高考物理考前知识专题14 数学方法的应用

方法专题

专题14数学方法的应用

网络构建

宜线.v=Ax+b

数列数学极值法

极

限双曲线尸/

与

数

学

归

数学方法在图象求

纳

法高中物理中

解法抛物线,¥=请+加+。

的应用

正弦线尸Asin(M+。

空间向量的其他数学方法三角函数】=sin?f)+cos20

坐标计算法

几何图形法解析几何法导数微元法数学比例法分析讨论法

考题一常用的数学知识

S知识精讲

1.罗列物理中常用数学方法，熟悉其内容及其变形.

2.熟悉数学在物理题中应用的特点.

3.理解物理公式或图象所表示的物理意义，不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题，

防止单纯从数学的观点出发，将物理公式“纯数学化”的倾向.

回典例剖析

例1如图1所示，AB是竖直平面内圆心为0、半径为R的圆上水平方向的直径，AC是圆

上的一条弦.该圆处在某一匀强电场中，电场线与圆平面平行，将一质量为加、电荷量为g的

带正电小球从圆周上A点以相同的功能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上的不司点,

若到达C点时小球的动能最大，已知N8AC=a=30。，重力加速度为g,则电场强度£的最

小值为（）

A幽

q

r小〃W

J2q

■q

解析小球到达C点动能最大，说明。点是重力场和电场形成的复合场中的等效最低点，即

重力和电场力的合力沿0c方向，对小球受力分析，如图所示，

利用矢量三角形可知：当巴场力垂直于OC时，电场力最小，尸min=，〃gsin30°=%咫，即Emin

X（

=罕，A正确.故选A.

答案A

【变式训练】

1.如图2所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中。4杆竖直放置，04杆与。。杆等长，0C

杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），四个环分别从。点由静止释

放，沿0A、OB、0C、0D滑到斜面上所用的时间依次为小出小、/4.下列关系不正确的是（）

图2

A./|>/2

C.f2=f4Dj2</4

答案c

解析以0A为直径画圆建立等时圆模型，小滑环受重力和支持力，由牛顿第二定律得：〃

=gcos0（〃为杆与竖直方向的夹角）

O

由图中的直角三角形可知，小滑环的位移x=2Rcos0

由x=yar2,得：，=、行=2、^^^1=2、^,t与。无关，呼知从圆上最高由、沿任意一条

弦滑到底端所用时间相同，故沿。4和OC滑到底端的时间相同，即0=/3,OB不是一条完

整的弦，时间最短，即九＞七。。长度超过一条弦，时间最长，即f2V白.故A、B、D正确，

C不正确，因本题选不正确的，故选C.

2.如图3所示，穿在一根光滑固定杆上的小球A、B通过一条跨过定滑轮的细绳连接，卡与水

平面成。角，不计所有摩擦，当两球静止时，OA绳与杆的夹角为仇OB绳沿竖直方向，则

下列说法正确的是（）

A.人可能受到2个力的作用

B.B可能受到3个力的作用

C.A、B的质量之比为tan8：1

D.A、4的质量之比为1：tan

答案D

解析对A球受力分析可知，A受到重力、绳子的拉力以及杆对A球的弹力，三个力的合力

为零，故A错误；对8球受力分析可知，8受到重力、绳子的拉力，两个力合力为零，杆对

3球没有弹力，否则4不能平衡，故B错误；分别对4、8两球受力分析，运用合成法，如

图，根据共点力平衡条件，得：Fr=〃iBg

为0,轴线上的A点在0点右侧与0点相距为试分析判断下列关于4点处电场强度

大小E的表达式(式中k为静电力常量)正确的是()

图5

_UR\kqR、

XE—/?/+(a+r)2/?22+(«—r)2

BE=kqRkqR?

222

[R；+(a+r)]2[??2+(67-r)]2

如伍+r)kq(Lr)

/?i2+G/+r)2-/?22+(«-r)2

DE=kq(a+r)_________kq(a-r)

[Rj+(…)2/[Rj+(一)2/

答案D

解析令品=4=0,A点电场强度不为0,排除A、B.或令/=凡E的结果应该只与R有关，

与此无关，排除A、B：当时，A点位于圆心。2处，带电圆环。2由于对称性在月点的

电场为0,根据微元法可以求得此时的总电场强度为E=&=­2口。3，将代入C、

(RJ+4"户

D选项可以排除C选项.故选D.

