五年高考2024-2025高考数学真题专题归纳专题02函数含解析理

专题02函数

【2024年】

1.(2024•新课标I)某校一个课外学习小组为探讨某作物种子的发芽率y和温度》(单位：

0C)的关系在20个不同的温度条件下进行种了•发芽试验由试验数据(％»)(，=1,2,,20)

得到卜面的散点图：

010203040温度

由此散点图.在10°C至40。C之间，下面四个I可来方程类型中最相官作为发芽率y和温度

斤的回来方程类型的是()

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bcKD.y=a+b\nx

【答案】D

【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象旁边，

因此，最适合作为发芽率y和温度X的回来方程类型的是y=a+blnx.

2.(2024•新课标II)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成

120()份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，很多志愿者踊跃报

名参与配货工作.已知该超市某日积压50()份订单未配货，预料其次天的新订单超过160()

份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使其次天完成积压订单及当

日订单的配货的概率不小于0.95,则至少须要志愿者()

A.10名B.18名C.24名I).32名

【答案】B

【解析】由题意,其次天新增订单数为500+1600-1200=900,

故须要志愿者黑=18名.

3.(2024•新课标I)若2"+log2a=4"+21og4〃，则()

A.a>2bB.a<21?C.a>b2D.a<b2

【答案】B

【解析】设/(x)=2'+log2X,则“力为增函数,因为

2/,

2"+log,a=4"+2log4/?=2+log2b

所以

2b2fr

f(a)-f(2b)=2“+log,a-(2+log22Z?)=22b+噫b_(2+log”)

=log,-=-l<0,

所以/(。)</(2份，所以

222

f(a)-f(b)=2、+log2。-Q炉+log2Z>)=22b+噫b_Q户+iOg2b)=

22〃-2"-log?匕，

当力=1时,f(a)-f(b2)=l>0,此时/(〃)>/(/),有从

当人=2时，f(a)-f(b2)=-\<0,此时/(〃)</(/),有〃〈尸，所以C、I)错误.

4.(2024•新课标II)设函数/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,则人力()

A.是偶函数，且在(g,T8)单调递增B.是奇函数，且在(一；,；)单调递减

C.是偶函数，且在(TO,-《)单调递增D.是奇函数，且在单调递减

22

【答案】I)

【解析】由f(x)=ln|2x+l|—ln|2x-l［得/(力定义域为卜,,关于坐标原点对

称，

X/(-x)=ln|l-2,v|-ln|-2x-l|=ln|2x-l|-ln|2A-+l|=-/(^),

「./(X)为定义域上的奇函数.可解除AC：

当xt(—时，/(x)=ln(2x+l)-ln(l-2x),

Q），=ln（2x+1）在（一生）上单调递增，y=ln（l—2x）在（一；,；）上单调递减,

上单调递增，解除B：

当中日2A-H

时,/(x)=In(-2x-l)-ln(l-2x)=InIn1+-----

2A-12x—1>

2

V/z=1+在上单调递减，〃在定义域内单调递增,

21I乙）

依据复合函数单调性可知：/（X）在卜％一；）上单调递减，D正确.

5.（2024•新课标H）若2:2丫v3r-3->，则（）

A.In（y-x+l）>0B.ln（y-x+1）<0C.In|x->,|>0D.

In|x-y|<0

【答案】A

【解析】由2r-2-v<3r-3-y得：2X-3r<2y-Ty>

令/（/）=2内，

・・・），=2、为/?上的增函数，y=3-、为R上的减函数，.../«）为R上的增函数，

Qy-x>0,j-x+1>1,:An（y-x+\）>0,则A正确，B错误：

Q\x-y\与1的大小不确定，故CD无法确定.

6.（2024•新课标III）£。即HMc模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城.有学

者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/1）（E的单位：天）的Logistic模

型：/。尸二7金两，其中“为最大确诊病例数•当/（/）<.95（时，标记着已初步遏制

疫情,，则/约为（）（ln1923）

A.60B.63C.66I）.69

【答案】C

【解•析】•・./（，）=所以/（”）=]+.2WT）=°95K,则厂3（13）=]9,

所以，0.23（厂一53）=加19H3,解得f**高+53之66.

