小学奥数平面几何五种模型〔等积鸟头蝶形相似共边

小学奥数平面几何五种模型〔等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏

模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形

知识点拨

一、等积模型

①等底.高的两个三角形面积相等；A8/

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；Z\/V7

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；/_匚\_

如右图¥:$2=a:。

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图=SABCD；

反之，如果S"8=SMC。，那么可知直线AB平行于CD.

④等底等高的两个手行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行

四边形）；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等,

面积比等于它们的高之比.

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

如图在"BC中，分别是上的点如图⑴（或。在8A的延长线上，后在

AC上），

那么：S-=x/AC）：（4DxAE）

图⑴图⑵

三、蝶形定理

任意四边形中的比例关系（“蝶形定理〃）：

®S,:52=54:53^#S1xS3=S2xlS4（2）AO:OC=（S1+S2）:（S4+S3）

蝶形定理为我们提供了解决不规那么四边形的面积问

题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规那

么四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另

一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.

梯形中比例关系（“梯形蝶形定理〃）:

22

②$:S3:S2:S4=a:b:ab:ab;

③S的对应份数为（a+4.

四、相似模型

（一）金字塔模型（二）沙漏模型

①AO_AE_OE_AJ

BC-AG'

②s△小：SBC=A尸：AG?・

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，

不管大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似

比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.

五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）

在三角形A8C中，AD,BE,6相交于同一点0,那么人

^MRO*=BD：DC•/P\

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因//\£

为A44O和AACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称/SK\

为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，

它的特殊性在于，它可以存在于任何一个二角形之中，为BDC

三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

典型例题

【例1】如图，正方形的边长为6,AE=1.5,CF=2.长方形防的面积

为.

【解析】连接用DF,那么长方形瓯W的面积是三角形叱面积的二倍.

三角形比F的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

S^DEF=6X6-1.5X6+2-2X6+2-4.5X4+2=16.5,所以长方形EFGH面

积为33.

【稳固】如下图，正方形A5CQ的边长为8厘米，长方形的长3G为：0厘米,

那么长方形的宽为几厘米？

【解析】此题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形

和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高

的平行四边形面积的一半.

证明：连接AG.（我们通过AABG把这两个长方形和正方形联系在一

起）.

・・•在正方形A8C。中，S△八面=gx/13xAB边上的高，

・・・S^ABG=^SAbCD（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积

的一半）

向理，~SEFGB•

，正方形A8CD与长方形EFG8面积相等.长方形的宽=8x8+10=6.4（厘

米）.

【例2】长方形A8CD的面积为36cw2,E、八G为各边中点，”为4）边上任

意一点，问阴影局部面积是多少？

【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接〃〃、HC,如下列图：

s-15

可得：V。MHB—2ACHBSRDHG=2ShDHC而

^ABCD=S&\HB+S&CHB+^ACHD=36

即S^EHB+S.HF+S^HG=5+$&CHB+S&CHD)=]X36=18;

而S&EHB+SgHF+SRDHG=S阴影+S谢F

S皿=gx8Ex8尸=gx（gxH8）x（gx8C）="x36=4.5.

所以阴影局部的面积是：^=18-5,^=18-4.5=13.5

解法二：特殊点法.找”的特殊点，把”点与。点重合，

那么图形就可变成右图：

这样阴影局部的面积就是拉把厂的面积，根据鸟头定理，那么有:

S阴影=S/18S—SAAED-SM"-SAC/7）=36—5X5.36.5X5X36=13.5.

【稳固】在边长为6厘米的正方形ZcD内任最一点；，将东加形的一组对边

二等分，另一组对边三等分，分别与尸点连接，求阴影局部面积.

【解析】（法1）特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，

假设2点与A点重合，那么阴影局部变为如上中图所示，图中的两个阴

影三角形的面积分别占正方形面积的』和』，所以阴影局部的面积为

46

62x（；+*=15平方厘米.

（法2）连接孙、PC.

