点.直线.平面的投影课件

點.直線.平面的投影返回面點、直線、平面是構成形體的基本幾何元素BCDA線3·1點的投影點3.1.1點的三面投影P

採用多面投影。3.1.1點的三面投影

過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。a

A

點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。Pb

BB2B1解決辦法HWV投影面與投影軸OV面與H面的交線—OX軸V面與W面的交線—OZ軸H面與W面的交線—OY軸3.1.1點的三面的投影YXZΑ—空間點A；a—點A的水準(H)投影;a′—點A的正面(V)投影;a″—點A的側面(W)投影。3.1.1點的三面投影空間點的位置和直角坐標空間點的位置，可由直角坐標值來確定，一般採用下列的書寫形式：A(x,y,z)。

點到各投影面的距離，為相應的座標數值X，Y，Z

。W投影面展開XVAYOWZaaYaZaXa″a′VHYWH面向下旋轉90°HW面向右旋轉90°OXZYHaxaza

ayayaa″V面不動

a

a⊥OX軸;

a

a

⊥OZ軸;

a到OX軸的距離=a

到OZ軸的距離

Aa′=aax=a

az=ay0=yA——A點到V面的距離

Aa=a

ax=a

ay=az0=zA——A點到H面的距離

Aa″=aay=a

az=ax0=xA——A點到W面的距離

點的三面投影規律:XVYOWZaaYaZaXa″a′HZAYAXAA例1:已知A點的座標值A(12，10，15)，求作A點的三面投影圖。

作投影軸；

量取：Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等點；步驟:aa''a'OXYWHYZaZ15YWaYHa10aX12

過ax、az、aYH、aYW等點分別作所在軸的垂線，交點a、a′、a″既為所求。●●a

aax例2：已知點的兩個投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:解法二:a

●通過作45°線使a

az=aax用圓規直接量取a

az=aax3.1.2點的空間位置1.在空間（X，Y，Z）

點在投影體系中有四種位置情況：3.1.2點的空間位置XVYOWZH

由於X，Y，Z均不為零，對三個投影面都有一定距離，所以點的三個投影都不在軸上。aZa″a′aYaXaA3.1.2點的空間位置

由於點在投影面上，點對該投影面的距離為零。所以，點在該投影面上的投影與空間點重合，另兩投影在該投影面的兩根投影軸上。2.在投影面上：在H面上（X，Y，0）XVYOWZH

在V面上（X，0，Z）

在W面上（0，Y，Z）bBCdb″C″d″Db′d′C′C3.1.3點的相對位置3.1.3兩點的相對位置兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前後、左右位置關係。

x座標大的在左；

y座標大的在前；

z座標大的在上。判斷方法：B點在A點的左、下、前方。上下後左右前

當空間兩點到兩個投影面的距離都分別對應相等時，該兩點處於同一投射線上，它們在該投射線所垂直的投影面上的投影重合在一起，這兩點稱為對該投影面的重影點。兩點重影

重影點需要判斷其可見性，將不可見點的投影用括弧括起來，以示區別。

兩點重影()H面重影，被擋住的投影加()3.2直線的投影

兩點確定一條直線，將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的投影。直線平行於投影面投影反映線段實長

ab=AB真實性直線垂直於投影面投影重合為一點ab=0積聚性a≡b≡mBAM●●●●直線傾斜於投影面投影比空間線段短

ab＜AB

類似性3.2直線的投影3.2.1各種位置直線的投影特徵AB●●abα●●abAB●●●●直線中的投影特性投影面平行線平行於某一投影面而與其餘兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行於Ｖ面）側平線（平行於Ｗ面）水平線（平行於Ｈ面）正垂線（垂直於Ｖ面）側垂線（垂直於Ｗ面）鉛垂線（垂直於Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統稱特殊位置直線垂直於某一投影面直線在三個投影面中的投影特性投影特性：

