi\)，则\(v=A\omega\cos(\pi+\varphi)=A\omega\cos\varphi\)。

二、填空题

1.一弹簧振子，弹簧的劲度系数\(k=200N/m\)，物体的质量\(m=0.1kg\)，当物体以振幅\(A=0.02m\)作简谐振动时，其振动的能量\(E=\)______。

答案：\(4\times10^{3}J\)

解析：根据弹簧振子能量公式\(E=\frac{1}{2}kA^2\)，代入\(k=200N/m\)，\(A=0.02m\)，可得\(E=\frac{1}{2}\times200\times(0.02)^2=4\times10^{3}J\)。

2.一简谐振动的振动曲线如图所示，该简谐振动的周期\(T=\)______，初相位\(\varphi=\)______。

（此处需要给出振动曲线的具体图形才能准确作答，假设从图中可得从\(t=0\)到\(t=1s\)是四分之一周期，那么）

答案：\(4s\)；\(\frac{\pi}{2}\)

解析：若从\(t=0\)到\(t=1s\)是四分之一周期，则周期\(T=4s\)。从图中可知\(t=0\)时，\(x=0\)且向正方向运动，根据\(x=A\sin(\omegat+\varphi)\)，\(\omega=\frac{2\pi}{T}\)，此时\(\omegat=0\)，\(x=0\)，\(v>0\)，可得\(\varphi=\frac{\pi}{2}\)。

3.一平面简谐波沿\(x\)轴正方向传播，波速\(u=100m/s\)，波长\(\lambda=10m\)，已知\(x=0\)处质点的振动方程为\(y=0.01\cos(20\pit)\)，则该波的波动方程为______。

答案：\(y=0.01\cos[20\pi(t\frac{x}{100})]\)

解析：已知\(\omega=20\pi\)，\(u=100m/s\)，\(\lambda=10m\)，沿\(x\)轴正方向传播的平面简谐波波动方程为\(y=A\cos[\omega(t\frac{x}{u})+\varphi_0]\)，这里\(A=0.01m\)，\(\varphi_0=0\)，所以波动方程为\(y=0.01\cos[20\pi(t\frac{x}{100})]\)。

4.两列相干波在空间相遇，它们的波动方程分别为\(y_1=A\cos(2\pi\nut\frac{2\pi}{\lambda}x_1)\)和\(y_2=A\cos(2\pi\nut\frac{2\pi}{\lambda}x_2)\)，则在相遇点两列波的相位差\(\Delta\varphi=\)______。

答案：\(\frac{2\pi}{\lambda}(x_2x_1)\)

解析：两列波相位差\(\Delta\varphi=(2\pi\nut\frac{2\pi}{\lambda}x_2)(2\pi\nut\frac{2\pi}{\lambda}x_1)=\frac{2\pi}{\lambda}(x_2x_1)\)。

5.一质点作简谐振动，其振动方程为\(y=0.2\sin(5\pit+\frac{\pi}{3})\)，则其振动的频率\(\nu=\)______，初速度\(v_0=\)______。

答案：\(2.5Hz\)；\(\pim/s\)

解析：由\(\omega=5\pi\)，根据\(\omega=2\pi\nu\)，可得频率\(\nu=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{5\pi}{2\pi}=2.5Hz\)。对振动方程求导得速度方程\(v=0.2\times5\pi\cos(5\pit+\frac{\pi}{3})\)，当\(t=0\)时，\(v_0=0.2\times5\pi\cos\frac{\pi}{3}=\pim/s\)。

三、简答题

1.简述简谐振动的动力学特征。

答：简谐振动的动力学特征是物体受到的回复力\(F\)与位移\(x\)成正比，方向与位移方向相反，即\(F=kx\)（\(k\)为比例系数，称为劲度系数）。根据牛顿第二定律\(F=ma\)，可得\(ma=kx\)，即\(a=\frac{k}{m}x\)。这表明简谐振动的加速度与位移成正比且方向相反，加速度的大小与位移大小成正比，方向总是指向平衡位置。

2.什么是波的干涉现象？产生干涉的条件是什么？

答：波的干涉现象是指两列或多列相干波在空间相遇时，某些区域振动始终加强，某些区域振动始终减弱，形成稳定的强弱分布的现象。产生干涉的条件是：两列波频率相同、振动方向相同、相位差恒定。只有满足这些条件的两列波才能称为相干波，它们相遇时才会产生干涉现象。

3.说明机械波传播的特点。

答：机械波传播具有以下特点：机械波传播的是振动形式和能量，介质中的质点并不随波迁移。质点只在各自的平衡位置附近做振动。波是传递信息的一种方式，通过波可以将波源的振动状态传播到远处。波速\(u\)、波长\(\lambda\)和频率\(\nu\)之间满足关系\(u=\lambda\nu\)。波速由介质的性质决定，对于不同的介质，波速一般不同；频率由波源决定，与介质无关；波长则由波速和频率共同决定。波在传播过程中会发生反射、折射、干涉和衍射等现象。反射是波遇到障碍物返回原介质继续传播的现象；折射是波从一种介质进入另一种介质时传播方向发生改变的现象；干涉是两列相干波相遇时形成稳定强弱分布的现象；衍射是波绕过障碍物继续传播的现象。

四、计算题

1.一质量为\(0.2kg\)的物体作简谐振动，其振动方程为\(x=0.6\sin(5\pit+\frac{\pi}{6})\)，式中\(x\)以\(m\)计，\(t\)以\(s\)计。求：（1）振动的振幅、频率、周期和初相位；（2）\(t=0\)时刻物体的位移、速度和加速度；（3）物体所受的最大回复力。

解：（1）由振动方程\(x=0.6\sin(5\pit+\frac{\pi}{6})\)可知，振幅\(A=0.6m\)。因为\(\omega=5\pi\)，根据\(\omega=2\pi\nu\)，可得频率\(\nu=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{5\pi}{2\pi}=2.5Hz\)。周期\(T=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{2.5}=0.4s\)。初相位\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)。（2）当\(t=0\)时，位移\(x=0.6\sin\frac{\pi}{6}=0.3m\)。速度\(v=\frac{dx}{dt}=0.6\times5\pi\cos(5\pit+\frac{\pi}{6})\)，当\(t=0\)时，\(v=0.6\times5\pi\cos\frac{\pi}{6}=\frac{3\sqrt{3}\pi}{2}m/s\approx8.27m/s\)。加速度\(a=\frac{dv}{dt}=0.6\times(5\pi)^2\sin(5\pit+\frac{\pi}{6})\)，当\(t=0\)时，\(a=0.6\times(5\pi)^2\sin\frac{\pi}{6}=\frac{75\pi^2}{2}m/s^2\approx367.5m/s^2\)。（3）根据\(F=kx\)，\(k=m\omega^2\)，\(m=0.2kg\)，\(\omega=5\pi\)，可得\(k=0.2\times(5\pi)^2=50\pi^2N/m\)。最大回复力\(F_{max}=kA=50\pi^2\times0.6=30\pi^2N\approx296N\)。

2.有一平面简谐波沿\(x\)轴正方向传播，波速\(u=20m/s\)，已知\(x=1m\)处质点的振动方程为\(y=0.02\cos(4\pit)\)，求：（1）该波的波动方程；（2）\(x=5m\)处质点的振动方程和振动速度。

解：（1）已知\(\omega=4\pi\)，\(u=20m/s\)，\(x_0=1m\)处质点振动方程为\(y=0.02\cos(4\pit)\)。沿\(x\)轴正方向传播