由于APA。与AP8C的面积之和等于正方形ABC。面积的一半，所以上、下

【例5】如图，8=5,DE=7,EF=15,FG=6,线段A3将图形分成两局部，左

边局部面积是38,右边局部面积是65,那么三角形的的面积是.

【解析】连接AF,BD.

根据题意可知，CF=5+7+15=27;&7=7+15+6=28;

7_

9

所以，S^EF=王jSKBF，SgEC~万S&cBF1^AA£G=^^A4/X；9,^AAED=28'

211S719

于是：加万Sy切=65；苏5必“+方=38；

可得又心^一句.故二角形ADC7的面积是40.

【例6】如图在AABC中，。，石分别是A&AC上的点，且AD:AB=2:5,AE:AC=4:7,

S“,%=16平方厘米，求八位的面积.

【解析】连接8E,S△八或应他.=AQ:A3=2:5=(2X4):(5X4),

SME：S△他•=A£AC=4:7=(4X5):(7X5)，所以S△叱：5.咏=(2x4):(7x5),设

S△加「=8份，那么又.8c=35份，S=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，

35份就是70平方厘米，AABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个

重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互

补角)两夹边的乘积之比.

【稳固】如图，三角形ABC中，是AD的5倍，AC是的3倍，如果三角

形4定的面积等于1,那么三角形A品的面积是多少？

【解析】连接BE.

EC=3AE

.,SABC=3S.ABE

又＜AB=5AD

,•SADE=SABE+5=SA8C+15，♦・S4BC=155ADE=15.

【稳固】如图，三角形力比被分成了甲(阴影局部)、乙两局部，9=DC=4,座=3,

AE=6,乙局部面积是甲局部面积的几倍？

【解析】连接4).

•:BE=3,AE=6

：.AB=3HE,S枇=35WE

又•:BD=DC=4,

♦♦SABC—2SRBD，•♦SARC—6sBDE，=5S[1i•

【例7】如图在AABC中，。在8A的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2,

AE:£C=3:2,S*=12平方厘米，求AABC的面积.

【解析】连接HE,

SXADE:S，、ABE=AD:AB=2:5=(2x3)：(5x3)

S,\ABK:Sf、ABc=AE:AC=3:(3+2)=(3x5):[(3+2)x5],

所以工的与△枷=(3x2):[5x(3+2)]=6:25，设S△皿=6份，那么工.=25份，

S“0E=12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，AABC

的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角

三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比

【例8】如图，平行四边形ABC。，BE=AB9CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD9平

行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积

比.

【解析】连接AC、BD.根据共角定理

'/在AABC和/\BFE中，ZABC与ZFBE互补，

・S”_ABBC1x11

S4FBEBE-BF1x33

=9

又S&ARC1所以S>FBF.=3•

问理可得5△GCF=8,S△［申G=15,S4AEH=8.

所以SEIPH=S△，回+S^CFG+S3DHG+S&BEF+^ABCD=8+8+15+3+2=36•

所以mg=2_=_L.

SEFGH3618

【例9】如下图的四边形的面积等于多少？

【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求

面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形OW绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角

形OA8将旋转到三角形。。的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形

是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面

积.

因此，原来四边形的面积为12x12=144.（也可以用勾股定理）

【例10】如下图，AA8C中，ZABC=90°,AB=3,BC=59以AC为一边向AABC外

作正方形ACDE,中心为O,求的面积.

【解析】如图，将△048沿着O点顺时针旋转90。，到达AOCE的位置.

由于Z/$C=90。，ZAOC=90°,所以NQM“C4=】80°•而=

所以NX尸+“C8=180。，那么8、C、尸三点在一条直线上.

由于08=8,ZBOF=ZAOC=90°,所以她。尸是等腰直角三角形，且斜边所

为5+3=8,所以它的面积为82x，=16.

4

根据面积比例模型，AOBC的面积为16x3=10.