三個投影都縮短了。即:都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。(1)一般位置直線(2)投影面平行線投影特性：1.水平線的H面投影反映線段實長。即：ab=AB;水平線的V、W面投影分別平行於H面的兩根軸。即a′b′∥ox軸，a″b″∥OYW軸；3.水平線的H面投影與OX軸夾角反映該直線對V面的傾角β；與OYH軸的夾角，反映該直線對W面的傾角γ。水平線的投影特徵：對正平線和側平線作分析，可得出類似的投影特徵。b

a

aba

b

b

aa

b

ba

投影面平行線1.在其平行的那個投影面上的投影反映實長，並反映直線與另兩投影面傾角。2.另兩個投影面上的投影平行於相應的投影軸。水平線側平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實長實長實長βγααβba

aa

b

b

(3)投影面垂直線投影特性：H面投影積聚成一點；V、W面投影反映實長，即a′b′=a″b″=AB；V、W面投影，分別垂直於H面的兩面根軸，即：a′b′⊥ox軸a″b″⊥oz軸。對正垂線和側垂線作分析，可得出類似的投影特徵。鉛垂線投影特徵:投影面垂直線鉛垂線正垂線側垂線2.另外兩個投影面上，投影反映線段實長。且垂直於相應的投影軸。1.在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)積聚為點積聚為點積聚為點例1：判斷下列直線的空間位置d′C′dddCAB為水平線CD為側平線3.2.2直線與點的相對位置

若點在直線上,則點的投影必在直線的同面投影上。即具有從屬性。

若點在直線上，則點將線段的同面投影分割成與空間直線相同的比例。即具有定比性：AC/CB=ac/cb=ac/cb

若點的投影有一個不在直線的同名投影上，則該點必不在此直線上。判別方法：ABVH3.2.2直線與點的相對位置Cbcac

b

a

e

e在不在C點直線AB上D點直線AB上D例2：判斷點K是否線上段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點K不在AB上。應用定比定理abka

b

k

●●另一判斷法是因a

k:kb

≠ak:kb

故點K不在AB上。⒈兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。3.2.3兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。abcda

b

c

d

例1：判斷圖中兩條直線是否平行。

對於一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。結論：AB//CD①Xcbadd

b

a

c

b

d

c

a

對於投影面平行線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。若用兩個投影判斷，其中應包括反映實長的投影。結論:AB與CD不平行例2：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側面投影如何判斷HVXABCDabcda

b

c

d

abcdb

a

c

d

2.兩直線相交判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規律。kk

交點是兩直線的共有點k

kK●●cabb

a

c

d

k

kd例3：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影12●●d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)3.兩直線交叉

同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規律。

“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。3

4

●●AB與CD兩直線相交嗎投影特性：結論：AB與CD兩直線不相交兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：

若直角有一邊平行於投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。設直角邊BC//H面因BC⊥AB,同時BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面結論:直線在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHa

c

b

abc.證明：d

abca

b

c

●●d例4：過C點作直線與AB垂直相交。.AB為正平線,正面投影反映直角。s●a●b●a●b●s●a●b●3.3.1平面的表示法●a●a

●b●b

●s●s不在同一直線上的三個點直線及線外一點兩平行直線兩相交直線平面圖形3.3平面的投影3.3.1平面的表示法s●a●b●s●a●b●●a●a

●b

●b●s●sc●d●●a●a

●b

●b●s●s●a●a

●b

●bc●●c●d●d●a●a

●b

●b●s●s3.3.2各種位置平面的投影特性平行垂直傾斜投影特性

平面平行投影面-----投影就把實形現

平面垂直投影面-----投影積聚成直線

平面傾斜投影面-----投影類似原平面實形性類似性積聚性平面對一個投影面的投影特性3.3.2各種位置平面的投影特性平面在三投影面體系中的投影特性平面對於三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直於某一投影面，傾斜於另兩個投影面平行於某一投影面，垂直於另兩個投影面與三個投影面都傾斜

正垂面

側垂面

鉛垂面

正平面

側平面

水平面投影面垂直面ABC為什麼位置的平面abca

c

b

c

b

a

⒈投影面垂直面鉛垂面投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。

另外兩個投影面上的投影有類似性。為什麼？γβ類似性類似性積聚性投影面平行面a

b

c

a

b

c

abc2.投影面平行面積聚性積聚性實形性結論：水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。

另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。一般位置平面a

b

c

a

c

b

abc⒊一般位置平面三個投影都類似。投影特性：4.3.3平面上的直線和點判斷直線在平面內的方法

定理一若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內。定理二若一直線過平面上的一點，且平行於該平面上的另一直線，則此直線在該平面內。

平面上取任意直線3.3.3平面上的直線和點有無數解。abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內任作一條直線。解法一：解法二：根據定理一有多少解根據定理二例2：在平面ABC內作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。n

m

nm1