四川省成都市蒲江县蒲江中学2024-2025学年高三上学期调研摸底考试数学试题

绝密★启用前—学年高三上学期调研摸底考试数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，根据交集和补集的概念求出答案.【详解】因为，，所以．故选：B2.若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】应用复数的乘除法运算即可.【详解】因为，所以．故选：D.3.已知椭圆的离心率为，则（）A.2B.C.4或D.或2【答案】C【解析】【分析】由椭圆方程可知对和进行分类讨论，再由离心率公式代入计算可得结果.第1页/共27页【详解】根据椭圆方程可知，当时，可得，所以离心率，解得；当时，可得，所以离心率，解得，所以；所以或4.故选：C4.某项智力测试共有，，，，五道试题，测试者需依次答完五道试题且至少答对其中三道试题，，三道试题的概率均为，两道试题的概率均为试题答对与否相互独立，则小明在答错试题的条件下通过测试的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别计算出答对三道试题和答对四道试题的概率，相加即可.【详解】小明已经答错了试题,故要通过测试需在，，，四道试题中至少答对其中三道试题.∵至少答对其中三道试题包括恰好答对三道试题和答对四道试题两种情况，∴至少答对其中三道试题的概率为.所以小明在答错试题的条件下通过测试的概率为.故选：D.5.已知是定义在是的极小值点，则下列说法错误的是（）A.是函数的极大值点B.是函数的极小值点C.是函数的极小值点D.是函数的极小值点【答案】D第2页/共27页【解析】【分析】由函数与函数图象的对称，以及极值点的概念逐项判断即可.【详解】对于A，因为是定义在上的奇函数，图象关于原点对称，所以是函数的极大值点，正确；对于B，因为单调递增，又是的极小值点，即存在区间，，此时单调递减，在上单调递增，所以在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点，正确；对于D，因为的图象与的图象关于轴对称，由是的极小值点，是函数的极大值点，可知是函数的极大值点，是函数的极小值点，D错误；对于C，由D可知是函数的极小值点，所以存在区间，此时单调递减，区间上单调递增，又单调递增，所以当时，单调递减，当时，单调递增，故是函数的极小值点，C正确；故选：D6.将函数图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数的图象，若点被变换成了点，且，则的所有可能值之和为（）A.B.C.D.【答案】A第3页/共27页【解析】【分析】通过函数的伸缩变换得，结合其正弦值以及的范围即可得结果.【详解】由题意得，所有点经过平移和伸缩变换得到函数，点被变换成了点，即先变换为，再变换为，即，所以，即或,又因为，所以或，则的所有可能值之和为，故选：A.7.已知双曲线：（，）的右焦点为，其中一条渐近线上存在一点，使得另一条渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（）A.2B.C.D.4【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的性质，利用垂直平分线的性质得出，联立两条直线方程求出点的坐标，利用勾股定理建立等式计算出即可求解．【详解】不妨设渐近线垂直平分线段，第4页/共27页所以．由解得所以点的坐标为．由，得，所以双曲线的离心率，故选：A．8.若函数的定义域内存在已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在的取值范围.【详解】由可得：；第5页/共27页即是成立；即存在，使得成立；又因为，因此即在上至少存在两个最大值点，所以，解得；当，即时，一定满足题意；若，因为，，所以，又易知；所以只需保证即可，解得综上可知的取值范围为.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用“完整函数”定义，将问题转化为在上至少存在两个最大值点，再通过比较区间长度和周期之间的关系即可求解.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.，…，分成六组，画出了样本频率分布直方图，则下列结论正确的是（）第6页/共27页A.该工业园区内年收入落在区间内小型民营企业的频率为0.55B.样本中年收入不低于500万元的小型民营企业的个数比年收入低于500万元的个数少C.规定年收入在400400万元）的民营企业才能享受减免税政策，则该工业园区有70%的小型民营企业能享受到减免税政策D.