新疆维吾尔自治区哈密市第十五中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

高二3月月考数学试卷一、单选题1.下列求导数运算错误的是（）A.(c为常数) B.C. D.2.已知是函数的导函数，且，则（）A.1 B.2 C. D.3.如图是一边长为3（单位：dm）的正方形铁片，现沿虚线将铁片的四角截去四个边长均为x（单位：dm）的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值为（）A. B. C. D.4.过原点作曲线的切线，则切线斜率为A. B. C. D.5.已知在处有极值，则（）A或 B.或 C. D.6.对于函数，下列说法错误的有（）A.在处取得极大值 B.有两个不同的零点C. D.若在上恒成立，则7.用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（）A.240 B.360 C.480 D.6008.已知是定义在上的函数的导函数，且，则的大小关系为（）A. B.C. D.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.对于已知函数，则该函数在区间上平均变化率为4B.已知直线运动的汽车速度V与时间t的关系是，则时的瞬时加速度为4C.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大D.函数在闭区间上的最大值一定是极大值10.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（）A.从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同选法C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D.要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法11.定义在上函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表.下列关于函数的结论正确的是（）x-10245f（x）13132A.函数在和上单调递减B.函数在的最小值为1C.函数的极大值点的个数为2D.若方程有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是三、填空题12.今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有_________种13.已知函数若，则函数极小值点是______；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为______．14.已知函数，则下列命题正确的有__________①函数有且只有两个零点②函数在上为增函数③函数的最大值为④若方程有三个实根，则四、解答题15.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值与最小值.16.用0,1,2,3,4,5六个数字：（1）能组成多少个没有重复数字的四位数；（2）能组成多少个没有重复数字的四位偶数；（3）能组成多少个能被5整除的没有重复数字的四位数；（4）能组成多少个没有重复数字的比3210大的四位数．17.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数．（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两端位置；（2）全体排成一行，其中甲不在最左端，乙不在最右端；（3）全体排成一行，其中男生必须排在一起；（4）全体排成一行，男、女各不相邻；（5）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；（6）全体排成前后两排，前排3人，后排4人．18.已知函数（1）若b=0，求函数在x=1处的切线方程；（2）若b=2，求函数的极值;（3）讨论函数的单调性.19.设函数，．（1）求证：；（2）若当时，恒成立，求的取值范围．

高二3月月考数学试卷一、单选题1.下列求导数运算错误的是（）A.(c为常数) B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据求导公式与求导法则即可判断结果．【详解】C选项，因为，故C错故选：C2.已知是函数的导函数，且，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】求导，即可代入求解.【详解】由可得，故，解得，故选：A3.如图是一边长为3（单位：dm）的正方形铁片，现沿虚线将铁片的四角截去四个边长均为x（单位：dm）的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先用表示出该无盖方盒的底面边长，表示出其体积，然后由导数求出其最大值，得出答案【详解】设该无盖方盒的底面边长为，则，即，所以则该方盒容积的则当时，，当时，所以上单调递增，在上单调递减.所以当时，取得最大值故选:B4.过原点作曲线的切线，则切线斜率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】∵，设切点，∴，∴，∴，∴，∴．故选：D．5.已知在处有极值，则（）A.或 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】由极值点和极值，列出关于的方程组，再验证条件，即可求解.【详解】根据题意，，函数在处有极值0，且，或，时恒成立，此时函数无极值点，当时，，此时是函数极值，满足条件，，.故选：D6.对于函数，下列说法错误的有（）A.在处取得极大值 B.有两个不同的零点C. D.若在上恒成立，则【答案】B【解析】【分析】利用导数求出单调区间可得极值，可判断A；根据单调性，结合零点存在性定理，以及当时可判断B；利用单调性即可判断C；构造函数，利用导数求最值可判断D.【详解】对于A，的定义域为，令得，在上单调递增，；令得，在上单调递减.所以当时，取得极大值，A正确；对于B，由上知在上单调递增，且，又，所以在上有且只有一个零点.当时，在上单调递减，且恒成立，所以，在上没有零点，B错误；对于C，因为，所以，即，C正确；对于D，，记，则，当时，，在上单调递增，当时，.在上递减所以，当时，取得最大值，因为在上恒成立，所以，D正确.故选：B7.用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（）A.240 B.360 C.480 D.600【答案】C【解析】【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.【详解】将区域标号，如下图所示：因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；所以共有种不同的涂色方法.故选：C.8.已知是定义在上的函数的导函数，且，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构建，求导，利用导数判断的单调性，进而利用单调性比较大小.【详解】构建，则，因为对于恒成立，所以，故在上单调递减，由于，且，所以，即.故选：A.【点睛】结论点睛：1.的形式，常构建；的形式，常构建；2.的形式，常构建；的形式，常构建.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.对于已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为4B.已知直线运动的汽车速度V与时间t的关系是，则时的瞬时加速度为4C.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大D.函数在闭区间上的最大值一定是极大值【答案】AB【解析】【分析】根据函数平均变化率的概率即可判断A；对函数求导，进而将代入导函数即可判断B；根据极值的概念即可判断C，D.【详解】对于已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为，故A正确；已知直线运动的汽车速度V与时间t的关系是，则，所以时的瞬时加速度为4，故B正确；函数极值是与它附近的函数值比较，是一个局部概念，函数在闭区间上的极大值不一定比极小值大，故C错误；函数在闭区间上的最大值在极大值点处或端点处取得，函数在闭区间上的最大值不一定是极大值，故D错误.故选：AB．10.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（）A.从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D.要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，逐项计算，即可求解.【详解】对于A中，从国画中选一副有5种不同的选法；从油画中选一副有2种不同的选法；从水彩画中选一副有7种不同的选法，由分类计数原理，共有种不同的选法，所以A正确；对于B中，从国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步计数原理，共有种不同的选法，所以B正确；对于C中，若其中一幅选自国画，一幅选自油画，则有种不同的选法；若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有种不同的选法；若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有种不同的选法，由分类计数原理，可得共有种不同的选法，所以C正确；对于D中，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法，根据分步计数原理，不同挂法的种数是种不同的选法，所以D错误.故选：ABC.11.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表.下列关于函数的结论正确的是（）x-10245f（x）13132A.函数在和上单调递减B.函数在的最小值为1C.函数的极大值点的个数为2D.若方程有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】利用导函数图象得到原函数的增减性，极值与最值情况，从而作出判断.【详解】根据导函数图象可以看出在和上，所以在和上单调递减，A正确；在和上，所以在和上单调递增，结合，可知在的最小值为1，B正确；函数的极大值点为0与4，即极大值点的个数为2，C正确；若方程有3个不同的实数根，及与有三个不同的交点，则实数a的取值范围是，D错误.

