高中数学集合强化训练（解析版）

高中数学

专题19集合强化训练

1.集合M={L2,-“,2018]M中，末尾数字为8的元素之和是.

【答案】204626

【解析】

若将所有的这种数划去其尾数8,剩下的数就是0,1,2,…，201,共计划去202个8,因此所求的和值为

5=10x(0+1+24--+201)+8x202=204626.

2.设集合4={x|x::-3x-10v0},B={x|m+l.Vxv2m-l},若AcB=8,则实数m的取值范围为

【答案】m<3

【解析】

由月n8=B知，BcA,而

A={x|x2-3x-10<0}={x|-2<x<5}.

当B=0时，m+1>2m-1,即m<2,此时BuA成立.

当BH0时，m+lw2m-L即mN2,山BG4得

解得-3<m<3.又m>2>故得2<m<3.

综上，有m<3.

故答案为：mS3

3.将正偶数集合(2,46…}从小到大按第兀组有3"-2个数进行分组：

{2},{4,6,8.10},{12,14.16,18,20.22,24],则2018位于第组.

【答案】27

【解析】

设2018在第几组，由2018为第1009个正偶数，根据题意得Z=(3t-2)<1009££%(3i-2),即

除二程二处曰<1009w中.解得正整数n=27.所以2018位于第27组.

4.设$={1,2,“.,11},对S的每个七元子集，将其中七个数从小到大排列，取出中间的数。则所有取出的

中间数的和等于。

【答案】1980

【解析】

S的七元子集共有此工个.对每一个七元子集

A={a1.a2,-.a7}(l<at<a2<,,,<a7<11),唯一对应另一个七元子集

B-{12-4,12—a二,…,12—aiJ,

其中，11>12-。工>12-12-。工［>1

集合A与B的中间数分别为q与12-a4,它们的和为12.

因此,所有中间数的和等于冬x12=1980.

5.集合4是由{L2,…,50］中的40个元素组成的子集,S为集合4中的所有元素之和，则5的取值个数为.

【答案】401

【解析】

注意到，S的最小值为1+2+-+40=820,

5的最大值为11+12+-+50=1220.

设集合4中的元素k为使得k+1不是集合力中的元素的最小元素.

若SS1219,则kH50,把k替换为k+L得由40个元素组成的子集B,其和为S+1.

从而，S的取值个数为1220-820+1=401.

6.将集合{2*+2"4,yeMx<y}中的数从小到大排列，则第60个数为(用数字作答).

【答案】2064

【解析】

易知,0wx<y的(x,y)组合共有C：+2个.

注意到，=55<60<66=Ci；.

因此，第60个数满足y=ll,x=4,即第60个数为2口+2」=2064.

7.对于任何集合S,用|5|表示集合S中的元素个数，用n(s)表示集合S的子集个数.若A、B、C为三个

有限集，且满足⑴⑷=|B|=2016；(2)n|4|+n|B|+n|C|=n(AuBuC).则|4uBuC|的最大值为

【答案】2015

【解析】

由条件知2""+2=oi6+21cly-,即1+2⑷Y。”-2IAUBUCI-=OI7

则|C|=2017,MuBuCI=2018.

显然,|4uBuC|<|B|)=2016.

若MUBUC|=2016,则A=BUC.

从而,MUBUC|=|C|=2017,矛盾.

于是，MuBuC|<2015.

构造：A={1,2,-,2015.2016},

B={1,2.-,2015,2017),

C={1,2,•­­,2015,2016,2018}符合条件.

从而伪uBuC|的最大值为2015.

8.记［x］表示不超过实数x的最大整数.设集合4=卜匕一［幻=2},8=3-2<%<2}则4。8=

【答案】[-1.3}

【解析】

若xGB,则[x]e{-2,-1,0,1,2}代入集合A得/e{0,1,2,3,4}=>xe{0,±1,±y/2,±y[3,±2）.

经检验,只有AnB={-1,3}

9.已知集合4={（4））|（4—2/+。-1）2W1},B={（x,y）|2|x-1|+|y-1|<a）,AcB.则实数a

的取值范围是.

【答案】[2+西,+8）

【解析】

作图可知，若Au8,则a>0,且点（2，D到直线2x+y-3-a=0的距离不小于1,

即“，21=a22+Vs.故a6[2+v5.+co）.

