高中数学 第四章 定积分 4.1 定积分的概念 定积分的概念教学实录 北师大版选修2-2

高中数学第四章定积分4.1定积分的概念定积分的概念教学实录北师大版选修2-2主备人备课成员设计意图本节课旨在引导学生通过具体实例体验定积分的概念，理解定积分的含义，培养学生运用数学语言表达数学思维的能力。通过实际问题的解决，使学生体会数学与生活的联系，激发学习兴趣，为后续学习奠定基础。核心素养目标培养学生逻辑推理能力，通过探究定积分概念的形成过程，使学生学会从直观到抽象的数学思维转换。增强数学建模意识，通过实际问题引入定积分，让学生体验数学建模的过程。提升数学抽象能力，引导学生理解微积分的基本思想，培养其从整体到局部的抽象思维能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识。

学生已经学习了极限、导数等微积分基础知识，具备了一定的抽象思维能力和解决问题的能力。在几何直观方面，学生对曲线图形有一定的认识，能够理解函数图形的变化趋势。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。

学生对数学学科普遍持有较高的兴趣，尤其是对实际问题解决和探索数学奥秘。学生的能力方面，部分学生具备较强的逻辑推理和抽象思维能力，能够迅速理解抽象概念；而部分学生可能对抽象概念理解困难，需要更多的时间来消化吸收。学习风格上，学生中既有偏好直观图形理解的学习者，也有倾向于符号计算的学习者。

3.学生可能遇到的困难和挑战。

在学习定积分概念时，学生可能遇到的困难包括：理解定积分与导数的关系，掌握微元法的思想，以及如何将实际问题转化为定积分问题。挑战主要在于如何将抽象的数学概念与实际生活相联系，以及如何运用定积分解决实际问题。此外，学生可能对微积分的基本思想理解不够深入，难以在解决问题时灵活运用。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源-多媒体教学设备：计算机、投影仪、电子白板

-课程平台：北师大版高中数学选修2-2教材配套在线教学平台

-信息化资源：几何画板、数学软件（如MATLAB、Mathematica）

-教学手段：实物教具（如直尺、圆规、三角板）、课堂讨论板、教学案例集教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。例如，要求学生预习定积分的定义和几何意义。

设计预习问题：围绕定积分的概念，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何将求曲边梯形的面积问题转化为定积分问题？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。例如，通过查看学生提交的预习笔记或问题反馈。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解定积分的基本概念和几何意义。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：通过引导学生自主阅读和思考，培养自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台和微信群，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解定积分的概念，为课堂学习做好准备。

培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过实际生活中的例子，如计算流量、面积等，引出定积分课题，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解定积分的定义、性质和几何意义，结合实例如曲边梯形面积的计算。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分组讨论定积分的物理意义和应用场景。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，分享自己对定积分的理解。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解定积分的基本概念和性质。

实践活动法：通过小组讨论等活动，让学生在实践中应用定积分知识。

作用与目的：

帮助学生深入理解定积分的概念和性质，掌握其应用。

通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置与定积分相关的练习题，如求函数曲线下的面积。

提供拓展资源：提供相关书籍和在线资源，如定积分的应用案例和数学竞赛题。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的作业，巩固课堂所学。

拓展学习：利用老师提供的资源，深入探索定积分的更多应用。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：鼓励学生在完成作业后进行反思，总结学习经验。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的定积分知识点和技能。

通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理1.定积分的概念

a.定积分的定义：定积分是求函数在某区间上与x轴所围成的图形面积的数学方法。

b.定积分的几何意义：定积分表示函数f(x)在区间[a,b]上与x轴所围成的图形的面积。

c.定积分的物理意义：定积分表示物理量在一段时间内积累的总和。

2.定积分的性质

a.线性性质：定积分具有线性性质，即定积分的和等于各个函数的定积分的和。

b.保号性：定积分具有保号性，即定积分的值与函数的符号相同。

c.可加性：定积分具有可加性，即定积分可以分解为几个子区间的定积分之和。

d.定积分的极限性质：定积分的值与积分区间的长度成正比。

3.定积分的计算方法

a.微元法：将定积分问题转化为无穷多个微小的定积分问题，然后求和。

b.牛顿-莱布尼茨公式：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)在[a,b]上的定积分可以表示为F(b)-F(a)。

c.定积分的分部积分法：如果函数u(x)和v(x)具有可导性，那么定积分u(x)v'(x)dx可以表示为u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。

d.定积分的换元积分法：通过换元，将复杂的定积分问题转化为简单的定积分问题。

4.定积分的应用

a.面积问题：计算曲边梯形、环形等图形的面积。

b.体积问题：计算旋转体、平面图形绕轴旋转所形成的立体图形的体积。

c.物理问题：求解速度、位移、功等物理量。

d.经济问题：求解成本、利润、需求等经济量。

5.定积分与导数的关系

a.微积分基本定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)在[a,b]上的定积分可以表示为F(b)-F(a)。

