2025版新教材高中数学单元素养评价二新人教B版必修1

PAGE1-单元素养评价(二)(其次章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若ab≠0且a<b，则下列不等式肯定成立的是()A.QUOTE>QUOTE B.a2<b2C.a2>b2 D.-a>-b【解析】选D.A.a=-3，b=2解除；B.a=-1，b=1解除；C.a=1，b=2解除；D正确.2.若ax2-5x+3=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是 ()A.a>-2 B.a<-2C.a>-2且a≠0 D.a>-QUOTE【解析】选C.因为ax2-5x+3=0是关于x的一元二次方程，所以a≠0，而不等式3a+6>0的解集是a>-2，所以a>-2且a≠0.3.依据下列表格对应的值x3.243.253.26ax2+bx+c-0.020.010.03推断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解的范围应是 ()A.x<3.24 B.3.24<x<3.25C.3.25<x<3.26 D.x>3.26【解析】选B.依据表格数据，由方程解的概念可得答案.4.假如x是实数，那么使|x|≤2成立的必要不充分条件是 ()A.|x+1|≤1 B.|x+1|≤2C.|x+1|≤3 D.|x-1|≤1【解析】选C.|x|≤2⇔-2≤x≤2，又因为|x+1|≤1⇔-2≤x≤0，|x+1|≤2⇔-3≤x≤1，|x+1|≤3⇔-4≤x≤2，|x-1|≤1⇔0≤x≤2，所以|x|≤2⇒|x+1|≤3.5.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a= ()A.1 B.-1C.1或-1 D.0.5【解析】选B.由题意得QUOTE=0，所以QUOTE所以a=-1.6.已知a，b分别满意a2-6a+4=0，b2-6a+4=0，且a≠b，则a2+b2= ()A.36 B.50 C.28 D.25【解析】选C.由题意知a，b是方程x2-6x+4=0的两个根，所以a+b=6，ab=4，所以a2+b2=(a+b)2-2ab=36-8=28.7.已知(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R，则实数a的取值范围是 ()A.a<-QUOTE或a>1 B.-QUOTE<a<1C.-QUOTE<a≤1或a=-1 D.-QUOTE<a≤1【解析】选D.a=1明显满意题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有a2<1，由Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0，解得-QUOTE<a<1.综上可知，-QUOTE<a≤1.8.已知正实数a，b满意4a+b=30，使得QUOTE+QUOTE取最小值时，实数对(a，b)是 ()世纪金榜导学号A.(5，10) B.(6，6)C.(10，5) D.(7，2)【解析】选A.因为a>0，b>0，所以QUOTE+QUOTE=QUOTE(4a+b)QUOTE=QUOTE≥QUOTE(5+2QUOTE)=QUOTE，当且仅当QUOTE时取等号.即a=5，b=10.9.已知4枝郁金香和5枝丁香的价格小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格大于24元.设2枝郁金香的价格为A元，3枝丁香的价格为B元，则A，B的大小关系为 ()世纪金榜导学号A.A>B B.A=BC.A<B D.不确定【解析】选A.设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x元和y元，由已知，得QUOTE即QUOTE不等式①两边同乘以4，不等式②两边同乘以11，得QUOTE所以22x+11y>16x+20y.所以6x>9y，即2x>3y.故2枝郁金香的价格比3枝丁香的价格贵，即A>B.10.已知不等式(x+y)QUOTE≥9对随意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ()世纪金榜导学号A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选B.不等式(x+y)QUOTE≥9对随意正实数x，y恒成立，则1+a+QUOTE+QUOTE≥a+2QUOTE+1≥9，所以QUOTE≥2或QUOTE≤-4(舍去)，所以正实数a的最小值为4.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11.在数轴上，A(x)，B(3)，且AB=QUOTE，则 ()A.x=QUOTE或-QUOTEB.x=-QUOTE或QUOTEC.AB的中点CQUOTE或QUOTED.AB的中点CQUOTE或QUOTE【解析】选AC.由题意AB=|x-3|=QUOTE，所以x-3=±QUOTE，x=QUOTE或-QUOTE，所以AB中点对应的数为QUOTE=QUOTE或QUOTE=QUOTE.12.下列四个命题，其中假命题为 ()A.∀x∈R，x2-3x+2>0恒成立B.∃x∈Q，x2=2C.∃x∈R，x2+1=0D.∀x∈R，4x2>2x-1+3x2.【解析】选ABCD.因为方程x2-3x+2=0，Δ=(-3)2-4×2>0，所以当x>2或x<1时，x2-3x+2>0才成立，所以A为假命题.当且仅当x=±QUOTE时，x2=2，所以不存在x∈Q，使得x2=2，所以B为假命题.对∀x∈R，x2+1≠0，所以C为假命题.4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，即当x=1时，4x2=2x-1+3x2成立，所以D为假命题.13.若0<a<b，且a+b=1，则在QUOTE，a2+b2，2ab，a，b中 ()A.a2+b2>2ab B.a<QUOTEC.b<QUOTE D.b>a2+b2【解析】选ABD.由于0<a<b，则a2+b2>2ab，又a+b=1，则0<a<QUOTE<b<1，又a2+b2-b=(a+b)2-2ab-b=1-2ab-b=a-2ab=a(1-2b)<0，则b>a2+b2.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)14.不等式|QUOTE|<1的解集为________.

