2024-2025学年黑龙江省佳木斯市高二上学期开学摸底考数学检测试题合集2套（附解析）

2024-2025学年黑龙江省佳木斯市高二上学期开学摸底考数学检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．复数的实部为（

）A． B． C．2 D．2．已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（

）A．4 B． C． D．83．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（

）A．至少有1个白球和都是白球 B．至少有1个白球和至少有1个红球C．恰有1个白球和恰有2个白球 D．至少有1个白球和都是红球4．为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（

）A．800，360 B．600，108 C．800，108 D．600，3605．已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．7．万丈悬梯高可攀，白塔座落嘉陵边．白塔作为阆中市的标志性建筑之一．当你登临顶层，会欣赏到阆中AAAAA风景的全貌．感觉人仿佛在凌空飞翔．现有一数学兴趣小组，如图，测量河对岸的白塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得米，在点C测得塔顶的仰角为，则测得的塔高为（

）米．A． B．10 C． D．308．如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为（

）

A．2 B．4 C．6 D．8二、多选题（本大题共3小题）9．一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，则（

）A．该组数据的极差为25B．该组数据的分位数为19C．该组数据的平均数为17D．若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等10．已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，且，则D．若，，且，则11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象B．若，则当时，的值域为C．若在区间上恰有个零点，则D．若在区间上单调递增，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，且，则.13．一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干（如图1，底面处于水平状态）.将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面所的平面与各棱交点E，F，，分别为所在的棱的中点，则图1中水面的高度为．14．在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知，，．(1)求与的夹角；(2)求与．16．2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：

(1)请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；(2)现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.17．甲，乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲，乙各射击一次，至少击中目标一次的概率；(2)若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．18．在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分）问题：在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，求面积的最大值；(3)在(2)的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围.19．如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上．

(1)当点M与点重合时，①证明：平面；②求二面角的余弦值；(2)设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值．

参考答案1．【答案】C【分析】计算出复数后，结合复数定义即可得.【详解】，故其实部为2．故选C.2．【答案】A【分析】根据直观图画出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出平面图形的面积.【详解】由直观图可得如下平面图形：其中，，所以.故选A.3．【答案】C【分析】利用互斥事件和对立事件的概念分析各个选项的具体含义求解即可.【详解】“至少有1个白球”和“都是白球”可以同时发生，故它们不互斥；“至少有1个白球”和“至少有1个红球”，因为1个白球1个红球时两种情况同时发生，故它们不互斥；“恰有1个白球”和“恰有2个白球”不可能同时发生，所以它们互斥，当2个球都是红球时它们都不发生，所以它们不是对立事件；“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，所以它们互斥.因为它们必有一个发生，所以它们是对立事件.故选C.4．【答案】B【分析】由扇形图求出三个年级的学生总人数，进而求出样本容量，求出抽取的二年级学生人数，再结合二年级学生的满意率求解.【详解】由扇形图可知，三个年级的学生总人数为（人），所以样本容量为（人），因为抽取的二年级学生人数为（人），所以抽取的二年级学生中满意的人数为（人）.故选B.5．【答案】D【分析】结合已知根据投影向量的定义得出即可求解.【详解】因为在方向上的投影向量是，所以，所以，又所以.故选D.6．【答案】A【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，利用余弦定理求解即可.【详解】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，不妨设，易得，，在中，由余弦定理得，所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为．故选A．

7．【答案】D【分析】根据题意，由条件可得由余弦定理可得的值，然后在中，由，即可得到结果.【详解】在中，由得所以米，在中，由余弦定理可得，所以，在，可得，所以（米）.故选D.8．【答案】C【分析】设，则，利用三角形相似得到，，表达出，利用基本不等式求出最值即可.【详解】设，则，因为M，N分别为AB，AC边上的中点，所以，，故，因为，所以，设，则，，故，故，同理可得，，因为，所以，设，则，，，故，，则因为，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故.故选C.9．【答案】ACD【分析】根据数据的极差、第百分位数和平均数的公式计算判断各个选项.【详解】对于A：极差等于，故A正确；对于B：，故分位数为20，故B错误；对于C：平均数等于，故C正确；对于D：去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D正确.故选ACD.10．【答案】BD【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可得答案.【详解】对于A，若，，则或与异面，故A错误；对于B，根据面面垂直的性质定理可知，故B正确；对于C，若，，且，则或与相交，故C错误；对于D，若，，则，过作平面，使得，因为，所以，所以，因为，所以.故D正确.