8

【例11］如图，以正方形的边/W为斜边在正方形内作直角三角形梃，

ZAEB=90°,AC、BD交于O.AE>应:的长分别为女m、5cm,求三角形QBE

的面积.

【解析】如图，连接以4点为中心，将顺时针旋转90。到A45户的位置.

ZE4F=ZE4B+ZE4F=ZE4B+ZZME=90°,而N4所也是90。，所以四边形

AF8E是直角梯形，且A尸=AE=3,

所以梯形的面积为：

（3+5）x3xg=12（cm2）.

又因为AASE是直角三角形，根据勾股定理，AB-=AE-+BE-=32+52=34，

所以鼠如）=17（cm2）.

那么S2DE=S3D—(SMBE+^MDE)=^MBD~^AFBE=17—12=5(Cm"),

所以S&OBE=5SgDE=2.5（cnr）.

【例12】如下列图，六边形AZJCDEV中，AB=ED,AF=CD,BC=EF,且有A/J平

行于ED,"平行于8,8c平行于EF,对角线㈤垂直于BD,尸。=24厘

米，=18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？

【解析】如图，我们将AfiC。平移使得CD与AF重合，将ADE5平移使得ED与加重

合，这样所、都重合到图中的AG了.这样就组成了一个长方形

它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形3Gm的面积为24x18=432

平方厘米，所以六边形A3CD）的面积为432平方厘米.

【例13】如图，三角形"3C的面积是1,E,是AC的中点，点。在AC上，且

BD:DC=1:2,AD与BE交于点F.那么四边形。正。的面积等于.

【解析】方法一：连接B,根据燕尾定理，2=孥，S△八BF_AE_]

°qACBF-乙FC〜~，

=

设s△皿=1份，那么S△叼=2份，S△人"=3份,S&AEF=3份，

如图所标

所以SDCEF=卷S^ABC=\

2

方法二：连接。E,由题目条件可得到%.二；$△ABC二1

5A^=^A4DC=|X|SA,^=1所以等=沁=:

1

2233/E%ADE

$」《_11_11£Q

、4DEF—X—2X3X、ABEC一e'1'弓X3△人BC-五

而以以4JXSAA所以那么四边形mEC的面积等于1

【稳固】如图，长方形AHC7）的面积是2平方厘米，EC=2DE,尸是。G的中点.阴

影局部的面积是多少平方厘米？

【解析】设s-二i份，那么根据燕尾定理其他面积如下图s阴影4ss=尚

平方厘米.

【例14］四边形A8CD的对角线AC与8。交于点。（如下图）・如果三角形的面

积等于三角形BCD的面积的g,且AO=2,DO=3,那么CO的长度是OO

的长度的倍.'

【解析】在此题中，四边形ABC。为任意四边形，对于这种〃不良四边形〃，无

外乎两种处理方法：⑴利用条件，向己有模型靠拢，从而快速解决；⑵

通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件3.：力血=1:3,

这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出

的条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第

二种解法需要一个中介来改造这个〃不良四边形〃，于是可以作A"垂

直8D于”，CG垂直比＞于G,面积比转化为高之比.再应用结论：三角

形高相同，那么面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比拟两

种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶

形定理解决问题.

解法一：「AO：OC=Sg9：5.叱=1：3,/.OC=2x3=6,AOC:00=6:3=2:1.

解法二：作/V/J.4D于〃，CGLBD^G^

=

•TJ^ABcn，••A”二。;CG,•••^^AOD=T*^ADOC>

・1/

..AO=-CO,..OC=2x3=6,..OC:OD=6:3=2:1.

3

【稳固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面

积，

求：⑴三角形BGC的面积；(2)AG:GC=?

【解析】⑴根据蝶形定理，SBGCXI=2x3,那么S"=6；

⑵根据蝶形定理，AG:GC=(l+2):(3+6)=l:3.

【例15］如图，平行四边形AAC/)的对角线交于。点，ACEF、4OEF、AODF、/XBOE

的面积依次是2、4、4和6.求：⑴求△如〃的面积；⑵求△GCE的面

积.