故选：ABC三、填空题12.今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有_________种【答案】243【解析】【分析】由分步乘法计数原理即可求解；【详解】由题意，每人都有3种选择，所以总共有，故答案为：24313.已知函数若，则函数的极小值点是______；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为______．【答案】①.1②.【解析】【分析】①时，直接求导得到导函数，判断导函数零点左右的正负即可得到极值点；②若函数在上存在唯一的极值点，则只有一个零点在内，结合为的对称轴可以更具体地得到，解不等式组即可得出答案.【详解】①时，，的定义域为，，令，得或，当时，；当时，，故函数的极大值点为，极小值点为，②，对称轴为，若函数在上存在唯一的极值点，则只有一个零点在内，因为的对称轴为，所以，即且，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：1；.14.已知函数，则下列命题正确的有__________①函数有且只有两个零点②函数在上为增函数③函数的最大值为④若方程有三个实根，则【答案】①②④【解析】【分析】解方程，求出函数的零点判断①；求函数的导函数，解不等式得函数的递增区间判断②；举例说明判断③；结合函数的单调性，作函数的图象判断④.【详解】对于①，令，则，解得，，因此函数有且只有两个零点，①正确；对于②，由已知求导得，由，得，由，得或，因此在上单调递增，②正确；对于③，由②知，在上单调递减，，，而，③错误；对于④，当时，恒有，作出函数的图象，方程有三个实根，即与的图象有三个不同的交点，因此，④正确.故答案为：①②④四、解答题15.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值与最小值.【答案】（1）答案见解析（2）最小值为，最大值为11【解析】【分析】（1）利用导数分析可得；（2）结合函数的单调性列表可得.【小问1详解】，令，所以当时，，为单调递增函数；当，时，，为单调递减函数，所以函数的单调递增区间为，递减区间为，.【小问2详解】由（1）可得10递减递增所以最小值为，最大值为11.16.用0,1,2,3,4,5六个数字：（1）能组成多少个没有重复数字的四位数；（2）能组成多少个没有重复数字的四位偶数；（3）能组成多少个能被5整除的没有重复数字的四位数；（4）能组成多少个没有重复数字的比3210大的四位数．【答案】（1）（2）（3）（4）．【解析】【分析】对特殊元素，特殊位置利用排列问题进行分析即可.【小问1详解】首位不能为零，先确定首位的数字有5种情况，然后其余的数字任意排列即可，所以共有个.【小问2详解】因为是偶数，要满足末尾是偶数，当个位是0的有个；个位是2或4的有，所以共个【小问3详解】个位是0的有个；个位是5的有个，所以共个【小问4详解】首位比3大的有个，首位是3百位是4或5时有个，当首位为3百位为2，十位可以是4或5时有个，当首位为3百位为2十位为1时个为可以是4或5，共2种，所以共有个．17.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数．（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两端位置；（2）全体排成一行，其中甲不在最左端，乙不在最右端；（3）全体排成一行，其中男生必须排在一起；（4）全体排成一行，男、女各不相邻；（5）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；（6）全体排成前后两排，前排3人，后排4人．【答案】（1）2160种（2）3720种（3）720种（4）144种（5）840种（6）5040种【解析】【分析】（1）先安排甲，剩下元素全排列即可求解；（2）直接法：甲是否在最右端分两类求解；间接法：先排最左端位置（除去甲外），减去甲不在最左端且乙在最右端的情况即可；（3）由捆绑法即可求解；（4）先排好男生，再由插空法求解；（5）由定序法即可求解；（6）分排问题转换成直排即可求解；【小问1详解】甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共3个位置可供甲选择，有种排法，其余6人全排列，有种排法．由分步乘法计数原理得共有种排法．【小问2详解】直接法（位置分析）：按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端有种排法；第二类：甲不在最右端时，甲有5个位置可选，而乙也有5个位置可选，而其余全排列，有种排法，由分步乘法计数原理得有种排法．故共有种排法．间接法：先排最左端位置，除去甲外，有种排法，余下的6个位置全排列有种，但应剔除甲不在最左端且乙在最右端的排法种．则符合条件的排法共有（种）．【小问3详解】将男生看成一个整体，进行全排列有种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有种排法，共有种排法．【小问4详解】先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的4个空位中，共有种排法．【小问5详解】第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为7个人的全排列，因此有，故（种）．【小问6详解】由已知，7个人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有种排法．18.已知函数（1）若b=0