2024-2025学年高中数学第三章概率3.3.2均匀随机数的产生练习含解析新人教A版必修3

PAGE1-3.3.2匀称随机数的产生[A基础达标]1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则()A．m>n B．m<nC．m＝n D．m是n的近似值解析：选D.随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．2．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽视不计)正好落入孔中的概率为()A.eq\f(4,9π) B.eq\f(9,4π)C.eq\f(4π,9) D.eq\f(9π,4)解析：选A.由题意知所求的概率为P＝eq\f(0.5×0.5,π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.5,2)))\s\up12(2))＝eq\f(4,9π).3．设始终角三角形两直角边的长均是区间[0，1]上的随机数，则斜边的长小于1的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,16)解析：选C.设两直角边分别为x，y，则x，y满意x∈[0，1]，y∈[0，1]，则P(x2＋y2＜1)＝eq\f(π,4).4．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是()A．一样大 B．蓝白区域大C．红黄区域大 D．由指针转动圈数确定解析：选B.指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，明显，蓝白区域大．5．为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可估计阴影部分的面积是()A．12 B．9C．8 D．6解析：选B.易得正方形的面积为6×6＝36，设阴影部分的面积为S，则eq\f(200,800)≈eq\f(S,36)，即S≈eq\f(200,800)×36＝9.6.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是________．解析：设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为eq\f(\f(1,2)π×12,4)＝eq\f(π,8).答案：eq\f(π,8)7．将[0，1]上的匀称随机数a1转化为[－2，6]上的匀称随机数a，须要实施的变换为a＝________．解析：设实施的变换为a＝ka1＋b，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＝0·k＋b，,6＝1·k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝8，,b＝－2，))故实施的变换为a＝8a1－2.答案：8a1－28.已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD内，假如通过大量的试验发觉米粒落入△BCD内的频率稳定在eq\f(4,9)旁边，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为________．解析：设米粒落入△BCD内的频率为P1，米粒落入△BAD内的频率为P2，点C和点A到直线BD的距离分别为d1，d2.依据题意：P2＝1－P1＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).又因为P1＝eq\f(S△BCD,S四边形ABCD)＝eq\f(\f(1,2)×BD×d1,S四边形ABCD)，P2＝eq\f(S△BAD,S四边形ABCD)＝eq\f(\f(1,2)×BD×d2,S四边形ABCD)，所以eq\f(P2,P1)＝eq\f(d2,d1)＝eq\f(5,4).答案：eq\f(5,4)9．如图所示，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆(圆心为正方形木板的中心)，半径分别为2cm、4cm、6cm，某人站在离木板3m处向此板投镖．设投镖击中边界线或没有投中木板时都不算，可重投，请用随机模拟的方法计算：(1)镖落在大圆内的概率；(2)镖落在小圆与中圆围成的圆环内的概率；(3)镖落在大圆之外的概率．解：记事务A＝{镖落在大圆内}，事务B＝{镖落在小圆与中圆围成的圆环内}，事务C＝{镖落在大圆之外}．①用计算机产生两组[0，1]上的匀称随机数a1＝RAND，b1＝RAND；②进行伸缩和平移变换，a＝[8－(－8)]a1－8，b＝[8－(－8)]b1－8得到两组[－8，8]上的匀称随机数；③统计镖落在大圆内的次数N1(即满意a2＋b2<36的点(a，b)的个数)，镖落在小圆与中圆围成的圆环内的次数N2(即满意4<a2＋b2<16的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满意－8<a<8，－8<b<8的点(a，b)的个数)．④计算频率fn(A)＝eq\f(N1,N)，fn(B)＝eq\f(N2,N)，fn(C)＝eq\f(N－N1,N)，即概率P(A)，P(B)，P(C)的近似值．10．