5

7.（2024•新课标HI）已知或8‘，13\8.设所logs3,/Flog85,c=logu8,则（）

A.水伙cB.灰水cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】由题意可知。、b、ce（O,l）,

g二陛忙此，俨3+叫/怆3+叫/凹<]

25

blog85lg5lg50g5『I2JI21g5）U§J

4

由b=log85,得8〃=5，由5$<84,得8%<84，.•.5bv4,可得

4

由eulogy,得13'=8，由134<8$，得134<13'c，.•.5c>4,可得c>不

综上所述，a<b<c.

8.(2024•山东卷)基本再生数总与世代间隔7■是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生

数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎

疫情初始阶段，可以用指数模型：/(/)=e〃描述累计感染病例数/(。随时间*单位:天)的

改变规律，指数增长率r与mT近似满意吊=1+，式有学者基于已有数据估计出必=3.28,

伫6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间约为(ln2^0.69)

()

A.1.2天B.1.8天

心2.5天0.3.5天

【答案】B

【解析】因为凡=3.28,7=6,4=1+〃，所以厂=328-।=038,所以

6

""="=严8』，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间为6天,

则/阳，引=2*38、所以/啊=2，所以0.3甑=In2,

In2〜0.69

所以："()38%038"8天.

9.(2024•山东卷)若定义在R的奇函数，(*)在(-oo,0)单调递减，且/'(2)=0,则满意

疗(x-l)20的x的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,-H»)B.[-3,-l]J[0,l]

C.[-tO]u[l,-K»)D.[-l,0]<J[l,3]

【答案】D

【解析】因为定义在R上的奇函数在(TO,0)匕单调递减，且/(2)=0,

所以/(x)在(0,十功上也是单调递减，且/(-2)=0,/(0)=0,

所以当XG(-OO,-2)D(0,2)时，/(A)>0,当XG(-2,0)U(2,*O)时，/(x)<0,

所以由与@-1)20可得:

x<0,fx>0

[-2<x-l<0^U-l>2或[0<x-l<2<r-1<-2-或Y=°0

解得一IWXWO或14x43,

所以满意1)N0的大的取值范围是[T,0]u[l,3],

A

D.

【解析】由函数的解析式可得：/（-X）=-7-J=-/（A）,则函数/（x）为奇函数，其图

象关于坐标原点对称，选项CD错误:

4

当^时‘尸由=2>°,选项B错误.

11.（2024•天津卷）设〃=3°：b=（；）,c=logo7（）.8,则的大小关系为

)

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.

c<a<b

【答案】D

【解析】因为"=3°7>1，

匕=6J=3°,8>3°"=4，

c=log07().8<log。？。・7=1,

所以

12.(2024•天津卷)已知函数/(x)=sin(x+?).给出下列结论:

①/（X）的最小止周期为24：

②是/(X)的最大值；

③把函数)，=$泊X的图象上全部点向左平移?个单位长度，可得到函数y=/(x)的图象.

其中全部正确结论的序号是

A.①B.①@C.②③I).①②③

【答案】B

【解析】因为/Cr)=sin(x+X),所以周期丁二至=2乃，故①正确：

3co

f(-)=sin(-+-)=sin—=-1,故②不正确：

,22362

将函数)，=sinx的图象上全部点向左平移9个单位长度，得到y=sin(x+g)的图象，

JD

故③正确.

Vx0

13.(2024•天津卷)已知函数/(幻=1'…'若函数

一乂x<0.

^W=/U)-|AX2-2X|(keR)恰有4个零点，则k的取值范围是()

A.一%一；U(2应,+<»)B.,一；)1)(0,2a)

C.(F,0)U(0,2夜)D.(-oo,0)U(2及,”)

【答案】D

【解析】留意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|依-2|二普恰有3

kl

个实根

即可，令〃(x)=誓，即y=|依一2|与/?0)=辔的图象有3个不同交点.

|x|kl

f(x)Jf,x>0

因为/?(x)=

TTltx<0

当攵=0时，此时y=2,如图i,y=2与〃(x)=曾有2个不同交点，不满意题意;

|x|

当k<0时，如图2,此时y=|去一2|与〃。)二智恒有3个不同交点，满意题意;

\x\

当%>0时，如图3,当），="―2与y=/相切时，联立方程得f一左（+2=0,

令△=（）得22一8=0,解得£=2及（负值舍去），所以k>2插.