考题二数学知识的综合应用

国知识精讲

1.结合实际问题，将客观事物的状态关系和变化过程用数学语言表达出来，经过数学推导和

求解，求得结果后再用图象或函数关系把它表示出来.

2.一般程序

审题一过程分析一建立模型一应用数学思想或方法一求解并验证.

3.弄清物理公式的运用条件和应用范围；注意数学的解与物理解的统一.

囤典例剖析

例2如图6甲所示，木板与水平地面间的夹角〃可以随意改变，当。=30。时，可视为质点

的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑.若让该小物块从木板的底端以大小恒定的速度W沿木

板向上运动(如图乙)，随着夕的改变，小物块沿木板滑行的距离S将发生变化，重力加速度

为g.

图6

(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；

(2)当0角满足什么条件时.小物块沿木板上滑的距离最小，并求出此最小值.

解析(1)由题知，当6=30。时，对物块受力分析得：〃侬皿夕=/,外

尸N=/〃gCOS0

A

联得：〃=tan〃=tan30°=□.

J

(2)小物块向上运动，则有：

"igsin夕+/〃〃gcos夕=〃7a

物块的位移为X:诏=2ax

_______v(?______

X2g(sin〃+〃cos0)

_________________

1+/siii(J+a)

令：lana=〃，当夕+。=90°时，x最小

此时有:0=60。

#_________IV________笳

可：xmm=2g(sin600+"cos60。)=4g-

答案(1)坐(2)9=60°噜^

【变式训练】

5.如图7所示，在“十”字交叉互通的两条水平直行道路上，分别有甲、乙两辆汽车运动，

以“十,，字中心为原点，沿直道建立X。),坐标系.在，时刻，甲车坐标为(1,0),以速度如

=Am/s沿一X轴方向做匀速直线运动，乙车沿+)，方向运动，其坐标为(0,)，)，y与时间/的

关系为y=、l+2必/m,美系式中公＞0,问：

y/m

图7

(1)当攵满足什么条件时，甲、乙两车间的距离有最小值，最小值为多大？

⑵当Z为何值时，甲车运动到。处，与乙车的距离和，=0时刻的距离相同？

答案(I)O<R1,2-(1-)2m(2)1

解析(1)/时刻两车坐标：甲车：x=(l—A/)m,乙车：y=yj1+21^1m

，时刻两车相距

s=yl>r-}-y2=yj(\—kt)2-^(\+2lrt)

=7再-2k(I-k)f+2m

1

当/=1—S时，甲、乙两车间的距离有最小值.

K

最小值为Smin=、/2—(1一行m,其中&满足0<k<1.

(2)当f=0时，甲车坐标为(1,0),乙车坐标为(0,1),此时两车距离50=地m.

当甲车运动到O处时，kt=\m,

乙车y=71+2弁/m=y12m

两式联立解得：k=g.

6.一小球从加=45m高处自由下落，着地后又弹起，然后又下落，每与地面相碰一次，速度

大小就变化为原来的2倍.若攵=3,求小球从下落直至停止运动所用的时间.(g取10m/s2,碰

撞时间忽略不计)

答案9s

解析由运动学公式将小球每碰一次后在空中运动的n-|间的通项公式求出，然后再累加求和.

小球从仙处落到地面时的速度：vo=«2gho,

运动的时间为：，()=

第一次碰地后小球反弹的速度：s=kvo=Z2gho

小球再次与地面碰撞之前做竖直上抛运动，这一过程球运动的时间：力=警=2「^^

则第n次碰地后，小球的运动速度的通项公式为：

V,产H\l2gho

运动时间：暴=2粤

所以，小球从下落到停止运动的总时间为：

上式括号中是一个无穷等比递减数列，由无穷等比递减数列求和公式，并代入数据得，=9s.