【解析】⑴根据题意可知，/^。。的面积为2+4+4+6=16,那么△ACO和△6)的面

积都是16+2=8,所以△OC尸的面积为8-4=4;

⑵由于△Z7CO的面积为8,的面积为6,所以△%£；的面积为

8-6=2,

根据蝶形定理，EG:FG=SMOE：SACOF=2：4=1:2，所以

S'GCK•S\8r.=EG:FG=1:2,

那么S&GCE=]+2SACEF33

【例16］如图，长方形A8CZ)中，BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,三角形MG的面积为

2平方厘米，求长方形ABC7)的面积.

【解析】连接AE,FE.

因为BE:EC=2:3，DF:FC=l:2,所以

5.。£卜=［X§X5)S长方形八8a)=­S长方形"CO•

因为5AM=耳S长方聆8co，AG:GF=^:-^=5:1)所以S©)=5SG/»=10平方厘

米，所以5.0=12平方厘米.因为长方形所以长方形ABC。

o

的面积是72平方厘米.

【例17]如图，正方形A8CZ）面积为3平方厘米，M是4）边上的中点.求图中阴

影局部的面积.

【解析】因为M是4）边上的中点，所以aM:4c=1:2,根据梯形蝶形定理可以知

道

SAAMG:S^ABG:S△MC6:S/X8CG=f：（1X2）：（1X2）：2]=]：2：2：4,设S^GA/=1份，那么

S.S=1+2=3份，所以正方形的面积为1+2+2+4+3=12份，

S阴影=2+2=4份,所以S阴影：S正方形=1:3,所以S阴影=1平方厘米.

【稳固】在下列图的正方形八成7）中，E是边的中点，AE与8。相交于厂点，

三角形8"的面积为1平方厘米，那么正方形A8CZ）面积是平方厘米.

【解析】连接。E,根据题意可知BE:AD=\:2,根据蝶形定理得

S梯形=（1+2）2=9（平方厘米）,SA£CD=3（平方厘米），那么S小=12（平

方厘米）.

【例18]A8CQ是平行四边形，水?:CE=3:2,三角形8E的面积为6平方厘米.那

么阴影局部的面积是平方厘米.

【解析】连接AC.

由于ABC。是平行四边形，BUCE=3:2,所以CE:4）=2:3,

22

根据梯形蝶形定理，5CO£:54OC:SW£:SMOD=2:2x3:2x3:3=4:6:6:9,所

以SAOC=6（平方厘米），Sj曲=9（平方厘米），又

S.=S.Q=6+9=15（平方厘米）,阴影局部面积为6+15=21（平方厘米）.

【稳固】右图中MCD是梯形，A3。是平行四边形，三角形面积如下图（单位:

平方厘米），阴影局部的面积是平方厘米.

【分析】连接AE.由于4）与8c是平行的，所以AECD也是梯形，那么

S&OCD=S^OAE•

=

根据蝶形定理,S&OCDXS&OAE=SA"£XS^OAD=4X9=36,故S'OCD36,

所以人。8=6（平方厘米）.

【稳固】右图中40是梯形，八3口是平行四边形，三角形面积如下图（单位:

平方厘米），阴影局部的面积是平方厘米.

【解析】连接AE.由于4）与8c是平行的，所以A£C£＞也是梯形，那么SAOS=S皿E.

根据蝶形定理，S&OCD*S^OAE=S&0cEXS\OAD=2x8=16,故%1=16,

所以“"°=4（平方厘米）.

另解：在平行四边形ABE。中，5叩=卜盛产9（16+8）=12（平方厘米），

所以&=SMDE-S301）=12-8=4（平方厘米）,

根据蝶形定理，阴影局部的面积为8x27=4（平方厘米）.

【例19】如图，长方形"8被CE、以分成四块，其中3块的面积分别为2、5、

8平方厘米，那么余下的四边形。叫c的面积为平方厘米.