b.高阶导数：通过定积分可以求解函数的高阶导数。

c.奇偶性：通过定积分可以判断函数的奇偶性。

d.变限积分：通过变限积分可以求解函数在某个区间上的平均值。

6.定积分的极限

a.定积分的极限定义：定积分的极限表示当积分区间长度趋向于无穷大时，定积分的值。

b.定积分的极限性质：定积分的极限具有线性性质、保号性、可加性等性质。

c.定积分的极限计算方法：利用微元法、牛顿-莱布尼茨公式等方法计算定积分的极限。

7.定积分的证明

a.定积分的定义证明：通过极限方法证明定积分的定义。

b.定积分的性质证明：通过数学归纳法、反证法等方法证明定积分的性质。

c.牛顿-莱布尼茨公式的证明：通过极限方法证明牛顿-莱布尼茨公式。

d.定积分的换元积分法的证明：通过换元方法证明定积分的换元积分法。

8.定积分在工程中的应用

a.计算梁的应力：通过定积分计算梁在某一截面的应力。

b.计算流体力学中的流量：通过定积分计算流体在某一截面上的流量。

c.计算电磁学中的电场强度：通过定积分计算电场在某一截面上的电场强度。

d.计算热力学中的热量：通过定积分计算热量在某一截面上的传递。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生参与度：观察学生在课堂上的参与程度，如提问、回答问题、参与讨论等，评估学生的课堂积极性。

-课堂纪律：评估学生的课堂纪律，包括是否遵守课堂规则、是否尊重他人等。

-思维活跃度：观察学生在课堂上的思维活跃程度，如是否能够提出问题、是否能够对问题进行深入思考等。

2.小组讨论成果展示：

-团队合作：评估学生在小组讨论中的合作能力，如是否能有效分工、是否能积极倾听他人意见等。

-沟通能力：观察学生在小组讨论中的沟通能力，如是否能清晰表达自己的观点、是否能有效倾听他人等。

-创新思维：评估学生在小组讨论中是否能够提出新的观点或解决方案。

3.随堂测试：

-知识掌握程度：通过随堂测试，评估学生对定积分概念、性质和计算方法的理解程度。

-应用能力：测试学生能否将定积分知识应用于解决实际问题。

-时间管理：评估学生在规定时间内完成测试的能力，包括对时间的有效利用和答题速度。

4.课后作业完成情况：

-完成率：统计学生完成课后作业的比例，了解学生对知识的巩固情况。

-质量分析：对课后作业的质量进行分析，如解题思路是否正确、计算是否准确等。

-反馈收集：收集学生对课后作业的反馈，了解作业的难易程度和学生的需求。

5.教师评价与反馈：

-针对学生的个体差异，给予个性化的评价和指导。

-针对课堂表现，给予正面的鼓励和建设性的批评。

-针对学生的疑问和困惑，提供详细的解答和指导。

-针对学生的学习进度，调整教学策略和方法，确保每个学生都能跟上教学节奏。

-定期与学生和家长沟通，了解学生的学习情况和需求，共同促进学生的学习进步。内容逻辑关系①定积分的概念

-重点知识点：定积分的定义、几何意义、物理意义。

-重点词句：定积分是求函数在某区间上与x轴所围成的图形面积的数学方法；定积分表示函数f(x)在区间[a,b]上与x轴所围成的图形的面积；定积分表示物理量在一段时间内积累的总和。

②定积分的性质

-重点知识点：定积分的线性性质、保号性、可加性、极限性质。

-重点词句：定积分具有线性性质，即定积分的和等于各个函数的定积分的和；定积分具有保号性，即定积分的值与函数的符号相同；定积分具有可加性，即定积分可以分解为几个子区间的定积分之和；定积分的值与积分区间的长度成正比。

③定积分的计算方法

-重点知识点：微元法、牛顿-莱布尼茨公式、分部积分法、换元积分法。

-重点词句：微元法是将定积分问题转化为无穷多个微小的定积分问题，然后求和；牛顿-莱布尼茨公式表示如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)在[a,b]上的定积分可以表示为F(b)-F(a)；分部积分法是通过换元，将复杂的定积分问题转化为简单的定积分问题；换元积分法是通过换元方法证明定积分的换元积分法。