设点M(x，y)在区域{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上匀称分布出现，求：(1)x＋y≥0的概率；(2)x＋y<1的概率；(3)x2＋y2≥1的概率．解：如图，满意|x|≤1，|y|≤1的点(x，y)组成一个边长为2的正方形(ABCD)区域(含边界)，S正方形ABCD＝4.(1)x＋y＝0的图象是直线AC，满意x＋y≥0的点在AC的右上方(含AC)，即在△ACD内(含边界)，而S△ACD＝eq\f(1,2)·S正方形ABCD＝2，所以P(x＋y≥0)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).(2)设E(0，1)、F(1，0)，则x＋y＝1的图象是EF所在的直线，满意x＋y<1的点在直线EF的左下方，即在五边形ABCFE内(不含边界EF)，而S五边形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，所以P(x＋y<1)＝eq\f(S五边形ABCFE,S正方形ABCD)＝eq\f(\f(7,2),4)＝eq\f(7,8).(3)满意x2＋y2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O，S⊙O＝π，所以P(x2＋y2≥1)＝eq\f(S正方形ABCD－S⊙O,S正方形ABCD)＝eq\f(4－π,4).[B实力提升]11．(2024·湖北省华中师范高校第一附属中学期末考试)把[0，1]内的匀称随机数x分别转化为[0，2]和[－2，1]内的匀称随机数y1，y2，需实施的变换分别为()A．y1＝－2x，y2＝－3x＋2B．y1＝－4x，y2＝－6x＋4C．y1＝2x，y2＝3x－2D．y1＝4x，y2＝6x－2解析：选C.将[0，1]内的匀称随机数x转化为[0，2]内的匀称随机数，区间长度变为原来的2倍，因此设y1＝2x＋b1(b1是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当x＝eq\f(1,2)时，y1＝1，所以1＝2×eq\f(1,2)＋b1，可得b1＝0.因此x与y1的关系为y1＝2x；将[0，1]内的匀称随机数x转化为[－2，1]内的匀称随机数，区间长度变为原来的3倍，因此设y2＝3x＋b2(b2是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当x＝eq\f(1,2)时，y2＝－eq\f(1,2)，所以－eq\f(1,2)＝3×eq\f(1,2)＋b2，可得b2＝－2，因此x与y2的关系为y2＝3x－2.故选C.12．某校早上8：00起先上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)解析：设小王到校时间为x，小张到校时间为y，则小张比小王至少早到5分钟时满意x－y≥5.如图，原点O表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为eq\f(1,2)×15×15＝eq\f(225,2)，故所求概率为P＝eq\f(\f(225,2),400)＝eq\f(9,32).答案：eq\f(9,32)13．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停岸两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)假如甲船和乙船的停岸时间都是4h，求它们中的任何一条船不须要等待码头空出的概率；(2)假如甲船的停岸时间为4h，乙船的停岸时间为2h，求它们中的任何一条船不须要等待码头空出的概率．解：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x，y，则0≤x≤24，0≤y≤24，|y－x|≥4，分别作出区域D1，D2，其中D1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤24，,0≤y≤24，))D2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤24，,0≤y≤24，,|y－x|≥4.))D1为正方形区域，D2为图(1)中的阴影部分，设“两船不须要等待码头空出”为事务A，则P(A)＝eq\f(2×\f(1,2)×20×20,24×24)＝eq\f(25,36).(2)设“两船不需等待码头空出”为事务B，则区域D3：y－x>4或x－y>2为如图(2)所示的阴影部分，则P(B)＝eq\f(S阴影部分,S正方形)＝eq\f(221,288).14．(选做题)在正方形中随机撒一把豆子，通过视察落在其内切圆内豆子的数目，用随机模拟的方法可计算圆周率π的近似值(如图)．(1)用两个匀称随机数x，y构成的一个点的坐标(x，y)代替一颗豆子，请写出随机模拟法的方案；(2)以下程序框图用以实现该模拟过程，请将它补充完整．(注：rand()是计算机在Excel中产生[0，1]区间上的匀称随机数的函数)解：(1)详细方案如下：①利用计算器产生两组[0，1]区间上的匀称随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；②经过平移和伸缩变换，x＝2(x1－0.5)，y＝2(y1－0.5)；③统计试验总次数N和落在内切圆内的点数N1(满意条件x2＋y2≤1的点(x，y)的个数)；④计算频率eq\