综匕攵的取值范围为（一8,0）J（20,+oo）.

C.D.

【答案】A

【解析】因为f(x)=xcosx+sin;i,则/(一工)=一不＜：0$人一0吊；1=一/(工)，

即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，

据此可知选项。错误：

且工=4时，y=4cos〃+sin;r=一万＜0,据此可知选项6错误.

15.(2024•浙江卷)已知a,6wR且融W0,若(x-a)(x-力)(x-2刘-〃)20在*20上恒

成立，则()

A.水0B.给0C.仅0D.6＞0

【答案】C

【解析】因为所以。w0且b#O,fix)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),ppj/(x)

零点

为*=a,x2=b,x3=2a+b

当。＞0时，则£＜W，x,＞0,要使f(x)NO,必有2。+〃=。，且/)〈()，

即6=—”，且力＜0,所以人＜0：

当avO时，则占＞不，再＜0，要使/(外之()，必有〃＜0.

综上肯定有〃＜0.

16.(2024-山东卷)信息埔是信息论中的一个重要概念.设随机变量1全部可能的取值为

1,2,,〃，且尸(X=i)=p,＞0(/=1,2,,〃),力凡=1,定义才的信息燧"(X)=-力〃Jog?”：.

1-1/-I

()

A若叶1,则，0)=0

B.若炉2,则，(用随着Pi的增大而增大

C.若p,=Li=l,2,…,〃)，则〃(心随着〃的增大而增大

n

I).若77=2勿，随机变量J'全部可能的取值为1,2,，相，且?(丫=力=〃/+〃2,”+5(/=1，2,

则〃

【答案】AC

【解析】对于A选项，若〃=1,则/.=l,P1=l,所以”(X)=—(lxlog21)=0,所以A

选项正确.

对于B选项，若〃=2,则i=l,2,P2=1-Pi，

所以“(X)=-[/?,log,/7,+(l-/?1)log2(l-/?1)],

当时，H(X)=-^.log2l+liog2^,

当B=>J，〃（X）=一（"物（十如喈2；），

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若Pi=g（i=l,2,,〃），则

H（X）=-f-log,-|x；?=-log2-=log2fi,

\nnJn

则H（X）随着〃的增大而增大，所以C选项正确.

对于【）选项，若〃=2相，随机变量丫的全部可能的取值为12,〃?，且

P（Y=j）=Pj+P2m+l-j（j=12，6）・

"（X）=-£P,10g2Pi=fPil0g2,

i=lPi

.1,1.1,1

=Px-log,一+“2•l°g2—+…+P2,l•10g2-------+P2m110§2一.

P\PlPlni-\Pim

]

5+〃2,Jl°g2+(〃2+〃2吁J.bg2—7------++(〃,”+〃,”+)log?

P+P2mP2+P2m7Pm+P,2

,1,1,1,1

=Pl-log,-----------+/>2-10g2--------------+…+〃2”“->0g2--------------+P2m•log------------

+

R+P2mPl+〃2”rTPlPlm-XPl+P2m

/\11

由于所以一)---------

Pj>o(j=l,2,・・・,2〃z),所以心员—>>og2---------------

PiPi+PiPi+Plm¥\-i

,1,1

所以〃,•log?—>2•log?---------------

PiPi+〃2m+i

所以“（x）＞”（y）.所以D选项错误.