④定积分的应用

-重点知识点：面积问题、体积问题、物理问题、经济问题。

-重点词句：计算曲边梯形、环形等图形的面积；计算旋转体、平面图形绕轴旋转所形成的立体图形的体积；求解速度、位移、功等物理量；求解成本、利润、需求等经济量。

⑤定积分与导数的关系

-重点知识点：微积分基本定理、高阶导数、奇偶性、变限积分。

-重点词句：微积分基本定理表示如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)在[a,b]上的定积分可以表示为F(b)-F(a)；通过定积分可以求解函数的高阶导数；通过定积分可以判断函数的奇偶性；通过变限积分可以求解函数在某个区间上的平均值。

⑥定积分的极限

-重点知识点：定积分的极限定义、极限性质、极限计算方法。

-重点词句：定积分的极限表示当积分区间长度趋向于无穷大时，定积分的值；定积分的极限具有线性性质、保号性、可加性等性质；利用微元法、牛顿-莱布尼茨公式等方法计算定积分的极限。

⑦定积分的证明

-重点知识点：定积分的定义证明、性质证明、牛顿-莱布尼茨公式的证明、换元积分法的证明。

-重点词句：通过极限方法证明定积分的定义；通过数学归纳法、反证法等方法证明定积分的性质；通过极限方法证明牛顿-莱布尼茨公式；通过换元方法证明定积分的换元积分法。

⑧定积分在工程中的应用

-重点知识点：计算梁的应力、计算流体力学中的流量、计算电磁学中的电场强度、计算热力学中的热量。

-重点词句：通过定积分计算梁在某一截面的应力；通过定积分计算流体在某一截面上的流量；通过定积分计算电场在某一截面上的电场强度；通过定积分计算热量在某一截面上的传递。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.实践导向的教学设计：在讲解定积分的概念时，我尝试引入更多实际生活中的例子，比如水流、气温变化等，让学生直观感受到定积分在解决实际问题中的应用。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体教学设备，如电子白板和投影仪，展示定积分的计算过程和几何意义，提高学生的直观理解能力。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对抽象概念的接受程度：部分学生对定积分的抽象概念理解困难，需要更多的实例来辅助理解。

2.教学互动性不足：在课堂讨论中，我发现学生之间的互动较少，需要更多的引导和鼓励，以激发学生的参与积极性。

3.评价方式单一：目前的评价方式主要是随堂测试和课后作业，可以考虑引入更多的评价手段，如课堂表现、小组合作等，以更全面地评估学生的学习成果。

反思改进措施（三）

1.丰富教学案例：针对学生对抽象概念的接受程度问题，我将增加更多贴近学生生活实际的教学案例，如城市规划、建筑设计等，以帮助学生更好地理解定积分的实际应用。

2.提高课堂互动性：为了提高学生的课堂参与度，我会设计更多互动环节，如小组讨论、角色扮演等，鼓励学生提出问题，分享自己的见解。

3.多元化评价方式：为了更全面地评估学生的学习成果，我将引入多元化的评价方式，如课堂表现评价、小组合作评价、项目式学习评价等，以鼓励学生在不同方面展示自己的能力。

4.加强个性化辅导：对于理解困难的学生，我将提供个性化的辅导，如课后辅导、一对一咨询等，帮助他们克服学习上的困难。

5.关注学生学习反馈：我将定期收集学生的学习反馈，了解他们的需求和困难，并根据反馈调整教学策略，以确保教学效果的最大化。课后作业1.计算下列定积分：

∫(x^2-3x+2)dx

解答：∫(x^2-3x+2)dx=(1/3)x^3-(3/2)x^2+2x+C

2.求函数f(x)=2x-1在区间[1,3]上的定积分。

解答：∫(2x-1)dx=x^2-x+C，代入上下限得：(3^2-3)-(1^2-1)=6

3.已知函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的定积分等于4，求函数f(x)=2x^2在区间[0,2]上的定积分。

解答：∫(x^2)dx=(1/3)x^3+C，代入上下限得：(2^3-0^3)=8，所以∫(2x^2)dx=2∫(x^2)dx=2*8=16

4.求函数f(x)=3x^2-2x+1在区间[-1,1]上的定积分。

解答：∫(3x^2-2x+1)dx=x^3-x^2+x+C，代入上下限得：(1^3-1^2+1)-(-1^3-(-1)^2-1)=3

5.已知函数f(x)=2sin(x)在区间[0,π/2]上的定积分等于2，求函数f(x)=4sin(x)在区间[0,π/2]上的定积分。

解答：∫(2sin(x))dx=-2cos(x)+C，代入上下限得：-2cos(π/2)-(-2cos(0))=2，所以∫(4sin(x))dx=2∫(2sin(x))dx=2*2=4

6.求函数f(x)=x^3-x^2+x在区间[0,1]上的定积分。

解答：∫(x^3-x^2+x)dx=(1/4)x^4-(1