一元二次方程的根与系数的关系24一元二次方程的根与系数的关系

第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系返回1．已知关于x的一元二次方程x2－5x＋2m＝0有一个根为

－2，则另一个根为(

)A．7 B．3C．－7 D．－3AC返回3．关于x的方程(x－1)(x＋2)－p2＝0(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是(

)A．两个正根

B．两个负根C．一个正根，一个负根

D．无实数根返回【点拨】化简关于x的方程(x－1)(x＋2)－p2＝0(p为常数)，得x2＋x－2－p2＝0，∴b2－4ac＝1＋8＋4p2＝9＋4p2＞0.∴方程有两个不相等的实数根．根据根与系数的关系，得方程的两个根的积为－2－p2＜0，∴方程的两个实数根为一个正根，一个负根，故选C.【答案】C返回4．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－2m＝0的两个实数根为x1，x2，且x1x2<0，则实数

m的取值范围是________．返回5．[2024烟台]若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为________．6返回6．若菱形两条对角线的长度是方程x2－4x＋3＝0的两根，则该菱形的面积为________．7．关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的两根为a，b，且a＋b＝ab－4，求m的值．嘉佳的解题过程如下：解：∵a＋b＝2m－1，ab＝m2，∴2m－1＝m2－4，整理，得m2－2m－3＝0，解得m1＝－1，m2＝3．嘉佳的解题过程漏考虑了哪个条件？请写出正确的解题过程．返回返回8．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根为m，n，则一次函数y＝(m＋n)x＋mn的大致图象是(

)B9．[2025咸阳月考]已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)，下列说法中正确的有(

)①若a＋b＋c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1；②若方程的两根为－1和2，则有2a＋c＝0成立；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则有ac＋b＋1＝0成立．A．0个

B．1个

C．2个

D．3个返回【答案】D10．若m，n为方程x2＋2024x－1＝0的两根，则(m2＋

2025m－1)(n2＋2025n－1)的值为(

)A．1 B．－1C．－4049 D．4049返回【点拨】∵m，n为方程x2＋2024x－1＝0的两根，∴m2＋

2024m－1＝0，n2＋2024n－1＝0，mn＝－1.∴m2＋

2024m＝1，n2＋2024n＝1.∴(m2＋2025m－1)(n2＋2025n－1)＝(m2＋2024m＋m－1)(n2＋2024n＋n－1)＝(1＋m－1)(1＋n－1)＝mn＝－1，故选B.【答案】B

【答案】B返回返回12．已知a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，则代数式2a3－6a2＋b2＋7b＋1的值是________．36【点拨】∵a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，∴a2－3a－5＝0，b2－3b－5＝0，a＋b＝3，∴a2－3a＝5，b2＝3b＋5，∴2a3－6a2＋b2＋7b＋1＝2a(a2－3a)＋3b＋5＋7b＋1＝10a＋10b＋6＝10(a＋b)＋6＝10×3＋6＝36.13．已知实数m，n满足m2－am＋1＝0，n2－an＋1＝0，且m≠n．若a≥3，则代数式(m－1)2＋(n－1)2的最小值是________．3【点拨】∵m2－am＋1＝0，n2－an＋1＝0，∴m2＋1＝am，n2＋1＝an.∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝am＋an－2m－2n＝a(m＋n)－2(m＋n)＝(a－2)(m＋n)．∵实数m，n满足m2－am＋1＝0，n2－an＋1＝0，且m≠n，∴m，n可看作关于x的一元二次方程x2－ax＋1＝0的两根，∴m＋n＝a.∴(m－1)2＋(n－1)2＝a(a－2)＝a2－2a＝(a－1)2－1.∵a≥3，∴当a＝3时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，最小值为(3－1)2－1＝3.返回14．设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．返回【解】不存在．理由：由题意得Δ＝16－4(k＋1)≥0，解得k≤3.∵x1，x2是一元二次方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1.又∵x1x2＞x1＋x2，∴k＋1＞4，∴k＞3.∴不存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立．15．已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0.(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；【证明】∵Δ＝[－(2m－1)]2－4×1×(－3m2＋m)＝4m2－4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝(4m－1)2≥0，∴无论m为何值，方程总有实数根．返回16．[2025株洲期中]阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道m与n的和，m与n的积．根据上述材料，解决以下问题：(1)【材料理解】m＋n＝______，mn＝______；1－1(2)【类比应用】已知实数a，b满足a2－5a＋1＝0，b2－5b＋1＝0，且a≠b，求a2＋b2的值；【解】∵实数