17.（2024•北京卷）函数f（x）=」一+lnx的定义域是

x+1

【答案】（0,+8）

x＞0

【解析】由题意得《，:.x＞（）

x+1工0

18.（2024•北京卷）为满意人民对美妙生活的憧憬，环保部门要求相关企业加电污水治理,

排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量/与时间Z的关系为W=/（,），用

—/（?-）（㈤的大小评价在口）］这段时间内企业污水治理实力的强弱,已知整改期内，

b-a

给出下列四个结论：

①在［12］这段时间内，甲企业的污水治理实力比乙企业强：

②在G时刻，甲企业的污水治理实力比乙企业强：

③在G时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在这三段时间中，在［0/］的污水治理实力最强.

其中全部正确结论的序号是.

【答案】①②③

【解析】一，即表示区间端点连线斜率的负数，在［心］这段时间内，甲的斜率比

乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理实力比乙企业强；①正确;

甲企业在［0,小八也］，在2，A］这三段时间中，甲企业在］这段时间内，甲的斜率最小，

其相反数最大，即在的污水治理实力最强.④错误；在4时刻，甲切线的斜率比乙的

小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理实力比乙企业强；②正确；在

G时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确。

19.（2024•江苏卷）已知片f（x）是奇函数，当*20时，，则〃-8）的值是—.

【答案】-4

【解析】/（8）=£=4,因为/（X）为奇函数，所以/（-8）=-/（8）=-4

20.（2024•新课标HD大于函数/"（外=sinx十一!一有如下四个命题：

sinx

①的图像关于y轴对称.

②F（*）的图像关于原点对称.

③/、（》）的图像关于直线下土对称.

2

④f（*）的最小值为2.

其中全部真命题的序号是_________.

【答案】（2X3）

［解析］对于命题①，/fyl=^+2=|,==则

16,J22I6J22

所以，函数/（X）的图象不关于）'轴对称，命题①错误:

对于命题②，函数/（X）的定义域为{小。版■，壮Z},定义域关于原点对称,

11

/(-x)=sin(-x)+-sinx-———・"»马一⑺,

sin(-x)sinx

所以，函数/（x）的图象关于原点对称，命题②正确;

717t11

=sin+——

1-2-----X1-2------X=cosx+--------

对于命题③，COSX，

sin~^~X

r71I7T—cos-

f(—2+x)=sin1—2+X)+则呜7"%71

7TCOSX，

sin一+X2

2

所以，函数/（1）的图象关于苴线x对称，命题③正确；

对于命题④，当一;r<x<0时，sinxvO,则/（x）=sin,r+」一<0<2,

sinx

命题④错误。

【2024年】

1.（2024•全国I卷）已知。=log2（）.2,b=2°\c=0.203,则（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】a=log,0.2<log21=0,Z?=2°2>2°=1,

0<。=0.2°3<0.2°=1,即0<。<1,

则avcv。.

故选B.

02

2.（2024•天津卷）已知。=log,2,Z?=iog（）50.2,c=O.5,则的大小关系为

（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】因为a=log52<log5逐=g,

b=log050.2>log。；°25=2,

0.5,<C=0.5°2<0.5°.即:<C<1，

所以a<c<Z?.

故选A.

3.（2024•全国H卷）若a>5,则（）

A.ln（af）〉0B.3"<3"

C.f>0D.\s\>\b\

【答案】C

【解析】取a=2,b=l,满意。>匕，但ln（a—力=0,则A错，解除A；

由9=32>3i=3，知B错，解除氏

取。=1力=-2,满意〃>6,但|l|v|-2|,则D错,解除D；

因为基函数y=d是增函数，a>b,所以/>3,即df3>0,C正确.故选C.

4.（2024•北京卷）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星

等与亮度满意也小二|怛春，其中星等为加的星的亮度为瓦（公1,2）.已知太阳的星等

是母6.7,天狼星的星等是T.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A.10KllB.10.1

C.IglO.1I）.IO-101

【答案】A

5.G

【解析】两颗星的星等与亮度满意吗一町二

2E2

令1nl=-1.45,m}=-26.7,

p22

则1g—L-—（〃4一〃q）=—x（-1.45+26.7）==10.1,

E25~5

从而步庚」.

