高考数学复习第二章函数导数及其应用第12讲函数与方程配套理

第12讲函数与方程1/32考纲要求考点分布考情风向标1.结合二次函数图象，了解函数零点与方程根联络，判断一元二次方程根存在性及根个数．2.依据详细函数图象，能够用二分法求对应方程近似解新课标第10题考查函数零点存在性定理；新课标Ⅰ第12题以函数零点为背景，考查导数应用；天津第8题依据根分布求参数取值范围；新课标Ⅲ第12题依据函数零点存在情况求参数值高考试题对该部分内容考查主要角度有两种：一个是找函数零点个数；一个是判断零点范围．另外备考中应该尤其注意利用导数来研究函数零点2/321.函数零点(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)图象与x轴有________⇔函数y＝f(x)有零点.交点＜

(2)假如函数y＝f(x)在区间(a，b)上图象是连续不停，且有f(a)·f(b)____0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点.一般把这一结论称为零点存在性定理.3/322.二分法

假如函数y＝f(x)在区间[m，n]上图象是一条连续不停曲线，且f(m)·f(n)<0，经过不停地把函数y＝f(x)零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步迫近零点，进而得到零点近似值方法叫做二分法.4/32

1.如图2-12-1所表示是函数f(x)图象，它与x轴有4个不同公共点.给出以下四个区间，不能用二分法求出函数f(x)零点区间是()B图2-12-1A.[－2.1，－1]B.[1.9,2.3]C.[4.1,5]D.[5,6.1]5/32x1.251.31251.3751.43751.51.5625f(x)－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.641152.为了求函数f(x)＝2x＋3x－7一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)部分对应值以下表： 则方程2x＋3x＝7近似解(准确到0.1)可取为(

)A.1.32B.1.49C.1.4D.1.3解析：经过表格得知f(1.375)<0，f(1.4375)>0，所以函数唯一零点x0

在区间(1.375,1.4375)内.故选C.C6/32x－10123f(x)－0.6773.0115.4325.9807.651g(x)－0.5303.4514.8905.2416.892

3.(年山东济南历城区统测)已知函数

f(x)与g(x)图象在R上不间断，由表知函数y＝f(x)－g(x)在以下区间内一定有零点是()A.(－1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)7/32解析：当x＝－1时，f(－1)－g(－1)＜0；当x＝0时，f(0)－g(0)＜0；当x＝1时，f(1)－g(1)＞0；当x＝2时，f(2)－g(2)＞0；当x＝3时，f(3)－g(3)＞0，且函数f(x)与g(x)图象在R上不间断，由零点存在定理可得，函数y在(0,1)内存在零点.故选B.答案：B8/32包含f(x)零点区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4，＋∞)在性定理可知选C.C9/32考点1函数零点判定例1：(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b))(x－c)＋(x－c)(x－a)两个零点分别位于区间( A.(a，b)和(b，c)内

B.(－∞，a)和(a，b)内

C.(b，c)和(c，＋∞)内

D.(－∞，a)和(c，＋∞)内10/32

解析：因为f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，所以两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.答案：A11/3212/32图D14答案：213/32图2-12-2A.(0.1,0.2)B.(0.2,0.3)C.(0.3,0.4)D.(0.4,0.5)14/32答案：C15/32

【规律方法】判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，惯用以下三种方法：①当对应方程易解时，可经过解方程，看方程是否有根落在给定区间上[如第(3)题]；②利用函数零点存在性定理进行判断[如第(1)题]；③经过函数图象，观察图象给定区间上交点来判断[如第(2)题].16/32考点2依据函数零点存在情况，求参数值例2：(1)(年新课标Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(

)答案：C17/32

(2)(年云南昆明模拟)已知定义在

R上偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x方程f(x)＝logax有三个不一样实根，则a取值范围为____________.

解析：由

f(x－4)＝f(x)知，函数周期为4，又函数为偶函数， ∴f(x－4)＝f(x)＝f(4－x). ∴函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2.图D1518/3219/32【互动探究】A.(1,3)C.(0,2)B.(0,3)D.(0,1)20/32

解析：画出函数f(x)图象如图D16，观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不一样实数根，则函数y＝f(x)图象与直线y＝a有3个不一样交点，此时需满足0＜a＜1.故选D.图D16答案：D21/32考点3二分法应用

例3：已知函数

f(x)＝lnx＋2x－6. (1)求证：函数f(x)在其定义域上是增函数；

(2)求证：函数f(x)有且只有一个零点；

(3)求这个零点所在一个区间，使这个区间长度不超22/32(1)证实：函数f(x)定义域为(0，＋∞)，设x1<x2，则lnx1<lnx2，2x1<2x2.∴lnx1＋2x1－6<lnx2＋2x2－6.∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.(2)证实：∵f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上最少有一个零点.又由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)＝0至多有一个根，从而函数f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点.23/3224/32【规律方法】(1)二分法是求方程根近似值一个计算方法，它只能用来求函数变号零点；(2)给定精度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点近似值步骤以下：①确定区间[m，n]，验证f(m)·f(n)<0，给定精度ε；②求区间[m，n]中点x1；③计算f(x1)：ⅰ)若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)零点；ⅱ)若f(m)·f(x1)<0，则令n＝x1[此时零点x0∈(m，x1)]；ⅲ)若f(x1)·f(n)<0，则令m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]；④判断是否到达精度ε：若|m－n|≤ε，则得到零点近似值为m(或n)；不然重复步骤②～④.25/32【互动探究】26/32答案：A27/32

思想与方法 ⊙利用分类讨论思想判断方程根分布

例题：关于x方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出以下四个命题： ①存在实数k，使得方程恰有2个不一样实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不一样实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不一样实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不一样实根.其中假命题个数是()A.0B.1C.2D.328/32解析：依据题意可令|x2－1|＝t(t≥0)，①则方程化为t2－t＋k＝0.②

作出函数y＝|x2－1|图象(图略)，结合函数图象可知：

(1)当t＝0或t>1时，方程①有2个不一样根；

(2)