10.当一个非空数集F满足条件“若a、b&F,则a+b、a-b、abeF,且当b±0时，：eF”时，称F为

一个数域.以下四个关于数域的命题：

①0为任何数域的元素；

②若数域F有非零元素，则20166F；

③集合P={x|x=3k,keZ）为数域；

④有理数集为数域.

其中，真命题的编号为（写出所有真命题的编号）.

【答案】①②④.

【解析】

根据数域的定义判断，命题①、②、④均正确.

取a=3,b=6,则a、beP,但；=：£P,即命题③借误.

11.从五个正整数a、b、c、d、e中任取四个求和，得到的和值构成集合｛44,45,46,47｝,则

a+b+c+d+e=.

【答案】57

【解析】

从五个正整数中任取四个求和，共有五种取法，应该得到五个和值.而集合｛44,45,46,47｝中只有四

个元素，则一定有两个和值相等.故

44+44+45+46+47<4(a+&+c+d+e)<44+45+46+47+47

=226<4(a+b+c+d+e)<229

又a、b、c、d、e为整数，得

4(a+b+c+d+e)=228=a+b+c+d+e=57,

12.集合(12…,2016｝的元素和为奇数的非空子集的个数为。

【答案】2:。:5

【解析】

令f(x)=(l+x)(l+x2)-(l+x2016).

则所求值即为f(x)的展开式中X的奇次项的系数和.

故元素和为奇数的非空子集的个数为-/(-I))=2=。15.

13.已知集合4=区小-3x+230｝,B=｛幻-三<a｝若AUB,则实数a的取值范围是______.

X-3

【答案】+s)

【解析】

易知,A=｛x\\<x<2｝.

当xdA时，X—-3£u[-1,2J

故a>一

从而，4的取值范围是(一G，+oo).

14.设集合/={1,2…n)(n>3).若/的两个非空真子集4、B满足Ar\B=0.A<JB=1,则称4、助/的一个

划分.若对集合/的任一划分月、B,均有4中或B中存在两个数使得其和为平方数,则n至少为.

【答案】15

【解析】

当n=14时,取4={1,2,4,6,9,1113),5={3,5,7,8,10,12,14).

易知,A、8中的任意两数之和均不为平方数.

从而,“=14不符合题意.

因而,n<14亦不合题意.

现考虑n=15.

用反证法.假设A、B中的任意两数之和均不为平方数.

不妨设1C4

由1+3=2:.1+8=3:,1+15=4::=>{3,8,15}cB;

由3+6=3,,3+13=4;,15+10=5:={6,13.10}cA.

但6+10=4二,与月中任意两数之和均不为平方数的假定矛盾.

因此,n=15符合题意.从而,n的最小值为15.

15.将前12个正整数构成的集合M=12}中的元素分成四个三元子集，使得每个三元子集中的三数

都满足：其中一数等于另外两数之和，试求不同的分法种数.

【答案】8

【解析】

设四个子集为%=3"瓦勺)，i=1,2,3,4,其中(=瓦+5,b,>q,i—1,2,3,4,

=

设<a；<a3<a4.则=12,d+a：+a?+(14=5(1+2+…+12)~=39,

所以％+a；；+a?=27,故3a?>27,因此10wa,s11.

若的=10,则由4+(10=17,a：<10,2a:>a1+a2=17)得a；：=9,a,=8>

即有(a/a-J=(8.9.10.12),

再由8二片十口，9=b；+c;,10=+c3,12=&4+c4>

必须久=11,c4=1,共得两种情况：12=11+1,10=7+3,9=5+4,8=6+2；

以及12=11+1,10=6+4,9=7+2,8=5+3,对应于两种分法：

(12,11,1),(10.7.3),(9,5.4),(8,6,2)；

(12.11.1),(10,6.4),(9.7.2),(8,5.3).

若a?=11,则4+出=16,于是8<a?<11，分别得=(6,10),(7,9).

对于9-应)=(6,10,11,12],得到三种分法：

(12.8.4),(11.9.2),(10,7,3),(6.5.1)；

(12.9.3),(11,7,4),(10,8,2),(6.5.1):

(12,7.5),(11.8.3),(10,9,1),(6,4,2).