估计样本中小型民营企业年收入的中位数等于平均数【答案】BD【解析】【分析】利用频率分布直方图的性质一一判定选项可得答案.【详解】对于A，因为，所以，则年收入落在区间内的小型民营企业的频率为，故A错误；对于B，样本中年收入低于500万元的小型民营企业的频率为，故B正确；对于C，因为年收入在400万元以内的小型民营企业的频率为0.3，所以该工业园区有30%的小型民营企业能享受到减免税政策，C错误．对于D，因为，所以中位数应该在内，设为，则，解得，所以中位数约为480，平均数约为，中位数等于平均数，D正确．故选：BD.第7页/共27页10.，，分别是棱，，平面，直线与平面所成角为45°，若，，则下列说法正确的是（）A.B.点到平面的距离为C.五面体的体积为D.三棱柱的外接球的表面积为【答案】ACD【解析】A项，设出直三棱柱的高，建立空间直角坐标系并表达各点坐标，求出面出结论；B项，利用等体积法即可求出点到平面的距离；C项，利用作差法即可求出五面体的体积；D项，求出外接球的位置和半径，即可得出三棱柱的外接球的表面积.【详解】由题意，在直三棱柱中，面，面，面，面，直线与平面所成角为45°，∴，，，，在中，，，∴，，∴是等腰直角三角形，，，建立空间直角坐标系如下图所示，设直三棱柱高为，第8页/共27页，，∴在面中，设其一个法向量为，，即，解得：，当时，，∴，解得：，故A正确；B项，连接，，，由几何知识得，，，第9页/共27页，，在中，，由勾股定理得，，在中，同理可得，，在中，过点作于点，则是的中点，也是矩形对角线交点，连接，在中，，由勾股定理得，，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，∴，，，，第10页/共27页∵，解得：，故B错误；C项，五面体的体积为：，故C正确；D项，由几何知识得，，，∴四边形为正方形，设正方形中心，是的中点，也是矩形对角线的交点，所以是的中点，是的中点，所以,因为平面，所以平面所以点在过正方形中心，平面的垂线上，点到正方形的四个顶点距离都相等，有，在矩形到矩形，所以点为球心，点到各顶点的距离都等于球的半径，即，第11页/共27页∴三棱柱的外接球的半径为，∴三棱柱的外接球的表面积为：，故D正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量，等体积法，外接球的表面积，考查学生计算的能力，作图的能力，具有很强的综合性.若函数有三个不同零点，则（）A.B.C.可以等于D.可以等于1【答案】AD【解析】【分析】通过对不同取值下不同区间的分类讨论，得出符合三个不同零点的情况，即可根据得出结论.【详解】由题意，的定义域为,当时，∴，函数在上没有零点，第12页/共27页在上单调递增，当时，在上单调递增，∴不可能有三个零点，即，当时.，若,∵，则，∴，此时.令,解得：或（舍）当时，；当时，，∴函数单调递增，在单调递减，故不可能有三个不同零点若，则，当时，，，∴函数在上单调递增，第13页/共27页当时，，，令，解得：或（舍）当时，在上递增，此时，在上单调递增，此时，不可能有三个不同零点，不合题意，舍去.当即时，令，解得：，令，解得：，∴函数在，上单调递增，在上单调递减，且当时,；当时,,且.∴若函数有三个零点，则有，C，D项，，∴，即，解得：，∴第14页/共27页∴，∴可以等于1，不可以等于，故C错误，D正确；A，B项，，解得：，即，故A正确，B错误；故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查分类讨论，去绝对值，函数的求导，考查学生的计算能力，理解和分析问题的能力，具有很强的综合性.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知向量满足，则______．【答案】2【解析】【分析】根据向量数量积的运算律化简即可得解.【详解】因为，所以，化简得．又因为，所以．故答案为：213.已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，与准线交于点，，则直线的斜率为______，______．【答案】①.②.4【解析】第15页/共27页点的不同坐标，分类讨论结合两点间距离公式求解即可.【详解】设直线的方程为，由题意得的准线为，令，解得，则点的坐标为，，设，故，，因为，所以，，解得，故，因为点在抛物线上，所以，解得．故或，当时，由两点间距离公式得，当时，由两点间距离公式得，综上可得，.故答案为：；414.设的内角的对边分别为，若，则_______．【答案】【解析】【分析】根据题意并利用正弦定理可得，再根据三角形内角和以及三角恒等变换计算即可求得结果.【详解】由可得，第16页/共27页由正弦定理可得，即；又在中，,所以，即；所以.