湖北省咸宁市崇阳县第二高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

2024-2025学年度下学期崇阳县第二高级中学高二年级3月月考数学试卷命审题人：陈洁考试时间：3月26日本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线在点处的切线的斜率为（）A. B. C. D.12.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.乘积的展开式中项数为（）A38 B.39 C.40 D.414.设函数，则（）A.1 B.5 C. D.05.由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（）A.360 B.280 C.156 D.1506.若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.7.若函数与的零点个数相同，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.8.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题B.分步乘法计数原理指完成其中一步就完成了整件事情C.分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题D.求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题10.下列结论中正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则11.4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（）（选项中排列数的计算结果均正确）A.若3个女生必须相邻，则不同的排法有种B.若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种C.若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种D.若3个女生按从左到右顺序排列，则不同的排法有种三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为，则为正整数的概率为______.13.已知函数在处取得极小值，则__________．14.已知直线与曲线相切，则实数的值为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有或两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成.问：（1）一个字节(位)最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码(码)包含了个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？16.（1）用排列数表示(n∈N*且n<55)；（2）计算；（3）求证：17.已知函数，且当时，取得极值（1）求的解析式；（2）求在上的最值.18.设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求实数取值范围．19.对于函数，若存在区间和，使得在上是增函数，在上是减函数，则称函数为含峰函数，为峰点，区间称为函数的一个含峰区间.（1）判断函数是不是含峰函数？并说明你的理由；（2）证明函数是含峰函数，并指出该函数的峰点；（3）若实数是含峰函数，且是它的一个含峰区间，求的取值范围.

2024-2025学年度下学期崇阳县第二高级中学高二年级3月月考数学试卷命审题人：陈洁考试时间：3月26日本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线在点处的切线的斜率为（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】求出导函数，令求出即为切线的斜率.详解】令，得，得故选：D2.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】由导函数图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解.【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，，在处的两边左正、右负，取得极大值；在处的两边左负、右正，取值极小值；在处的两边都为正，没有极值；在处的两边左正、右负，取值极大值．因此函数在开区间内的极小值点只有一个．故选：A．3.乘积的展开式中项数为（）A.38 B.39 C.40 D.41【答案】C【解析】【分析】采用分步乘法计数原理进行计算即可.【详解】从第一个括号中选一个字母有2种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法，根据分步乘法计数原理可知共有项.故选：C.4.设函数，则（）A.1 B.5 C. D.0【答案】B【解析】【分析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.【详解】由题意，所以，所以原式等于故选：B.5.由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（）A.360 B.280 C.156 D.150【答案】C【解析】【分析】分个位的数字为0、2、4并求出对应满足条件的偶数个数即可.【详解】若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数，若个位上的数字为2或4，可以组成，故可以组成个符合条件的数．故选：C6.若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求导，可得对恒成立，可得对恒成立，求得的最大值即可.【详解】由，可得，因为函数在区间上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，令，则，因为，所以，所以，所以，所以实数k的取值范围是.故选：D.7.若函数与的零点个数相同，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数确定的零点的个数，进而利用导数确定的极值，进而由，求解即可.【详解】由，得，当，，所以在上单调递增，当，，所以在上单调递减，又，所以只有一个零点．由，可得，令，得或，，，若只有1个零点，则，所以或．故选：C．8.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，分析出函数为偶函数，且在上为减函数，由可得出或，解这两个不等式组即可得解.【详解】构造函数，该函数的定义域为，由于函数为奇函数，则，所以，函数为偶函数.