对于(。「的心«4)=(7.9,11,12),也得三种分法:

(12,8.4),(11,10,1),(9,6,3),(7,5,2)；

(12.10.2),(116,5),(9.8.1),(7,4.3)；

(12,10.2),(118.3),(954),(7,6,1).

因此本题的分组方案共八种.

16.设集合A=的十迸制表示中数码不含2、0.1.6}。用，士表示集合A中所有元素的倒数

之和。证明：y2<3。

【答案】见解析

【解析】

在k位正整数中，各位上的数码不含数字2、0、1、6的共有6k个，其中首位数字为3、4、5、7、8、9(组成

集合8)的各有61.从而，在所有的k位数中，V0=<?0+3+乙+乙+乙+4则

-0nao*’10k1\3457B9/

y田J(±+±+±+±+±+2)<3.

-rex*/^10/\345799/

17.设4为一个含有〃个元素的集合，4为集合力的互不相同的兀个子集.证明：在集合4中存在一

个元素a,使得41Ta},人—⑷，…，川—S}仍为互不相同的集合，其中，^-{a}={xe4jx*a}.

【答案】见解析

【解析】

反证法.

假设命题不成立，则对任何aeA,

4t-{a},4,-{a},An-{a}中必有两个集合相同.

构造图G,其顶点标记为2,小,…,%，且4与4(1力*/Wn)连一条边(标记为a).若4-{a}=4-fa),

将图G中具有相同标号的边只保留一条(多余的去掉)，则得到一个图G，，它含有”个点，”条边，且每条边的

标号不同.

易见，图G'含有一个圈，记为

一方面，4一到4」，再到月“，…，Air,最后回到增减的元素是互不相同的.另一方面，从4,出发增减元

素后返回到4,却是相同的集合.矛盾.

:

18.已知A=<x},B=(x|x<logax},且Bu4求实数a的取值范围.

【答案】ae(0,1)u[eR,+co)

【解析】

易知A={.r10<x<1}.

显然，a>0且aWl.

当0Va<l时，若产<logaX，则0<x<l.

此时，恒有Bu4

当a>l时，对于满足0<X<l的任意X,一定有X二<01OgM<0.此时，必有K>loga》.

故AcB=0.

又BcA,于是，8=0.

:

设f(x)=x-Iogflx.则B=0等价于/Xx)>0在区间(0,+s)上恒成立.

则f(x)在区间(0,X。)上单调递减，在区间(x°,+8)上单调递增.

故/'(X)的最小值为/'(右).

要使得f(x)20在区间(0,+8)上恒成立，只需f(x0)2o.

=1+ln(21na)>0

«a>ex

综上，ae(O/)u[e£,+8).

19.若将集合4={1,2,〃}任意划分为63个两两不相交的子集(它们非空且并集为A)Ai，A2,…，463,

则总存在两个正整数x、y属于同一个子集4(13463),且x>y,31烂32y.求满足条件的最小正整数〃.

【答案】2016

【解析】

考虑模63的剩余类，即将集合A划分为如下63个两两不相交的子集：

Ai-[a\a-63k+i,\,2>...»63).

于是，对每个4。勺三63)及任意的x、yGA,(x>y),均有x-)263.

则.ySr-63,x<n=>32y-31<32(x-63)-31Jv=x-32x63<n-20

20.已知集合A、B均是由正整数组成的集合，且⑷=20,|B|=16.集合A满足以下条件：若a、b、m、n

GA,且a+b=m+n,则{a,b}={m,n}.定义A+B={a+b\aeA.b&B}.试确定+B|的最小值.

【答案】200

【解析】

记A=,b")，

C={(ij+=12…,20},其中，/=1,2,…,16.

于是，4+B=uuq.

下面证明：|CmnCn|<

事实上,设存在。,、《(mHn-JIN2.贝1J存在％小L,使得

+bm.ak2+bm.alt+bn.a,2+bneCmHCn,且

a即+bm=ak2+bm=ah+bn=%+bn.,

%*ak2,alt*a?2.①

aa

而一。殳=it~h

=%+a：2=ak2+ait,

则{*，6J={%，《,}•

又由结论①，知a%==a^,这是不可的能，否则，

41+bmeCn,c