中考数学一轮复习备考专题19：矩形（讲义）

专题十九矩形（讲义）——中考数学一轮复习备考合集考情分析命题点命题形式命题热度命题特点矩形矩形的有关证明与计算☆☆☆本专题主要从矩形的性质、判定方面命题，多以选择题和填空题的形式出现，解答题常见题型为矩形的有关证明与计算，要求学生熟练掌握矩形的性质与判定定理，体现了数形结合的核心素养.讲解一：矩形一、矩形的定义及其性质1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.【注意】（1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.（2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可.（3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法.2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）：性质数学语言图形角矩形的四个角都是直角四边形是矩形，对角线矩形的对角线相等四边形是矩形，对称性矩形是轴对称图形，它有两条对称轴【注意】（1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等.（2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点.（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等.二、矩形的判定判定方法数学语言图形角有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）在中，，是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形在四边形中，，四边形是矩形.对角线对角线相等的平行四边形是矩形在中，，是矩形命题精练命题形式1矩形的有关证明与计算1.（2024·甘肃·中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C解析：根据矩形的性质，得，∵，∴是等边三角形，∵，∴，解得．故选C．2．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为，CF的最大值为．【答案】6解析：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形，∴，∵，∴的最小值为6，由折叠的性质可得，∴的最小值为6；如图所示，连接，由折叠的性质可得，，，∵，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴当最大时，最大，即最大时，最大，∴当与点B重合时，最大，设此时，则，∴，解得，∴的最大值为故答案为：，．3.（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，D是的中点，，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求的长．解析：（1）证明：∵，D是BC的中点，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴四边形是矩形．（2）由（1）可知四边形是矩形．∴，，，∵D是的中点，∴，在中，，∴，∵，∴即，∴．4.（2024·陕西·中考真题）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：．【答案】见解析解析：证明：∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴．5.（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形．【答案】证明见解析．证明：∵是边的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．6.（2024·贵州·中考真题）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件：①，②．(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；(2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)解析：证明：∵，，∴是平行四边形，又∵，∴四边形是矩形；选择②，证明：∵，，∴是平行四边形，又∵，∴四边形是矩形；（2）∵，∴，∴矩形的面积为．7.（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，．(1)求证：；(2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值．【答案】(1)见解析(2)，解析