当时，，所以，函数在上为减函数，由于函数为偶函数，则函数在上为增函数.，则且，所以，.不等式等价于或，解得或.因此，不等式的解集为.故选：C.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题B.分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情C.分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题D.求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题【答案】AC【解析】【分析】根据分类加法计数原理、分步乘法计数原理的知识判断出正确答案.【详解】对于A，从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题，故A正确.对于B，分步乘法计数原理是指完成所有的步骤才是完成整件事情，故B错误.对于C，分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题，故C正确.对于D，求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分步计数问题，故D错误.故选：AC.10.下列结论中正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据常见的基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则求解即可.【详解】选项A中，若，则，故A正确；选项B中，若，则，令，则，解得，故B正确；选项C中，若，则，故C正确；选项D中，若，则x，故D错误．故选:ABC【点睛】1.常见的基本初等函数的导数公式(1)(C为常数);(2)；(3);；(4);，且)；(5)；，且)．2.常用的导数运算法则法则1：．法则2：．法则3：11.4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（）（选项中排列数的计算结果均正确）A.若3个女生必须相邻，则不同的排法有种B.若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种C.若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种D.若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种【答案】BCD【解析】【分析】利用相邻与不相邻、有位置限制及定序的排列问题，列式计算判断即可.【详解】对于A，3个女生必须相邻，则不同的排法有种，A错误；对于B，3个女生中有且只有2个女生相邻，先排4个男生有种，3个女生取2个女生排在一起，与另1个女生插入4个男生排列形成的5个间隙中，有，不同排法有种，B正确；对于C，女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，由排除法得不同的排法共有种，C正确；对于D，3个女生按从左到右的顺序排列，不同的排法有种，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为，则为正整数的概率为______.【答案】##0.15【解析】【分析】计算基本事件总数，再找符合条件的基本事件，通过古典概型计算即可.【详解】从中选两个不同的数作为对数的底数和真数，共有个不同的基本事件，其中为整数的只有三个基本事件，所以概率为.故答案为：.13.已知函数在处取得极小值，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，求出的值，再检验是否为极小值点即可.【详解】由，又函数在处取得极小值，则，解得，或，当时，，令，则，或，当时，，当时，，则处取得极小值，故时符合题意；当时，，令，则，或，当时，，当时，，则处取得极大值，故时不符合题意.故答案为：.14.已知直线与曲线相切，则实数的值为_____．【答案】【解析】【分析】由直线方程得到直线的定点坐标，求出函数的导函数，设切点坐标，由两点坐标表示出斜率建立方程，求得切点坐标，即可求得实数的值.【详解】直线过定点，，设直线与曲线的切点坐标为，则，则，∴.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有或两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成.问：（1）一个字节(位)最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码(码)包含了个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？【答案】（1）256个；（2）2个.【解析】【分析】（1）一个字节共有位，每位上有种选择，根据分步乘法计数原理，即可得解；（2）由（1）知，用一个字节能表示个字符，不够表示，继续利用分步相乘原理计算个字节可以表示的不同的字符，判断与的大小关系即可.详解】（1）一个字节共有位，每位上有种选择，根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示个不同的字符；（2）由（1）知，用一个字节能表示个字符，，一个字节不够；根据分步乘法计数原理，个字节可以表示个不同的字符，，所以每个汉字至少要用个字节表示.【点睛】关键点点睛：本题考查分步乘法计数原理，熟练掌握分步计数原理的概念及计算公式是解题的关键，考查学生的逻辑思维与运算能力，属于基础题.16.（1）用排列数表示(n∈N*且n<55)；（2）计算；（3）求证：.【答案】（1）；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）通过变形可知，利用排列数公式即得结论；（2）利用排列数公式计算即可；（3）利用排列数公式计算即可证明；【详解】(1)∵中的最大数为，且共有个元素，∴(2)；(3)∵所以.17.已知函数，且当时，取得极值（1）求的解析式；（2）求在上的最值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）根据，，列出方程组，求解即可；（2）根据（1）中所求解析式，利用导数判断函数单调性，结合极值和区间端点值，即可求得结果【小问1详解】，故可得，由题可知：，，即：，，解得；经检验，当时，满足题意，故.【小问2详解】由（1）可知：，，又，故当，，单调递增；当，，单调递减；当，，单调递增；故的极大值为，的极小值为，，故在上的最大值为，最小值为.18.设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性；（2）由已知得恒成立，令，利用导数求得的最小值即可.【小问1详解】由，则当时，恒成立，则在上单调递增；当时，令，解得，时，，则在上单调递增；时，