E2

故选A.

sinr+X

5.（2024•全国I卷）函数f（x）;：在［-兀，兀］的图像大致为（）

CO"+X

1-

A.一B.।

-IT0ITX-IF7"^o77X

）八》八

c.-

D.-1ff______

-7T■iLQ）

【答案】I）

sin(-x)+(-x)—sinx—x

【解析】由/（一X）嬴E"/⑴’得小）是奇函数’其图象关

cos(-x)+(-x)2

于原点对称.

7Fo4+27r7T

又/（二）二--二T—>1,/（兀）=」^>0,可知应为D选项中的图象.

2/兀、27T-1+冗“

（5）

故选D.

（2024•全国HI卷）函数y=］兴T在［d，可的图像大致为（）

6.

【解析】设），=/@）=肃产，则/.（-工方^^-亳^-“正所以/⑶是

奇函数，图象关于原点成中心对称，解除选项C.

2x43

又/(4)=>（）,解除选项D：

24+2^

2X63

/⑹=°：:，产7，解除选项A,

故选B.

7.（2024•浙江卷）在同始终角坐标系中，函数y=l，y=log,（x+g）（a0,且a#l）

的图象可能是（）

【答案】I）

【解析】当0＜。＜1时,函数y="的图象过定点（0,1）且单训递减,则函数＞=不的图

（1A1

象过定点（0,1）且单调递增，函数y=iog“[x+5j的图象过定点（弓,0）且单调递减，D选项

符合；

当时，函数y="的图象过定点（0,1）且单调递增，则函数■的图象过定点（0,1）

a

且单调递减，函数y=log.（x+；）的图象过定点（；,0）且单调递增，各选项均不符合.

综上，选I）.

8.（2024•全国II卷）2024年1月3日嫦娥四号探测器胜利实现人类历史上首次月球背面

软着陆，我国航天事业取得又一重:大成就，实现月球背面软着陆须要解决的一个关键技术问

题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，放射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿

着围绕地月拉格朗LI4点的轨道运行.&点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球

质量为M,月球质量为秘，地月距离为此4点到月球的距离为八依据牛顿运动定律和

M/WcIvir

万有引力定律，厂满意方程：笠=（R+r）寮.设0=由于a的值很小,

（A+r）rKR

,3,45

因此在近似计算中:a«3a-，则r的近似值为（）

（1+W

【答案】D

【解析】由a=q,得r二aR,

R

M,…、M.

因为标尸丁=俨+「内’

陷

所以R2(l+a)2+a2R2二…隼

M、.、1,a5+3a4+3<z3.

即一=a-2[r(zl+a)------------]=--------------；-----«3a33,

M(1+a)2(1+a)2

解得。=

所以…人磊R

故选D.

9.(2024•全国111卷)设/(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+8)单调递减，则()

A.f(log:,l)>f(2*2)>f(2-3)

4

B.f(log3l)>f(2^)>/(2光)

4

C.f(2^)>f(2不)>/(】og3~l)

4

D.f(2《)>/(2^)>f(log，)

-4

【答案】C

【解析】,・"(力是定义域为R的偶函数，,♦./(唾3；)=/。吗4).

2323

51-i

・.•log34>log,3=1,1=2°>2_>2-,/.log,4>2>，

又/(x)在(0,+8)上单调递减，

(二、(3、

A/dog34)</2个<f22,

3

即/22>f2>flog3-

k7k74

故选C.

10.(2024•全国II卷)设函数/(x)的定义域为R,满意/(x-l)=2/Cv),且当xe(0,l]

Q

时，/(x)=x(x-l).若对随意都有了。)2-/则0的取值范围是()

(9](7-

I4」I3」

(5(8

C.-oo,-D.TO,;

I2」I3」

【答案】B

【解析】V/U+1)=2/(x),/(x)=2f(x-1).

'：xe(OJ|Bj,/(^)=X(X-I)G[--,0]：

4

时，x-1e(O,l],/(x)=2/(x-1)=2(x-l)(x-2)e--^,0

xe(2,3]时，x-le(l,2],/(.r)=2/(x-1)=4(x-2)(x-3)G[-1,0],

如图：

Q7X

当xe(2,3]时，由4(.r-2)(x—3)=-,解得％,.q，

若对随意xe(-8,坷，都有fO-2，则

(7]

则m的取值范围是-8,、.

