2024-2025学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示（教学用书）教学实录 新人教A版选修2-1

2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示（教学用书）教学实录新人教A版选修2-1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：空间向量及其运算

2.教学年级和班级：高中一年级全体学生

3.授课时间：2024年10月15日星期一第2节课

4.教学时数：1课时二、核心素养目标分析1.空间观念：理解空间向量的概念及其在几何中的应用，提升学生对空间问题的直观认识。

2.推理能力：通过空间向量的正交分解，锻炼学生的逻辑推理和抽象思维能力。

3.应用意识：将空间向量知识应用于解决实际问题，提高学生解决几何问题的实际能力。

4.创新思维：鼓励学生在学习中探索不同的解题方法，培养创新意识和解决问题的能力。三、教学难点与重点1.教学重点：

-空间向量正交分解的概念理解：重点在于让学生明白如何将一个空间向量分解为两个相互垂直的向量。

-坐标表示方法：强调如何将正交分解后的向量表示为坐标形式，这是后续应用的基础。

-向量坐标与几何关系：引导学生理解向量坐标与空间几何图形之间的关系，例如如何通过坐标确定点、线、面的位置和性质。

2.教学难点：

-空间向量正交分解的计算：学生在计算过程中可能会遇到空间想象能力不足，难以直观地进行向量分解。

-向量坐标的几何意义：学生可能难以将抽象的坐标值与具体的几何图形对应起来，理解其在空间中的实际意义。

-正交分解的多样性：学生可能难以把握在特定情况下选择合适的正交分解方法，需要教师引导和示范。四、教学方法与策略1.采用讲授法结合实例分析，帮助学生理解空间向量正交分解的概念和步骤。

2.引入小组讨论，让学生通过合作解决问题，提高空间想象能力和计算技巧。

3.利用多媒体展示空间向量的动态变化，帮助学生直观理解坐标表示和几何关系。

4.设计实践操作环节，让学生通过实际操作来加深对空间向量运算的理解和应用。五、教学流程1.导入新课

-首先展示一些生活中常见的立体图形，如立方体、圆柱体等，引导学生回顾平面几何中的向量概念，并引出空间向量的概念。

-提问：如何表示这些立体图形中的向量？为什么平面几何中的向量在立体几何中需要新的表示方法？

-用时：5分钟

2.新课讲授

-讲授空间向量正交分解的概念，举例说明如何将一个空间向量分解为两个相互垂直的向量。

-例如：给定一个空间向量OA，如何在空间中找到与OA垂直的向量OB？

-讲解空间向量坐标表示的方法，强调坐标表示与几何图形的对应关系。

-例如：如果向量OA的坐标表示为(1,2,3)，那么它在空间中的位置如何确定？

-讲解向量坐标在解决实际问题中的应用，如求点到平面的距离。

-例如：已知点P的坐标为(4,5,6)，平面ABC的法向量n的坐标为(1,-1,1)，求点P到平面ABC的距离。

-用时：10分钟

3.实践活动

-学生独立完成以下练习题，巩固空间向量正交分解的应用：

-题目一：将向量v=(2,3,4)分解为两个正交向量。

-题目二：求点A(1,2,3)到平面x+y+z=1的距离。

-小组合作，每组选取一个题目进行解答，并在全班展示解题过程。

-教师对学生的解答进行点评和指导。

-用时：15分钟

4.学生小组讨论

-讨论内容一：空间向量正交分解在几何图形中的应用实例。

-举例：讨论如何通过空间向量正交分解确定空间中两条直线的夹角。

-讨论内容二：空间向量坐标表示在实际问题中的使用。

-举例：讨论如何利用向量坐标求空间中点到面的距离。

-讨论内容三：空间向量正交分解的计算技巧。

-举例：讨论在计算空间向量正交分解时，如何选择合适的基向量。

-用时：10分钟

5.总结回顾

-回顾本节课的核心内容，包括空间向量正交分解的概念、坐标表示方法以及应用实例。

-强调空间向量正交分解在解决实际问题中的重要性，如计算空间几何图形的夹角、距离等。

-提问学生：如何在实际问题中选择合适的正交分解方法？

-用时：5分钟

总计用时：45分钟六、教学资源拓展1.拓展资源：

-空间向量的几何意义：介绍空间向量在立体几何中的应用，如向量与平面、直线的关系，向量积和叉积的概念。

-空间向量的线性运算：探讨空间向量的加法、减法、数乘等线性运算，以及这些运算在解决几何问题中的实际应用。

-空间向量的坐标表示：讲解空间向量坐标系的建立，以及坐标表示在几何计算中的便利性。

2.拓展建议：

-阅读相关教材附录，如《立体几何》中的附录部分，了解空间向量的基本性质和应用。

-通过在线教育平台或图书馆资源，查找关于空间向量的应用案例，如工程学、物理学中的实例。

-完成课后习题和补充练习，加强对空间向量概念和运算的理解。

-参与数学竞赛或挑战，如美国数学竞赛（AMC）或国际数学奥林匹克（IMO），以提升空间向量的应用能力。

-制作或参与制作空间几何模型，如三维坐标模型，以直观理解空间向量的几何意义。

-观看教育视频，如KhanAcademy、Coursera等平台上的空间向量相关课程，以获得不同的教学视角。

-参加数学讲座或研讨会，与专家和同行交流空间向量在立体几何中的应用。

-尝试将空间向量的知识应用于实际问题，如城市规划、建筑设计等，以增强知识的实用性和迁移能力。七、典型例题讲解1.例题一：已知空间向量a=(1,2,3)，求与a正交的单位向量。

