《 备考指南 数学 》课件-第11章 第2讲

第十一章第2讲[A级基础达标]1．(2021年潍坊二模)2021年是中国共产党百年华诞．某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演，现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有()A．14种 B．48种C．72种 D．120种【答案】D2．(2021年北京二模)某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是()A．15 B．45C．60 D．75【答案】C3．(2021年宿州三模)新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知．某学校按市局通知要求，制定了错峰放学、错峰吃饭的具体防疫措施．高三年级一层楼有A，B，C，D，E，F六个班排队吃饭，A班必须排在第一位，且D班、E班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有()A．20种 B．56种C．72种 D．40种【答案】C4．(2021年苏州一中期中)将标号为1,2,3,4,5,6,7的7个小球随机地放入标号为1,2,3,4,5,6,7，的7个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有()A．90种 B．135种C．180种 D．315种【答案】D5．将4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，每辆汽车上要有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有()A．Aeq\o\al(8,8)种 B．Aeq\o\al(4,8)种C．Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)种 D．2Aeq\o\al(4,4)种【答案】C6．(2021年临沂期中)(多选)我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五经算术》《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为()A．Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(4,4) B．Aeq\o\al(5,6)Ceq\o\al(1,5)C．Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(4,4) D．Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)【答案】AD【解析】方法一：6本分给5名数学爱好者，每人至少一本，则把6本书分为(2,1,1,1,1)五组，再分配给5名数学爱好者，故有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)种；方法二：先从5名数学爱好者选1人得到2本，其余一人一本，故有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(4,4)种．故选AD．7．(2021年海南天一大联考三模)(多选)从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中()A．奇数有60个B．包含数字6的数有30个C．个位和百位数字之和为6的数有24个D．能被3整除的数有48个【答案】AD【解析】对于A，先确定个位，有3种选择方法，再确定百位和十位，故有3Aeq\o\al(2,5)＝60个，故A正确；对于B，从1,2,3,4,5中任选2个和6全排，故有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(3,3)＝60个，故B错误；对于C，因为1＋5＝5＋1＝6,2＋4＝4＋2＝6，所以个位和百位数字之和有4种排法，十位从余下的4个数字中任选1个，有4种排法，故有4×4＝16个，故C错误；对于D，能被3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,5)，(1,5,6)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,5,6)八种选择，故能被3整除的数有8Aeq\o\al(3,3)＝48个，故D正确．故选AD．8．(2021年北京模拟)在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有6名志愿者要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有______种．【答案】18【解析】第一步，先分甲、乙，有Ceq\o\al(1,3)种选法，第二步，从剩下的4人任取2人到另外两个社区中的一个，则最后剩的2人只能到最后一个社区，有Ceq\o\al(2,4)种选法，所以不同的分配方案共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)＝18种．9．有3个少数民族地区，每个地区需要一名支医医生和两名支教教师，现将3名支医医生和6名支教教师分配到这3个地区去工作，则共有________种不同的分配方案．【答案】540【解析】将3名支医医生和6名支教教师分配到这3个地区，有Aeq\o\al(3,3)·eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝540种安排方法．10．(2021年湖州月考)用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位数；(2)能组成多少个无重复数字的四位奇数；(2)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？解：(1)先排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有Ceq\o\al(1,5)种排法，余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有Aeq\o\al(3,5)种排法，所以能组成无重复数字的四位数有Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(3,5)＝300(个)．(2)先排个位数，有Ceq\o\al(1,3)种排法，然后排千位数，有Ceq\o\al(1,4)种排法，剩下百位和十位任意排，有Aeq\o\al(2,4)种排法，所以能组成无重复数字的四位奇数有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝144(个)．(3)无重复数字且比1325大的四位数有三类，第一类是千位是2,3,4,5中的一个，有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,5)种排法；第二类是千位是1，百位是4,5中的一个，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)种排法；第三类是千位是1，百位是3，十位是4,5中的一个，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)种排法．