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆心，，是底面圆的两条直径，点在上，．（1）求证：；（2）若为的中点，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】1）先利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用线面垂直的性质定理即可得证；（2与平面的余弦值，进而得到二面角的余弦值.【小问1详解】证明：因为，为的中点，所以，又，且，平面，平面,所以平面．第17页/共27页又平面，所以．【小问2详解】由题意，在中，，所以，所以，又为的中点，所以，.设，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则设平面的一个法向量为，则，取，则．因此，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．16.已知的面积．（1）求证：；（2）设为的中点，且，求的值．【答案】（1）证明见解析；第18页/共27页（2）．【解析】1）利用正弦定理及三角形面积公式边化角即可证明；（2）利用余弦定理解与得出，再利用正弦定理解计算即可.【小问1详解】记角，的对边分别为，，，由题意可知，由正弦定理得因为，所以．小问2详解】在中，由余弦定理得，①同理，在中，②①②得，．在中，由正弦定理得，，所以，即，所以．17.已知，函数.（1）当时，求证：；（2）若，求的取值范围.第19页/共27页【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析1）当时，得出，将问题化为证，构造函数并证明其单调性，得出，即可得出结论；（2）写出表达式，利用换元法转化为证明恒成立问题，构造函数并求导，将导数进行二次求导，分类讨论得出导函数的单调性，进而确定原函数的单调性，进而得出参数范围.【小问1详解】由题意证明如下，，在中，，当时，，要证，只需证，令，则，令，得，所以当时，，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以，即，所以.【小问2详解】由题意及（1）得，，，在中，第20页/共27页，令，由题意，在时恒成立，设，，则，令，当时，，所以，在上单调递减，所以，符合题意，当时，在上单调递增，又，，所以存在，使得，且时，，即，所以在上单调递增，所以，不符合题意，综上所述，的取值范围为.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1.2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.18.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，圆与椭圆相交于，两点，，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；第21页/共27页（2）过点的动直线与椭圆有两个交点，，以线段为直径作圆，点始终在圆的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】1）利用余弦定理得出，再由的面积求出、可得答案；（2）设点，，当直线的斜率不存在时，的方程为可得答案；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据点在圆内（包括圆周）得，韦达定理代入，再利用恒成立可得答案；1）利用的面积求出、可得答案；（2）当直线的斜率为0时，根据圆以椭圆的长轴为直径可得答案；当直线的斜率不存在，或斜率不为0时，设的方程为，与椭圆方程联立，根据点在圆内（包括圆周）得，韦达定理代入，再利用恒成立可得答案；【小问1详解】方法一：因为，所以，则，解得．因为的面积为，所以，，，所以椭圆的标准方程为；方法二：因为，，第22页/共27页所以是正三角形，，所以点在线段的中垂线上，则，是椭圆的短轴端点．因为的面积为，所以，在中，易知，故椭圆的标准方程为；【小问2详解】方法一：设点，．当直线的斜率不存在时，的方程为，代入椭圆方程得，不妨设，，易求．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则消去得，，所以，．因为点在圆，所以，所以，所以，所以，即恒成立，所以，解得．第23页/共27页综上，的取值范围为．方法二：当直线的斜率为0时，圆以椭圆的长轴为直径，所以．当直线的斜率不存在，或斜率不为0时，设的方程为，且，．联立，消去得，所以，．因为点在圆，所以，所以，所以，所以，即恒成立，所以，解得．综上，的取值范围为．第24页/共27页19.若是递增数列，数列满足对任意的是的“分割数列”．（1）设，，证