故选BD.11．【答案】AD【详解】，当时，，则将的图象向左平移个单位长度得到：，故A正确；当时，，当时，，故，则的值域为，故B错误；令，，则，，又，若在区间上恰有个零点，则，解得，故C错误；若在区间上单调递增，则，又，所以，解得，又，所以，由可得，要使在区间上单调递增，则，解得，故D正确．故选AD．12．【答案】4【分析】先算出的坐标，然后由向量的数量积公式列方程即可求解.【详解】因为向量，所以，而，所以，解得.故答案为：4.13．【答案】6【分析】设正三棱柱的底面边长为，在图1中，设水面的高度为，根据图1和图2中水的体积相等可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】设正三棱柱的底面边长为，则，在图1中，设水面的高度为，则水的体积为，在图2中，几何体为直四棱柱，因为为等边三角形，分别为棱的中点，所以，则水的体积为，解得.故答案为：6.14．【答案】【分析】由结合余弦定理和面积公式可得，再利用同角三角函数的关系可求得的值，由化简得，由三角函数的性质求出的范围，从而可求出的最小值.【详解】因为，，所以，所以，因为，所以，即，解得或（舍去），因为，所以，在锐角中，有，，则，所以，因为，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，设（），则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.15．【答案】(1)；(2).【分析】(1)利用向量数量积的运算律展开已知条件，将，代入求解可得；(2)利用向量平方等于模的平方，转化为数量积求解即可.【详解】(1)由，得，即，求得，再由，可得．(2)；．16．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；(2)首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得.【详解】(1)由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为：；(2)样本中年龄在区间的频率为，年龄在区间的频率为，则年龄在区间抽取（人），分别记作，，，，年龄在区间抽取（人），分别记作，，从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、、、、、、、、、共个，其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个，所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.17．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.(2)根据“第次击中，后两次未击中”求得乙恰好射击4次后被终止射击的概率．【详解】(1)甲，乙各射击一次，至少击中目标一次的概率为：.(2)乙恰好射击4次后被终止射击，则“第次击中，后两次未击中”，故所求概率为：.18．【答案】(1)答案见解析；(2)；(3).【分析】(1)选①：由正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简得到求解；选②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；选③利用三角形面积公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解.(2)利用余弦定理和基本不等式即可解题；(3)由正弦定理得到，从而有求解.【详解】(1)若选①：由正弦定理得，则，，，．若选②：，切化弦，得到，则由正弦定理得，，即，，，若选③：，则，由正弦定理得，，.(2)由余弦定理得，，则，当且仅当“”时，取“＝”号，即．，则，当且仅当“”时取得最大值．(3)由正弦定理得，则，，由于为锐角三角形，则，..19．【答案】(1)①证明见详解；②(2)【详解】（1）①

当点M与端点D重合时，由可知，由题意知平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，平面，所以平面；②

过E作于点O，连接.因为平面，平面，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角,且在四边形ABCD中，A,O,E三点共线.因为所以，所以，所以，所以，所以，所以在中，，即二面角的余弦值为；（2）

过点做交于，所以直线与平面所成的角,即为直线与平面所成的角，过E作于点O，连接.由②同理可得平面，平面，所以平面平面，作，垂足为，平面平面，平面，所以平面，连接，是直线与平面所成的角，即，因为平面，平面，所以,则,易得，有，设，所以，所以，所以，，因为在中，斜边大于直角边，即，所以，所以，，在中由等面积，由,有则，，因为，，所以是二面角平面角，即，，，当且仅当时“＝”成立，故的最大值.2024-2025学年黑龙江省佳木斯市高二上学期开学摸底考数学检测试题（二）一、单选题（本大题共8小题）1．在容量为50的样本中，某组的频率为，则该组样本的频数为（

）．A．9 B．10 C．18 D．202．已知集合，，则中元素的个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．33．已知函数，则（

）A．f(x)的最小正周期为 B．曲线关于对称 C．f(x)的最大值为 D．曲线关于对称4．已知向量，，若向量，的夹角为，则有（

）A． B． C． D．5．已知函数的图象与函数的图象关于y轴对称，则符合条件的的对应值可以为（

）A． B． C． D．6．不等式组的解集是，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．7．设全集，集合，集合，则（

）A． B． C． D．8．函数的零点个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数，则下列叙述正确的是（

