2024-2025学年云南省玉溪市高二上册9月月考数学检测试卷（附答案）

2024-2025学年云南省玉溪市高二上学期9月月考数学检测试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.2.在平行六面体中，为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量为（）A. B.C. D.3.若函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.4.在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱PB上，且满足，则异面直线PC和DG的距离为（）A. B. C. D.5.空间中有三点，，，且为平面的一个法向量，则以AB、AC为邻边的平行四边形的面积为（）A. B. C.3 D.6.在矩形中，，，沿对角线AC将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为3时，（）A. B. C. D.7.边长为1的正方体中，E，F分别是，的中点，是DB靠近点的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（）A.1 B. C. D.8.已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球而上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异而直线PA，QB所成的角的聂小值为（）A.60° B.45° C.30° D.15°二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.已知，，则在上的投影向量为B.若两个不同平面，的法向量分別是，，且，，则C.若，则A，B，C，G四点共面D.若向量，（x，y，z都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为10.如图所示是一个以AB为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4，F为线段AS的中点，其中C、D、E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成上一个以S为顶点的圆锥的侧面，则关于此圆锥，下列说法不正确的是（）A.为正三角形 B.平面C.平面 D.点到平面的距离为11.如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则（）A.当点P在侧面上时，四棱锥的体积为定值B.存在这样的点，使得C.当直线AP与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为D.当时，点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数满足，则___________.13.空间内四点，，，可以构成正四面体，则___________.14.如图，在正方体中，，点E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得截面面积为___________，动点满足，且，则当取得取小值时二面角的余弦值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且MA和NF的长度保持相等，记.（1）求MN的长；（2）当MN的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.16.（本小题满分15分）如图，已知多面体的底面是菱形，侧棱底面，且.（1）证明：；（2）若，，，求直线BC与平面所成的角的正弦值.17.（本小题满分15分）如图所示，在长方体中，，，为棱的中点.（1）若是线段BM上的动点，试探究：是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由；（2）过作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围.18.（本小题满分17分）如图，三棱台，，，平面平面，，，，与相交于点，，且平面.（1）求三棱锥的体积；（2）平面与平面所成角为，与平面所成角为，求的值.19.（本小题满分17分）如图1，在平行四边形中，，，E为CD的中点，将沿AE折起，连接BD与CD，得到的四棱锥如图2.图1图2（1）当BD为何值时，平面平面？（2）设，当时，是否存在实数，使得直线AF与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径.月考卷答案一、选接题1.C将中的元表依次代入验证，只有，0，满足，所以.故选C.2.C因为在平行六面体中，，所以，故选C.3.D【解祈】因为，所以的对称轴为，在单调递减，则在单调递增，又因为，由对称性可得，所以，，.故选D.4.A如图，以点为原点，，，分别作为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，.所以，，，设为直线PC和DG的公垂线的方向向量，则有，可取，所以异面直线PC和DG的距离为.故选A.5.D平面的一个法向量为，则，解得，故，，，则，则，则平行四边形面积为.故选D.6.B分别作，，垂足为E，F，则.由，，可得，所以，，.因为，则，即，故.故选B.7.B如图，建立空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，则，因为，又，所以，即，所以，又，，所以.当且仅当，此时时，等号成立，所以的最大值是.故选B.8.A设球的半径为，记中心为，因为为正方形，直线PQ经过球心，且平西.所以PQ过点且PQ的中点为球心，设球心为，以为原点，OB、OC、OP分别为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，，，所以，，所以，所以，，又，即.所以，当且仅当时等号成立，设直线PA，QB所成的角为则，又，所以.故选A.二、选择题9.BD对于A，由于，，则在的投影向量为，故A错误；对于B：若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，，则，故B正确；对于C：由于，对于，故A，B，C，G四点不共面，故C错误；对于D：p在单位正交基底下的坐标为（1，2，3），即，所以在基底下满足，故，，，解得，，，则在基底下的坐标为，故D正确.故选BD.10.ABD选项A，该半圆围成的圆锥，如图所示，设四棱底面半径为，则，，，为AS的中点，为AD的中点，，且，，为等腰直角三角形，选项A错误；选项B，若平面，则，直角中，，，选项B错误；选项C，，平面，平面，选项C正确；选项D，，，平面，平面平面，到直线FO的距离即为到平面的距离，又，到直线FO的距离等于到直线SD的距离，为，选项D错误，故选ABD.11.ACD略12.略13.由已知正四西体的棱长为1，所以的竖坐标为正四面体的高，的外接圆半径为，所以正四面体的高为，而横坐标，纵坐标即底面三角形的重心坐标，，，所以，故答案为.[只写对一个不给分]14.18；略四、解答题15.解：（1）由题意可知，直线BC、BE、BA两两垂直，以B原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因为，所以，.所以.（2），当时，最小.此时，M，N为AC、BF的中点，则，，取MN的中点，连接AG，BG，则，因为，，所以，.所以是平面与平面的夹角或其补角，因为，.所以，所以平面与平面夹角的余弦值是.16.解：（1）因为，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以，因为四边形是菱形，所以，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）设AC交BD于，以为原点，以OB为轴，OC为轴，过作为轴建立空间直角坐标系，由图可知，，，，.，则，，设平面的