7.一轻绳一端固定在。点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度地解放，

如图8所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取

得最大值？

答案当细绳与竖直方向的夹角余弦值为cos。=坐时，重力的瞬时功率取得最大值

解析如图所示，当小球运动到绳与竖直方向成0角的。时，重力的功率：P=ingvcosa=

ingvsin0

飞期'、

小球从水平位置到图中C位置时,由机械能守恒有mgLcosO=^mv2

解得：P=〃E2gLeos%in汨

令尸cos"sin?"

因为y=cos/tn2=q）（2cos2esin40）

=q*2cos2夕si/e.sin?。）

又因为2cos2。+$皿2。+$访2夕=2（巾2。+8$2。）=2（定值）.

所以当且仅当2cos2〃=siif〃时，y有最大值

由2cos%=I—cos?。

得cos。=芋

即：当cos夕=当时，功率P有最大值.

专题规范练

1.（多选M0C是光滑的直角金属导轨，入0沿竖直方向，0C沿水平方向，。〃是一根金属直棒,

靠立在导轨上（开始时。离。点很近），如图1所示.它从静止开始在重力作用下运动，运动过

程中。端始终在AO上，匕端始终在OC上，直到他完全落在OC上，整个装置放在一匀强

磁场中，磁场方向垂直纸面向里，则他棒在运动过程中（）

图1

A.感应电流方向始终是〃一。

B.感应电流方向先是〃f〃后变为。一〃

C.所受磁场力方向垂直于ab向上

D.所受磁场力方向先垂直于岫向下，后垂直于"向上

答案BD

解析初始，ah与直角金属导轨围成的三角形面积趋于0,末状态,心与直前金属导航围成的

三角形面积也趋于0,所以整个运动过程中，闭合回路的面积先增大后减小.根据楞次定律的

增反戒同，判断电流方向尤是逆时针后是顺时针，选项A错，B对.根据左手定则判断或培力

可得安培力先垂直于岫向下，后垂直于"向上，选项C错，D对.故选B、D.

2.如图2所示，斜面上固定有一与斜面垂直的挡板，另有一截面为七圆的光滑柱状物体甲放置

于斜面上，半径与甲相同的光滑球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静止状态.

现在从球心。1处对甲施加一平行于斜面向下的力F,使甲沿斜面方向缓慢向下移动.设乙对

挡板的压力大小为F^,甲对斜面的压力大小为F”甲对乙的弹力大小为B.在此过程中（）

图2

A.Q逐渐增大，尸2逐渐增大，尸3逐渐增大

B.Q逐渐减小，死保持不变，6逐渐减小

C.R保持不变，乃逐渐增大，B先增大后减小

D.Q逐渐减小，B保持不变，尸3先减小后增大

答案B

解析先对物体乙受力分析，受重力、挡板的支持力产」和甲对乙的弹力尸3,如图中所示；

甲沿斜面方向向下移动，a逐渐变小，片,的方向不变，整个过程中乙物体保持动态平衡，

故与民的合力始终与重力等大反向，由平行四边形定则知后、尸」均逐渐减小，根据

牛顿第三定律，乙对挡板的压力Q逐渐减小；再对甲与乙整体受力分析，受重力、斜面的支

持力、挡板的支持力R'和推力F,如图乙所示；根据平衡条件有，尸2'=（M+〃）gcos

3.如图3所示，A、8为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A、8卫星的轨道

半径分别为，八和「B，某时刻人、B两卫星距离达到最近，已知卫星A的运行周期为r从该时

刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（）

解析设两卫星至少经过时间，距离最远，两卫星相距最远时，转动相差半周，则克一三一；，

又因为卫星环绕周期T=2JIC正确.故选C.

4.图4为某制药厂自动生产流水线的•部分装置示意图，传送带与水平面的夹角为a,。为漏

斗.要使药片从漏斗中出来后经光滑滑槽滑到传送带上，设滑槽的摆放方向与竖直方向的夹角

为的则3为多大时可使药片滑到传送带上的时间最短（）

图4

A.9=CCB.9=2a

D.T

答案c

解析如图所示，药片沿滑槽下滑的加速度4=gC0S如设。到传送带的距离为，，则有

OP=

cos(a-°)2

1,

=2^rcos(p

2H

t~=77

COS(Gt-3)gCOS(p

令7—cos(«—^)cos(p

=^[cos(a一夕+°)+cos(a-(p-(p)]

=J[cosa+cos(a-2°)]

当a=2e时，7^ax=1(cosa4-l)

可见，时，/有最小值.故选C.