解答：设与a正交的单位向量为b=(x,y,z)，则有a·b=0，且|b|=1。根据点积的定义，得到方程组：

x+2y+3z=0

x^2+y^2+z^2=1

解方程组，得到x=1/√14，y=-2/√14，z=3/√14。因此，b=(1/√14,-2/√14,3/√14)。

2.例题二：已知点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，求向量AB的坐标表示。

解答：向量AB的坐标表示为B的坐标减去A的坐标，即AB=(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3)。

3.例题三：已知平面α的法向量为n=(1,-2,3)，点P(2,1,0)，求点P到平面α的距离。

解答：点P到平面α的距离d可以用以下公式计算：

d=|n·(P-P0)|/|n|

其中，P0是平面α上的任意一点，这里取P0为原点(0,0,0)。

计算得到d=|(1,-2,3)·(2,1,0)|/|(1,-2,3)|=|2-2|/√(1^2+(-2)^2+3^2)=0/√14=0。

因此，点P在平面α上，距离为0。

4.例题四：已知两条直线l1和l2的方程分别为l1:x=1+t,y=2-t,z=3t和l2:x=2+2s,y=1+s,z=4s，求两条直线的夹角。

解答：首先，求出两条直线的方向向量，分别为s1=(1,-1,3)和s2=(2,1,4)。

然后，计算方向向量的点积和模长，得到：

s1·s2=1*2+(-1)*1+3*4=2-1+12=13

|s1|=√(1^2+(-1)^2+3^2)=√11

|s2|=√(2^2+1^2+4^2)=√21

夹角θ的余弦值为：

cosθ=(s1·s2)/(|s1|*|s2|)=13/(√11*√21)≈0.714

因此，夹角θ≈arccos(0.714)≈45°。

5.例题五：已知点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，点C(7,8,9)，求点C在直线AB上的投影点D。

解答：设点D在直线AB上，其坐标为D(x,y,z)。由于D在AB上，向量AD与向量AB共线，因此存在实数λ使得AD=λAB。

向量AD=(x-1,y-2,z-3)=λ(3,3,3)。由此得到方程组：

x-1=3λ

y-2=3λ

z-3=3λ

解方程组得到x=1+3λ，y=2+3λ，z=3+3λ。将D的坐标代入直线AB的方程中，得到：

1+3λ=1+t

2+3λ=2-t

3+3λ=3t

解得λ=0，因此D的坐标为(1,2,3)，即点D与点A重合。因此，点C在直线AB上的投影点为点A。八、教学反思这节课下来，我觉得有几个地方值得反思。

首先，我觉得课堂的导入环节还可以更加生动一些。虽然我通过展示立体图形引入了空间向量的概念，但感觉学生的兴趣没有被完全调动起来。可能是因为这些图形对于他们来说太过熟悉，没有新鲜感。以后，我打算尝试使用一些更加新颖的导入方式，比如通过一个简单的物理实验，让学生直观地感受到空间向量的存在和应用。

其次，我在讲解空间向量正交分解时，发现部分学生对于如何选择合适的基向量感到困惑。我意识到，这部分内容对于学生来说确实是一个难点。在今后的教学中，我计划通过更多的实例和练习来帮助学生理解，同时也会提供一些选择基向量的技巧和策略。

在实践活动环节，我发现学生们在独立完成练习题时，对于空间向量的坐标表示和几何关系的应用还不够熟练。这让我意识到，我在讲解这部分内容时可能没有足够的时间让学生消化吸收。因此，我打算在今后的教学中，适当增加课堂练习的时间，让学生有更多的机会去实践和巩固所学知识。

小组讨论环节，我注意到学生们在讨论时，对于如何将空间向量的知识应用于实际问题还有一定的困难。这让我反思，我在讲解空间向量应用时，可能过于注重理论，而忽视了实际应用的重要性。接下来，我会在讲解完理论知识后，立即引入实际应用案例，让学生在讨论中学会如何将理论知识转化为实际解决问题的能力。

总的来说，这节课让我意识到，在教学过程中，我需要更加关注学生的个体差异，根据学生的实际情况调整教学策略。同时，我也需要更加注重理论与实践的结合，让学生在学习过程中能够学以致用。我相信，通过不断的反思和改进，我能够更好地帮助学生掌握空间向量与立体几何的知识，提高他们的数学素养。内容逻辑关系①空间向量正交分解的概念

-空间向量正交分解的定义

-正交分解的目的和意义

-正交分解的步骤和方法

②空间向量坐标表示方法

-坐标系的建立

-向量坐标的表示方法

-坐标表示与几何图形的关系

③空间向量在立体几何中的应用

-向量与平面、直线的位置关系

-向量积和叉积的定义和性质

-应用实例：计算点到平面的距离、两条直线的夹角等教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在课堂上的参与度较高，积极回答问题，对空间向量的概念和运算表现出浓厚的兴趣。

-学生在课堂讨论中能够主动提出自己的观点，并与其他同学进行有效的交流。

-部分学生在空间向量的坐标表示和应用方面表现出一定的困难，但通过教师的个别辅导，多数学生能够逐步克服。

2.小组讨论成果展示：

-小组讨论环节，学生们能够合作完成题目，并清晰地向全班展示解题过程。

-学生们通过讨论，对空间向量正交分解的应用有了更深的理解，能够灵活运用到实际问题中。

-学生们的展示内容丰富，不仅包括解题步骤，还涉及了多种解题思路和方法。

3.随堂测试：

-随堂测试涵盖了空间向量的基本概念、运算和几何应用，能够有效评估学生对本节课内容的掌握程度。

-测试结果显示，大部分学生能够正确理解空间向量的概念，掌握基本的运算方法。

-部分学生在空间向量的坐标表示和几何应用方面存在不足，需要进一步加强练习。

4.学生自评与互评：

-学生通过自评和互评，能够认识到自己在学习过程中的优点和不足。

-学生们表示，通过小组讨论和课堂练习