中考数学一轮复习备考专题14：三角形及其全等（讲义）

专题十四三角形及其全等（讲义）——中考数学一轮复习备考合集考情分析命题点命题形式命题热度命题特点三角形及其性质1.三角形的三边关系☆☆本专题多以选择题和填空题的形式出现，考查三角形的基本概念，解答题常见题型为全等三角形的有关证明与计算等，要求学生熟练掌握全等三角形的判定及性质，并在解答过程中灵活运用，体现了数形结合和分类讨论的思想2.三角形的内角和外角☆与三角形有关的重要线段3.三角形中的重要线段☆4.线段的垂直平分线☆☆5.角平分线的性质☆☆全等三角形6.全等三角形的判定☆☆☆7.全等三角形的性质与判定综合☆☆☆讲解一：三角形及其性质分类按角分：按边分：性质三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.角的关系：（1）内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.（2）三角形的外角和等于360°.（3）内外角关系：a.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图，b.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角如图，边角关系：在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边（大边对大角，小边对小角）三角形具有稳定性命题精练命题形式1三角形的三边关系1．（2023·湖南·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6【答案】C解析：，∴1，3，4不能组成三角形，故A选项不符合题意；，∴2，2，7不能组成三角形，故B不符合题意；，，∴4，5，7能组成三角形，故C符合题意；，∴3，3，6不能组成三角形，故D不符合题意，故选：C．2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（）A．或 B．或 C． D．【答案】C【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．解析：由方程得，，，∵，∴等腰三角形的底边长为，腰长为，∴这个三角形的周长为，故选：． 3.（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．9【答案】B解析：由题意，得，即，故的值可选5，故选：B．4.（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为．【答案】6解析：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，，能构成三角形，第三边长为6；当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，，不能构成三角形，舍去；综上，第三边长为6，故答案为：6．命题形式2三角形的内角和外角1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（）A． B． C． D．【答案】A解析：∵，∴，∵，∴，故选：A．2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（）A．30° B． C． D．60°【答案】B解析：如图所示，由题意得，，，∴，故选：B．3.（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是三角形【答案】直角【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型．解析：，这个三角形是直角三角形，故答案为：直角．讲解二：与三角形有关的重要线段一、三角形中的重要线段名称图形性质重要结论中线三角形的三条中线的交点在三角形的内部，这个点称为重心.中线将三角形分成两个面积相等的三角形.高，即锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是直角的顶点；钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，这个点称为垂心.角平分线三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，这个点称为内心.中位线且中位线所截得的三角形与原三角形相似，其相似比为1:2，面积比为1:4二、线段的垂直平分线线段的垂直平分线图形性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等直线是线段的垂直平分线，为上一点，则；反过来，若，则点在线段的垂直平分线上判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上知识详解（1）由线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，比利用两三角形全等证明更简捷.线段的垂直平分线的性质在求线段的长及平面图形的周长中都有广泛的应用.（2）线段的垂直平分线的判定是画线段垂直平分线的依据三、角平分线的性质内容符号语言图形角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等如果点在的平分线上，且于点，于点，那么知识详解（1）性质中的距离是指点到角两边的垂线段的长.（2）性质中有两个条件：一是点在角的平分线上，二是这个点到角两边的距离，即这个点到角的两边的垂线段的长度，两者缺一不可.（3）利用角的平分线的性质证明线段相等，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”.（4）应用角平分线的性质解题的格式：平分，于点，于点，.（5）角平分线的性质的作用：由于角平分线的性质的结论是两条线段相等，因此角平分线的性质常被用来证明两条线段相等四、角平分线的判定内容符号语言图形角平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上如果点为内一点，于点，于点，且，那么点在的平分线上知识详解（1）角平分线的性质与判定的关系：点在角的平分线上（角的内部的）点到角的两边的距离相等.要正确理解，明确条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的交换，性质是证明两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据.（2）应用角平分线的判定解题的格式：于点，于点，，平分命题精练命题形式3三角形中的重要线段1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（）A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线【答案】B解析：由作图可得：，∴线段一定是的高线；故选B2．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（）A． B．3 C．4 D．6【答案】B【思路点拨】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解．解析：∵，，∴∵是中线，∴故选：B3.（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是．【答案】/100度解析：∵，∴，∵是边上的高，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴．故答案为：．命题形式4线段的垂直平分线1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（）A．7 B．8 C．10 D．12【答案】C【思路点拨】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案．解析：由作图知，垂直平分，，的周长，，，的周长，故选：C．2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（）A． B． C． D．【答案】C解析：∵垂直平分，∴，∴的周长，故选：．3.（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则．【答案】3解析：，，，在的垂直平分线上，．故答案为：3．命题形式5角平分线的性质1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（）A．与一定相等 B．与一定不相等C．与一定相等 D．与一定不相等【答案】A【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案．解析：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F∵点P在的平分线上，∴，由平行线间间距相等可知，∴，由于和的长度未知，故二者不一定相等，故选：A，2．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C解析：过点P作于点E，∵平分，，，∴，故选：C．3.（2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为．

【答案】/【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于点D到的距离DE的长度，然后根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可．解析：∵是的角平分线，，分别是和的高，，∴，又，∴，设点E到直线的距离为x，∵，∴．故答案为：．讲解三：全等三角形概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形性质（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高、角平分线、中位线都相等判定边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等边角边（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等角边角：（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等角角边（AAS）：两角对应相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形相等斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等【提示】判定一般三角形全等，无论用哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等命题精练命题形式6全等三角形的判定1.（2024·四川乐山·中考真题）知：如图，平分，．求证：．【答案】见解析解析：平分，，在和中，，，．2.（2023·四川乐山·中考真题）如图，与相交于点O，．求证：．【答案】见解析解析：∵，∴，在与中，，，，∴．∴．3.（2024·西藏·中考真题）如图，点C是线段的中点，，．求证：．【答案】见解析证明：∵点C是线段的中点，∴，在和中，，∴，∴．4.（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边AB上，经过边的中点E，且．求证．【答案】见详解证明：∵点E为边的中点，∴，∵，，∴，∴，∴．5.（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．求证：．【答案】见解析证明：，，即，在和中，，．命题形式7全等三角形的性质与判定综合1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．

(1)求证：；(2)若，则__________°．【答案】(1)答案见解析(2)解析：（1）证明：在和中，，；（2），，，由（1）知，，故答案为：20．2.（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析解析：（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∵是的中点，∴，在和中，，∴（2）证明：∵，∴，∴．【题型分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角．（1）根据矩形的性质得出，再根据中点的定义得出，即可根据求证；（2）根据全等的性质得出，根据等边对等角即可求证．3.（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)解析：（1）证明：在与中，，所以；（2）因为，，所以，，所以是等边三角形．所以．4.（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【思路点拨】本题主要