【解析】连接DE、CF.匹边形EDCV为梯形，所以S"=SF"，又根据蝶形定理,

SzE0D,S^FOC=SAE0F,f所以'$AFOC=^^F,OF',^AC0D=2x8=16,所以=4（平

方厘米），5.0=4+8=12（平方厘米）.那么长方形的面积为12x2=24

平方厘米，四边形。阳C的面积为24-5-2-8=9（平方厘米）.

【例20】如图，AA8C是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段与CD相交于

K点.正方形。比'G的面积48,AK:KB=\:39那么的面积是多少？

【解析】由于。EFG是正方形，所以ZM与3c平行，那么四边形AD8C是梯形.在

梯形A08C中，MDK和AACK的面积是相等的.而以:解=1:3,所以AACK

的面积是MBC面积的」-=L那么MDK的面积也是MBC面积的L

1+344

由于是等腰直角三角形，如果过A作8C的垂线，M为垂足，那么M

是BC的中点，而且AM=£>£,可见和A4CM的面积都等于正方形

OEFG面积的一半，所以AABC的面积与正方形OEEG的面积相等，为48.

那么拉hK的面积为48x1=12.

4

【例21】下列图中，四边形AACD都是边长为1的正方形，E、F、G、”分别

是AB,BC,CD,DA的中点，如果左图中阴影局部与右图中阴影局部

的面积之比是最简分数”，那么，（m+n）的值等于.

n

【解析】左、右两个图中的阴影局部都是不规那么图形，不方便直接求面积，观

察发现两个图中的空白局部面积都比拟好求，所以可以先求出空白局部

的面积，再求阴影局部的面积.

如下列图所示，在左图中连接EG.设4G与。E的交点为M.

左图中AEG。为长方形，可知的面积为长方形AEGD面积的L所以

4

三角形AM。的面积为L又左图中四个空白三角形的面积是相

248

等的，所以左图中阴影局部的面积为1」X4=L

82

如上图所示，在右图中连接AC、EF.设"、EC的交点为N.

可知麻〃AC且AC=2Ef.那么三角形巫尸的面积为三角形ABC面积的L

4

所以三角形把尸的面积为FXLLL梯形AEFC的面积为

248288

在梯形AEW中，由于":4C=l:2,根据梯形蝶形定理，其四局部的面积

比为：12：］X2:1X2"=1:2:2:4,所以三角形E/W的面积为，!——=—,

81+2+2+424

那么四边形/汨怀的面积为而右图中四个空白四边形的面积是

8246

相等的，所以右图中阴影局部的面积为1-、4=\

63

那么左图中阴影局部面积与右图中阴影局部面积之比为工，=3:2,即

23

­m=—31

n2

那么m+n=3+2=5.

【例22］如图，AA3C中，DE,FG,3C互相平行，AD=DF=FB,

力R么SAADE；S四边形：S四边形AGO?=・

【解析】设S△皿=1份，根据面积比等于相似比的平方，

2222

所以S&ADE:S^FC=AD:AF=l:4fS△叱：S^ABC=AD:AB=\:9,

因此““G=4份，S^c=9份，

进而有S四边形DEGF=3份，S四边形的8=5份,所以:S四边形DEGF:S四边形FGCB=】：3：5

【稳固】如图，QE平行3C,且4）=2,AB=5,AE=4,求AC的长.

【解析】由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=Z）E:8c=2:5,所以AC=4+2x5=10

【稳固】如图，△ABC中，DE,FG»MN,PQ,“互

相平行，

AD=DF=FM=MP=PB,那么

S4ADE；S四边形DEGF：S四边形FGNM:S四边形“、，。尸：§四边形也0{=•

【解析】设％ADE=1份，S△叱：5"=心乂尸=1:4,因此

$△"6=4份，进而有S四边形DEGF=3份，同理有

S四边形FGN,W=5份，S四边形MN。？=7份，S四边形PQC8=9份.

