2025北京八一学校高三（下）开学考数学（教师版）

第1页/共1页2025北京八一学校高三（下）开学考数学2025.02第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若集合，或，则（）A. B. C. D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.双曲线的左焦点的坐标为（）A.(-2,0) B. C. D.4.已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则A.1 B.2 C.3 D.45.已知圆，直线过，若被圆所截得的弦长最小值为2，则（）A. B. C. D.6.已知抛物线的焦点为，点在上．若是坐标原点，，则（）A. B. C. D.7.充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向已知电池充入的电量E（单位：）与充电时间t（单位：）满足函数，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为，充电充入了的电量；电池B的容量为，充电充入了的电量.设电池A的充电效率为，电池B的充电效率为，则（）A. B. C. D.大小关系无法确定8.在中，，且，则取最小值时的值为（）A. B. C. D.9.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为（）A. B. C. D.10.设无穷等差数列的公差为，集合.则（）A.不可能有无数个元素B.当且仅当时，只有1个元素C.当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为D.当时，最多有个元素，且这个元素的和为0第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.复数（i是虚数单位）的虚部是____________．12.展开式中的常数项为__________．13.在ABC中，，且，则_______.14.已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是____________．15.正方体的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面上，且平面.（Ⅰ）当点M与点C重合时，线段AP的长度为_______；（Ⅱ）线段AP长度的最小值为_______.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，已知，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，求与的值.条件①：；条件②：；条件③：.17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，在棱上取点，使得平面.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求直线到平面的距离.18.某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得分，投放错误得分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分．从所有参赛选手中随机抽取人，将他们的得分按照，，，，分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数；（2）从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手，以表示这名选手中得分不超过分的人数，求的分布列和数学期望；（3）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．19.已知函数（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）当时，设，求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线.20.已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN交于点Q，求证：点Q在直线上．21.设数列：，已知，定义数表，其中.（1）若，写出；（2）若A，B是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”；（3）若数列A与B中的1共有n个，求证：数表中1的个数不大于．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】D【分析】先求得，然后求得正确答案.【详解】，故选：D2.【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.3.【答案】A【分析】根据双曲线方程，可求得c的值，即可得答案.【详解】由题意可知焦点在x轴上，，即，所以左焦点坐标为(-2,0)，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，属基础题.4.【答案】D【分析】先用公差表示出，结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列，所以，解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.5.【答案】B【分析】首先分析题意，利用圆基本定义与直线关系，又可知，M必在圆O的内部，故可知O到直线l的最大距离.【详解】易知，直线l与y轴交点的坐标为，圆C的圆心坐标为,半径为2.记由题意可知点M必在圆O的内部，且直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2时，O到直线l的最大距离为，则.故选：B6.【答案】A【分析】结合抛物线第一定义求出坐标，再由向量数量积公式即可求解.【详解】由可知，点，由得，故，所以.故选：A7.【答案】B【分析】列出方程后比较大小【详解】由题意得，则，同理，则，得，由指数函数单调性得，即．故选：B8.【答案】B【分析】对平方，利用平面向量的数量积公式和已知条件，可知，根据二次函数的性质，即可求出结果.【详解】因为所以当时，取最小值.故选：B.9.【答案】C【分析】将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆心角公式求解即可.【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为x＋7，由相似得，即x＝，所以可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为.故选：C.10.【答案】D【分析】对于，选项，可取特殊数列验证即可；对于可假设成立，结合图象推出与已知矛盾；对于，结合正弦函数的周期，即可判断.【详解】选项，取，则，由，因为是无穷等差数列，正弦函数是周期为的函数，所以在每个周期上的值不相同，故错误；选项，取，即，则，只有一个元素，故错误；选项，假设只有2个元素，，这2个元素的乘积为，如图可知当等于或时，显然不是等差数列，与已知矛盾，故错误；选项，当时,，，，，，，，所以最多有个元素，又因为正弦函数的周期为，数列的公差为，所以把周期平均分成份，所以个元素的和为0，故正确.故选:.【点睛】方法点睛：本题考查等差数列与正弦函数性质相结合，采用特例法，数形结合的方法判断.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【分析】利用复数模及除法运算计算，进而求出其虚部.【详解】，所以所求虚部是.故答案为：12.【答案】【详解】，令，得，∴常数项为．13.【答案】【分析】先利用正弦定理化边为角，结合倍角公式求出，从而求出.【详解】因为，所以；，解得（舍），；所以，解得，由,所以，故为锐角，所以.【点睛】本题主要考查求解三角形.三角形求解一般是利用边角关系进行转化，三角恒等变换也会经常使用.14.【答案】【分析】理解这个条件，它表明函数是增函数.对于分段函数是增函数，需要每一段函数都递增，并且在分段点处也要满足递增的条件.然后分别分析每一段函数的单调性以及分段点处的函数值关系，从而确定的取值范围.【详解】对于对数函数，当时，函数在上单调递增.因为这里，要使在上递增，所以.