）A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限C． D．10．下列各结论正确的是（

）A．“”是“”的充要条件B．的最小值为2C．命题“，有”的否定是“，有”D．若，，则11．如图，在正三棱台中，，M，N分别是，的中点，则下列结论正确的是（

）A．直线平面B．C．该棱台的高是D．该棱台的表面积是三、填空题（本大题共3小题）12．已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为；面积为.13．已知向量，满足，且，，则与的夹角为.14．若，则的最大值是．四、解答题（本大题共5小题）15．求下列各值．(1)；(2)；(3)(4)；(5)；(6)．16．已知函数．(1)求；(2)求的解集．17．如图，在三棱柱中，点是的中点，欲过点作一截面与平面平行．(1)问应当怎样画线，并说明理由；(2)求所作截面与平面将三棱柱分成的三部分的体积之比．18．在中，角，，所对边分别是，，，满足.(1)求的值；(2)若，，求和的值.19．阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.1995年，联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护.某学校为了打造“书香校园”，使学生养成好的阅读习惯，健康成长，从学校内随机抽取了200名学生一周的课外阅读时间进行调查，了解学生的课外阅读情况，收集了他们阅读时间（单位：小时）等数据，并将样本数据分成0,2，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图：(1)求的值及200名学生一周课外阅读时间的平均数；(2)为进一步了解这200名学生一周课外阅读时间的情况，从课外阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，选取其中两人组成小组，现求其中两名组员全在内的概率.

参考答案1．【答案】A【分析】根据频数、样本容量、频率的关系，结合题设数据，即得解【详解】由题意，频数＝样本容量×频率．故选A.【方法总结】本题考查了频数、样本容量、频率的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力.2．【答案】B【分析】可求出集合，然后进行并集的运算求出，从而可得出中元素的个数.【详解】∵，，∴，∴中元素的个数为：5.故选B.3．【答案】D【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】因为所以所以函数的最小正周期，最大值为又，所以函数关于对称，故正确的为D.故选D.4．【答案】C【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量夹角的范围即可求出．【详解】因为，，，，，，，，，故选C．5．【答案】D【分析】根据题意可得，对应系数相等即可求出，结合选项即可求出结果.【详解】因为的图象与的图象关于y轴对称，所以，即，所以，即，所以，所以选项D符合.故选D.6．【答案】D【分析】先将不等式组化简，进而根据不等式组的解集求得答案.【详解】由题意，，因为不等式组的解集为，则，所以.故选D.7．【答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法以及集合的并集、补集运算求解.【详解】由题意可得：，所以.故选B.8．【答案】C【分析】由题意可转化为函数的图象和函数的图象的交点个数，数形结合即可得出结论【详解】函数的零点个数，即函数的图象和函数的图象的交点个数，由于，在同一坐标系作出函数图象：由图象可知，交点个数有3个.故选C.9．【答案】BC【分析】先根据复数的乘法和除法运算化简，然后再逐项进行分析即可.【详解】，对于A.的虚部为，所以A错误；对于B.在复平面内对应的点为，位于第一象限，所以B正确；对于C.，所以，所以C正确；对于D.，所以D错误；故选BC.10．【答案】AD【分析】直接利用充分条件和必要条件的定义，对勾函数，命题的否定，作差法证明不等式分别判断各个选项即可.【详解】对于选项，“”“”，可知，“”是“”的充要条件，则选项正确；对于选项，令，其中，则，在上单调递增，故最小值为，则选项错误；对于选项，命题“，有”的否定为“，有”，则选项错误；对于选项，，即，则选项正确.故选.11．【答案】AD【分析】将棱台补全为棱锥，求出棱锥的高，即可判断C，根据面面平行证明A，根据异面直线所成角判断B，根据棱台的表面积公式判断D；【详解】如图将棱台补全为棱锥，依题意可得，取的中点，连接，设顶点在底面的射影为，则为的一个三等分点，则，所以，所以棱台的高是，故C错误；取的中点，连接、，所以，平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故A正确；取的中点，连接、，所以，则为异面直线与所成的角（或补角），因为，，，显然，即，故B错误；如图棱台的一个侧面中，，过点作，则，所以，，，所以棱台的表面积是，故D正确；故选AD.12．【答案】【分析】求出扇形圆心角的弧度数，利用扇形的弧长和面积公式可求得结果.【详解】扇形的弧度数为，设扇形的弧长为，则，则扇形的弧长为，扇形的面积为.故答案为：；.13．【答案】/60°【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得.【详解】因为，且，，所以，即，解得，所以，又，所以.故答案为：.14．【答案】【详解】对，等号两边同时取对数，得，即，利用换元法，令，则，代入，由二次函数的配方，，即的最大值是.故答案为：．15．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】利用三角函数的诱导公式求解.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.16．【答案】(1)，(