故选B.

x,x<0

11.(2024•浙江卷)已知aZ^R,函数/(x)=h,1,.若函数

-r--(t/+l)x"+ar,x>0

y=/(x)-ax-〃恰有3个零点，则()

A.水-1,伙0B.水・1,力0

C.a>-1,丛0D.a>-1,核0

【答案】C

【解析】当x<0时，y=f(J)-ax-b=x-ax-b=(1-a)x-d=0,得x-

则y=f(x)-ax-b最多有一个零点；

当彳20时，y=f{x}-ax-6=#-；(a+1)x^ax-ax-&=/1)x-b,

y'=x2一(a+l)x,

当於1W0,即aW-1时;yf20,y=F(x)-々彳-/)在［0,-°°)上单调递增，

则尸f(x)-ax-。最多有一个零点，不合题意：

当豺1>0,即卧-1时，令『'>0得x£(a+l,+8),此时函数单调递增，

令/<0得xe［0,a+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.

依据题意，函数尸f(x)-ax-。恰有3个零点=函数尸f(x)-ax-b在(-8,0)

上有一个零点，在［0,+8)上有2个零点，

-b>0

工土<°且g(a+1)3-^(a+l)(a+I)2-bVO,

解得。VO,1-a>0,b>(a+1)\

u

则a>-1,ZKO.

故选C.

12.（2024"江苏卷）函数），=j7+6x-f的定义域是.

【答案】[-1,7]

【解析】由题意得到关于*的不等式，解不等式可得函数的定义域.

由已知得7+6x—丁20,即炉一6工一7<0,解得一1WX07,故函数的定义域为[T,7].

13.（2024•全国I【卷）已知/（X）是奇函数，且当r<0时，f（x）=—e&.若/Qn2）=8,

贝lj4=________.

【答案】-3

【解析】由题意知/（幻是奇函数，F1当x<0时，/（x）=-e<u,

又因为In2£（0,1）,/（In2）=8,

所以_©-"加2=一8，

两边取以e为底数的对数，得一aln2=31n2，

所以一。=3,即。=一3.

14.（2024•北京卷）设函数〃X）=e'+ae为常数）.若&X）为奇函数，则折；

若f（x）是R上的增函数，贝Ja的取值范围是.

【答案】-1（YO,0]

【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用了'（工后0可

得a的取值范围.，若函数/（X）=廿十。仁为奇函数，则〃-力二一/（工）,即

e-r+aex=-（ex+aex）,

即（〃+1乂1+e-1=0对随意的x恒成立,

则4+1=0,得。=—1.

若函数〃x）=e'+aeY是R上的增函数，则八%）=d-盘、20在R上恒成立，

即[We?、在R上恒成立，

又e2x>0，则〃W0,

即实数〃的I仅值范围是（TO,0].

15.（2024•浙江卷）已知〃WR,函数/。）=办3一%，若存在zwR,使得

2

|/"+2）-/（。区士,则实数。的最大值是

3

4

【答案】-

3

2

【解析】存在ftR,使得|/"+2)-/“)区

即有Ia(f+2尸一(f+2)-ciP+/区一»

3

化为|2a(3/+6/+4)-2区，

可得一142a(3产+6±+4)-2«(,

即2wa(3f2+6/+4)"3

33

4

由3r+6/+4=3(/+1)2+121,可得

4

则实数〃的最大值是］.

16.（2024•北京卷）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白

梨、西瓜、桃，价格依次为6。元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明

对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客

网上支付胜利后，李明会得到支付款的80%.

①当方10时，顾客一次购买草寿和西瓜各1盒，须要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大

值为.

【答案】©130：②15

【解析】①x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，须要支付（60+80）—10=130元.

②设顾客一次购买水果的促销前总价为）'元，

当），<120元时，李明得到的金额为.）»80%,符合要求：

当yN120元时,有（y_%）x80%>yx70%恒成立,

即8（），-x）27），,x",

8

因为！=15,所以x的最大值为15.

I*/min

综上，@130：②15.