对于一次函数，其斜率为，当时，函数在上单调递增.所以要使在上递增，.

在这个分段点处，需要满足在处的值不大于在处的值.当时，；.所以，即.综合前面的条件，需要同时满足，，.取交集可得，的取值范围是.故答案为：.15.【答案】①.②.【分析】（Ⅰ）当点M与点C重合时，可以得到点与点重合，从而可得的长度；（Ⅱ）利用线面垂直得到等量关系，结合二次函数求解最值.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设则,.因为平面，所以,.（Ⅰ）当点M与点C重合时,,,此时的长度为；（Ⅱ）.【点睛】本题主要考查空间中的垂直关系及动线段的长度问题.动点引发的长度变化，要寻求其中不变的关系式，综合运用其他知识求解.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】条件选择见解析；，．【分析】(一)选择条件①，条件②，由已知和三角形的面积公式可求得，再由同角三角函数间的关系求得，再由余弦定理求得，由正弦定理求得.(二)选择条件①，条件③.同角三角函数间的关系求得.再由正弦定理可得.由余弦定理可得.(负值舍去)；(三)选择条件②，条件③.同角三角函数间的关系求得.由三角形的面积公式可求得，由余弦定理可得，再由正弦定理可得.【详解】解：(一)选择条件①：；条件②：.因为，，，所以，即.所以.因为是锐角三角形，所以.由余弦定理可得.所以.(负值舍去)，由正弦定理可得.所以.所以，.(二)选择条件①：；条件③：.因为，所以.由正弦定理可得.所以.由余弦定理可得.所以.(负值舍去)，所以，.(三)选择条件②：；条件③：.因为，所以.因为，，所以，即.所以.由余弦定理可得.所以.(负值舍去)，由正弦定理可得.所以.所以，.【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.17.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证得结论成立.（2）判断出点的位置，建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.（3）利用向量法求得直线到平面的距离.【小问1详解】由于平面平面，且交线为，平面，，所以平面.【小问2详解】设，连接，由于平面，平面，平面平面，所以，由于是的中点，所以是的中点.由于平面，所以，故两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，，设平面的法向量为，所以，故可设，平面的法向量为，平面与平面夹角为，则.【小问3详解】由于平面，则到平面的距离，即到平面的距离.,到平面的距离为.即直线到平面的距离为.18.【答案】（1）抽取的人中得分落在组的人数有人，得分落在组的人数有人；（2）分布列见解析，1.2；（3）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；（2）的所有可能取值为，，，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望；（3）该选手获得100分的概率是，结合此数据作出合理的解释.【详解】（1）由题意知，所抽取的人中得分落在组的人数有（人），得分落在组的人数有（人）．所以所抽取的人中得分落在组的人数有人，得分落在组的人数有人．（2）的所有可能取值为，，．，，．所以的分布列为所以的期望．（3）答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，考查分析问题解决问题的能力.19.【答案】（Ⅰ）极小值；（Ⅱ）证明见解析.【详解】分析：（Ⅰ）对a分类讨论，利用导数求函数的极值.（Ⅱ）先把问题转化为曲线在点，处的切线不重合，再利用反证法证明.详解：（Ⅰ），令，得．①当时，与符号相同，当变化时，，的变化情况如下表：↘极小↗②当时，与符号相反，当变化时，，的变化情况如下表：↘极小↗综上，在处取得极小值.（Ⅱ），故．注意到，，，所以，，，使得．因此，曲线在点，处的切线斜率均为.下面，只需证明曲线在点，处的切线不重合.曲线在点（）处的切线方程为，即．假设曲线在点（）处的切线重合，则．令，则，且.由（Ⅰ）知，当时，，故．所以，在区间上单调递减，于是有矛盾.因此，曲线在点()处的切线不重合．点睛：本题的难点在第2问的解题思路，难点一是问题转化为只需证明曲线在点，处的切线不重合.难点二是，直接证明不重合不好证明，所以本题选择了反证法证明.对于含有否定概念的命题，一般利用补集法或反证法解答证明.20.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）根据离心率及长轴长列方程组求解即可；（2）先直接计算直线l的斜率不存在时的情况，然后直线l的斜率存在时，设，与椭圆联立，写出韦达定理，写出直线AM和BN的方程，求出时的值，作差，整理后代入韦达定理计算即可.【小问1详解】因为，椭圆C离心率为，所以，解得，．所以椭圆C的方程是；【小问2详解】①若直线l的斜率不存在时，因为椭圆C的右焦点为，所以直线l的方程是，所以点M的坐标是，点N的坐标是，所以直线AM的方