所以能组成无重复数字且比1325大的四位数有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝270(个)．[B级能力提升]11．(2021年茂名模拟)国外新冠肺炎不断扩散蔓延，2021年元月我国本土疫情呈零星散发与聚集性疫情交织叠加态势，本着“疫情防控不松懈，健健康康过春节”的精神，某地8名防疫工作人员到A，B，C，D四个社区做防护宣传，每名工作人员只去1个社区，A社区安排1名、B社区安排2名、C社区安排3名，剩下的人员到D社区，则不同的安排方法共有()A．39种 B．168种C．1268种 D．1680种【答案】D【解析】首先从8名工作人员中选1名去A社区，方法数有Ceq\o\al(1,8)；然后从其余7名工作人员中选2名去B社区，方法数有Ceq\o\al(2,7)；再从其余5名工作人员中选3名去C社区，方法数有Ceq\o\al(3,5)；最后剩下的2名工作人员去D社区，故不同的安排方法共有Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(3,5)＝1680种．12．(2021年池州一模)2020年12月17日，嫦娥五号返回器携带1731克月球土壤样品在内蒙古四王子旗预定区域安全着陆，至此我国成为世界上第三个从月球取回土壤的国家．某科研所共有A，B，C，D，E，F六位地质学家，他们全部应邀去甲、乙、丙三所不同的中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，其中地质学家A被安排到甲中学，则不同的派遣方法种数为()A．180 B．162C．160 D．126【答案】A【解析】根据题意，分2步进行分析：①将A，B，C，D，E，F六位地质学家分为3组，若分为1,1,4的三组，有Ceq\o\al(4,6)＝15种分组方法；若分为1,2,3的三组，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)＝60种分组方法；若分为2,2,2的三组，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15种分组方法，则共有15＋60＋15＝90种分组方法．②将A所在的组安排到甲学校，剩下的2组安排到其他两个学校，有2种安排方法，则有90×2＝180种安排方法．故选A．13．(2021年辽宁模拟)(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区进行义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加但不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是()A．若1班不再分配名额，则共有Ceq\o\al(4,20)种分配方法B．若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有Ceq\o\al(5,19)种分配方法C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法【答案】BD【解析】对于A，若1班不再分配名额，即将20个名额分配到其他5个班级，每个班都必须有人参加，可以将20个名额看成20个小球，排成一排，中间有19个空位可用，在其中任选4个，安排4个挡板，即有Ceq\o\al(4,19)种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，即将20个名额分配到6个班级，每个班都必须有人参加，即有Ceq\o\al(5,19)种分配方法，故B正确；对于C，若每个班至少3人参加，1班有2个劳动模范，先满足每个班级2个名额，还剩10个名额，分配到6个班级，每个班都必须有人参加，即有126种分配方法，故C错误，D正确．故选BD．14．(2021年南京十三中月考)(多选)某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有()A．分给甲、乙、丙三地每地各2辆，有120种分配方式B．分给甲、乙两地每地各2辆，分给丙、丁两地每地各1辆，有180种分配方式C．若甲、乙、丙三地其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式D．若甲、乙、丙、丁四地其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1080种分配方式【答案】BD【解析】对于A，在6辆不同的工程车中选出2辆，分给甲地，有Ceq\o\al(2,6)种分组方法，在剩下的4辆工程车中选出2辆，分给乙地，有Ceq\o\al(2,4)种分法，将最后的2辆工程车分给丙地，有Ceq\o\al(2,2)种分法，则有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90种分配方式，故A错误；对于B，在6辆不同的工程车中选出2辆，分给甲地，有Ceq\o\al(2,6)种分组方法，在剩下的4辆工程车中选出2辆，分给乙地，有Ceq\o\al(2,4)种分法，在剩下的2辆工程车中选出1辆，分给丙地，有Ceq\o\al(1,2)种分法，将最后的1辆工程车分给丁地，有1种分法，则有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)＝180种分配方式，故B正确；对于C，将6辆工程车分为4,1,1的三组，有Ceq\o\al(4,6)＝15种分组方法，将分好的三组安排到三个工地，有Aeq\o\al(3,3)＝6种情况，则有15×6＝90种分配方式，故C错误；对于D，将6辆工程车分为2,2,1,1的四组，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2)A\o\al(2,2))＝45种分组方法，将分好的四组安排到四个工地，有Aeq\o\al(4,4)＝24种情况，则有45×24＝1080种分配方式，故D正确．故选BD．15．定义“有增有减”数列{an}如下：存在t∈N*，满足at<at＋1，且存在s∈N*，满足as>as＋1.已知“有增有减”数列{an}共四项，若ai∈{x，y，z}(i＝1,2,3,4)，且x<y<z，则数列{an}共有________个．【答案】54【解析】当四项中只有两项相同时(如x，y，z，x)，共有Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A\o\al(4,4),A\o\al(2,2))－2))＝30(个)；当四项中有三项相同时(如x，x，y，x)，共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝12(个)；当四项中两两相同时(如x，y，x，y)，共有Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A\o\al(4,4),A\o\al(2,2)A\o\al(2,2))－2))＝12(个)．所以数列{an}共有30＋12＋12＝54(个)．[C级创新突破]16．(2021年扬州期中)现有编号为A，B，C，D，E，F的6个不同的小球．(1)若将这些小球排成一排，则有多少种不同的排法(请用数字作答)；(2)若将这些小球排成一排，且A，B，C三个小球各不相邻，则有多少种不同的排法(请用数字作答)；(3)若将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法(请用数字作答)?解：(1)根据题意，将6个不同的小球排成一排，有Aeq\o\al(6,6)＝720种不同的排法．(2)根据