5.在同一水平面内有两个围绕各自固定轴匀速转动的圆盘A、B,转动方向如图5所示，在A

盘上距圆心48cm处固定一个小球。，在8盘上距圆心16cm处固定一个小球Q.已知P、Q

转动的线速度大小都为47tm/s.当P、Q相距最近时开始计时，则每隔一定时间两球相距最远，

这个时间的最小值应为（）

A.0.08sB.0.12S

C.0.24sD.0.48s

答案B

解析两球相距最远时，在相同的时间内，P、。转过的角度分别为〃P="R=（2〃+1加（〃=

0,123,…），3=（。0/=（为+1）兀（〃?=（）,123,…），由于/。=3仞＞,当两球第一次相距最远

时，〃=0,解得m=l,故，=旦，而例＞=/=痣,解得f=0.12s,选项B正确.故选B.

coprpu.4o

6.如图6所示，一根长为上的轻杆OA,。端用钱链固定，另一端固定着一个小球4,轻杆靠

在一个质量为M、高为。的物块上.若物块与地面间摩擦不计，则当物块以速度。向右运动至

杆与水平方向夹角为。时，小球A的线速度大小为（）

虎源〃，，〃〃，〃，

图6

pLtan0vLsin20

A--h-B.-Jj-

vLco^OvL

C-h-D7?tan0

答案B

解析根据运动的合成与分解可知，接触点B的实际运动为合运动，可将8点运动的速度沿

垂直于杆和沿杆的方向分解成。2和〃I,如图所示，

其中。2=。那访9=rsina即为8点做圆周运动的线速度.功=即cos。，为8点沿杆运动的速

度.当杆与水平方向夹角为。时，0^=熹：A、B两点都围绕。点做圆周运动，且在同一杆

^111C/

上，故甬速度相同，由于8点的线速度为V2=vs\n0=coOB,所以①'，所以A

T7»c

的线速度VA=COL=_1一:,故选项B正确.故选B.

7.（多选）如图7所示，直角三角形是圆。的内接三角形，Za=30°,Nb=90。，Zc=60°.

匀强电场电场线与圆所在平面平行，已知。、氏。三点电势为仰=一U、"=（）、%=U.下面

说法正确的是（）

图7

A.圆上最高点的电势等于坐U

B.圆上最高点的电势等于半U

C.匀强电场的电场强度等于挚

D.匀强电场的电场强度等于噜1

答案BD

解析ac中点0的电势『=-9)+"=0,所以。、方两点是等势点，则直线/"?是匀强电场

的等势线，与直线〃。垂直的直线就是电场线，圆周上M点电势最高，如图所示.

过c点作等势线，与电场线交于d点，则伽=仰=(/,设圆的半径为R,根据几何关系知O、

d间的距离Od=Rcos30。=当'R,所以电场强度七=4"=笔2,D正确点的电势仰产

2人

时手U,B正确.故选B、D.

8.(多选)如图8所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆，与水平方向夹角为3()。，质最为机的小球

套在杆上，在大小不变的拉力尸作用下，小球沿杆由底端匀速运动到顶端.已知小球与斜杆之

间的动摩擦因数为〃=雪，则关于拉力产的大小和尸的做功情况，下列说法正确的是()

图8

A.当a=30。时,拉力E最小

B.当。=30。时,拉力尸做功最小

C.当a=60。时,拉力尸最小

D.当a-60。时,拉力尸做功最小

答案AD

解析由题中选项可知要使F最小,则应有Fsina<mgcos30°,故根据平衡条件有

Feosa="zgsin30°+〃（/〃gcos30°-Fsina）,

/叫（sin30。+乎cos300）

解得：F=

cosa+乎sina2sin（a+60。）'

由数学知识知，当a=30°时，拉力尸最小，A正确，C错误：当a=60°时，F=mg,因为没

有摩擦力，拉力做功最小，Wmin=〃?g/?,所以B错误，D正确.故选A、D.

9.如图9所示，在直角坐标系的第一象限区域