17.(2024•江苏卷)设)(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,/(幻的周期为4,g(x)

的周期为2,且/")是奇函数.当x6(0,2］时，/(.r)=71-(x-l)2,

%(x+2),0<x<\

g(x)=l1，其中约0.若在区间(0,9］上，关于¥的方程/(x)=g(x)有8

——,1<x<2

2

个不同的实数根，则〃的取值范围是幺

【答案】

【解析】作出函数/3)，g(X)的图象，如图:

由图可知，函数/(x)=Jl_(x-1)2的图象与

g(工)=一3(1＜工＜2,3＜工＜4,5〈工〈6,7＜工＜8)的图象仅有2个交点，即在区间(0,9］

上，关于x的方程/(x)=g(H)有2个不同的实数根，

要使关于1的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，

则/(x)=V1-U-1)2,xe(Q2］与g(x)=攵。+2),x£(0,1］内图象有2个不同的交点,

由(1,0)到直线丘-y+2女=0的距离为1,可得=1,解得&=¥(%＞()),

..•两点(—2,0),(1,1)连线的斜率k=-,

3

.1~0

34

综上可知，满意/（A-）=N（x）在（0,9］上有8个不同的实数根的k的取值范围为崎

【2024年】

eX—X

1.（2024•全国II卷）函数f（x）=一：的图像大致为

【答案】B

【解析】・・・X¥OJ（T）=±■铲=-/（外,「./3为奇函数，舍去A：

X

=・•・舍去D；

..’⑴=(e"卜］(eY)2x=(x-2)e'+9+2”-X

，,x>2时，

XX

/（x）单调递增，舍去C.

因此选B.

2.（2024•全国HI卷）函数y=-f+f+2的图像大致为

【答案】D

【解析】函数图象过定点（0,2）,解除A,B：

令y=/(x)=-x4+x2+2,则/'(x)=-4x3+2x=-2x(2x2-1),

由得2N2--1）＜0,得不＜一巫或0＜x＜Y2,此时函数单调递增,

22

由/'（幻＜0得2N2/-1）＞0,得或一［＜工＜0,此时函数单调递减，解除c.

故选D.

3.（2024•浙江卷）函数尸2Nsin2x的图象可能是

【答案】I)

【解析】令/(x)=2^sin2x.xe=21-%in2(-x)=-2^sin2x=-/(x)»

所以/(x)=2wsin2.r为奇函数，解除选项A.B;

因为xe(工，兀)时，/(力＜0,所以解除选项C,

故选D

4.(2024•全国I卷)设函数=f+(〃-1)/+依，若/(x)为奇函数，则曲线

y=/(x)在点(0,0)处的切线方程为

A.y=-2xB.y=—x

C.y=2xI).y=x

【答案】I)

【解析】因为函数/(x)是奇函数，所以。-1=0,解得。=1,

所以f(r)=x3+x,/z(x)=3x2+1,

所以r(0)=lJ(0)=0,

所以曲线)，=/(x)在点(0,0)处的切线方程为y-/(0)=/'(0)x,化简可得)，=x,

故选D.

5.(2024•全国H卷)己知/(力是定义域为(70,+8)的奇函数，满意

/(l-x)=/(l+x).若"1)=2,则川)+/⑵+/⑶+…+〃50)=

A.-50B.0

C.2I).50

【答案】C

【解析】因为/（力是定义域为（70,长o）的奇函数,n./（l-X）=/（l+X）,

所以/（1+X）=_/（XT）,.,./（3+6=_/（X+1）=/（XT）".T=4,

因此

/（1）+/（2）+/（3）+..+/（50）=12[/（1）+/（2）+/（3）-/（4）]+/（1）+/（2）,

因为/（3）=-〃1），/（4）=-/（2）,所以/⑴十/（2）十/（3）十〃4）=0,

因为/（2）=/（0）=0,从而/（1）+/（2）+/（3）++/（50）=/（1）=2.

故选C.

6.（2024•天津卷）已知。nlogH，Z?=ln2,c=log）-,则a,b,。的大小关系为

23

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>a