【解析】原不等式等价为|x+1|<|x-1|(x≠1)，两边平方得，x2+2x+1<x2-2x+1，所以x<0.答案：(-∞，0)15.若关于x的不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞，a)∪(1，+∞)，则a的值为________.

【解析】不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞，a)∪(1，+∞)，所以原不等式可化为t(x-a)(x-1)<0，即t[x2-(1+a)x+a]<0且t<0，可得QUOTE所以a=2或-3，又∵a<0，∴a=-3.答案：-316.已知集合A={x|x2-2x+a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________. 世纪金榜导学号

【解析】因为1∉{x|x2-2x+a>0}，所以1∈{x|x2-2x+a≤0}，即1-2+a≤0，所以a≤1.答案：{a|a≤1}17.已知关于x的不等式|x+2|-|x+3|>m，若不等式有解，则m的取值范围为________，若不等式无解，则m的取值范围为________. 世纪金榜导学号

【解析】令y=|x+2|-|x+3|=QUOTE作出图象如图所示：由图象知-1≤|x+2|-|x+3|≤1.若不等式有解，m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可，所以m<1，故m的取值范围是(-∞，1).若不等式的解集为，m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值，所以m≥1，故m的取值范围是[1，+∞).答案：(-∞，1)[1，+∞)四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.(12分)已知关于x，y的方程组QUOTE的解集中只有一个元素，求实数k的值.【解析】把y-kx+1=0变形为y=kx-1，代入y2-2x=0化简得，k2x2-2(k+1)x+1=0，由题意，Δ=4(k+1)2-4k2=0，所以k=-QUOTE.19.(14分)解不等式或不等式组.(1)QUOTE<1.(2)QUOTE【解析】(1)原不等式可化为(2x-3)(x+5)<(x+5)2，所以(x+5)(x-8)<0，所以原不等式的解集为(-5，8).(2)不等式x+2>QUOTE的解集为QUOTE，不等式2|x|-3≤0的解集为QUOTE，所以原不等式组的解集为QUOTE.20.(14分)设x∈R，比较QUOTE与1-x的大小. 世纪金榜导学号【解析】作差：QUOTE-(1-x)=QUOTE，①当x=0时，因为QUOTE=0，所以QUOTE=1-x；②当1+x<0，即x<-1时，因为QUOTE<0，所以QUOTE<1-x；③当1+x>0且x≠0，即-1<x<0或x>0时，因为QUOTE>0，所以QUOTE>1-x.21.(14分)已知a>0，b>0，a+b=1，求证：QUOTE+QUOTE≥QUOTE. 世纪金榜导学号【证明】因为a>0，b>0，a+b=1，所以QUOTE[(2a+1)+(2b+1)]=1+4+QUOTE+QUOTE≥5+2QUOTE=9，又(2a+1)+(2b+1)=4，所以QUOTE+QUOTE≥QUOTE.22.(14分)已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0). 世纪金榜导学号(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2}，求k的值.(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围.【解析】(1)因为不等式kx2-2x+6k<0的解集为{x|x<-3或x>-2}，所以x1=-3与x2=-2是方程kx2-2x+6k=0(k≠0)的两根，所以-QUOTE=QUOTE=-3-2，所以k=-QUOTE.(2)若不等式的解集为R，即kx2-2x+6k<0恒成立，则满意QUOTE所以k<-QUOTE，所以k的取值范围是QUOTE.23.(14分)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油QUOTE升，司机的工资是每小时14元. 世纪金榜导学号(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【解析】(1)设所用时间为t=QUOTE(h)，y=QUOTE×2×