所以有

【例23］如图，正方形AgCD的边长为4,尸是8C边的中点，E是DC边上的点，

且。K:EC=1:3,AF与BE相交于点G,求工.

【解析】方法一：连接AE,延长AF,DC两条线交于点M,构造出两个沙漏，所

以有=3尸:万C=l:l,因此CM=4,根据题意有CE=3,再根据另一个

沙漏有G3:GE=A8:£M=4:7，所以S4,8G7s=^x（4x4+2）.

方法二：连接AE,EF,分别求S.W=4X2+2=4,

S4NEF=4x4—4x14-2-3x2-4-2—4=7，根据蝶形定理

4432

S&ABF：S&AEF=BG:GE=4:7,所以%八8。=；^^5"喀二YjX（4x4+2）=yj.

【例24】如下图，平行四边形A8CD的面积是1,E、尸是AB、4）的中点，BF

交EC于M,求A5MG的面积.

【解析】解法一:由题意可得，E、尸是A笈、4）的中点，得EF//BD,而

FD:BC=FH:HC=1:2,

EB:CD=BG:GD=l:2所以CH:CF=GH:EF=2:3,

并得G、，是瓦）的三等分点，所以8G=G〃，所以

BG:EF=BM:MF=2:3,所以8M=|研，Swm=^5仙m=gx；S八K。=:；

又因为8G=所以5凶松=:又|'5.血=；乂|><；=*.

解法二:延长CE交”于/,如右图，

可得，A/:4C=A£:£B=1:1,从而可以确定M的点的位置,

C1

BM:MF=BC;IF=2:3,BM=-BF,8G/BO（鸟头定理），

53

=S=，S，=

可彳导S2MG"XT*'ABDF7XTX-*T77

IVx

I9i25］如图，A8CD为正方形，AM=NB=DE=FC=\cmKMN=2cm,请问四边形

PQRS的面积为多少?

【解析】（法D由血有关喉，所以尸―又卷噌,所以

MQ=QC=-MC,PQ=-MC--MC=-MC,所以&QR占鼠心的L

22366

-1O

2

所以SSPQR=-xlx(l+l+2)=-(cm).

（法2）如图，连结AE,那么心班.=gx4x4=8（cn?）,

而殁=空，所以殁=丝=2,

ABEFEFEF

2

而S&MBQ=S^NS=1X3X4X1=3（cm）,因为黑=警,

所以MP=1A/C,那么S&WNP=1x2x4xU（cm，），阴影局部面积等于

3233

S

MBR-S^s-S.W80+SAWNP=^-3-3+।（cm?）.

【例26】如右图，三角形ABC中，BD:DC=4:9,C£:E4=4:3,求A尸:尸8.

［解析】根据燕尾定理得SAAOff:S△&0c=8。:CD=4:9=12:27

（都有"05的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以L”：S△呐=27:16=AF:F8

【点评】此题关键是把AAO3的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们

用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能到达解

奥数题四四拨千斤的巨大力量！

【稳固】如右图，三角形A8C中，80:DC=3:4,AE:CE=5:6,求A尸:郎.

［解析】根据燕尾定理得S^AOB:S△八".=:8=3:4=15:20

（都有AAQB的亩积要统一，所以找最小公倍数）

所以%x：S△噜=2°:18=l0:9=Ab:F8

【稳固】如右图，三角形A4C中，BD:DC=2:3,E4:CE=5:4,求4户:西

【解析】根据燕尾定理得口。8：5/=加＞。=2:3=10:15

（都有AAO3的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以工八”区8”=15:8=":尸8

【点评】此题关键是把108的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们

用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能到达解

奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例27】如右图，三角形A8C中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:29且三角形ABC的

面积是I,那么三角形A的的面积为,三角形AGE的面积为

，三角形G”/的面积为.

【分析】连接4"、BI、CG.

由于CE:AE=3:2,所以AE=,AC,故=15,“磴="|；

根据燕尾定理，S^CG:SMBG=CD:BD=2:3,SSBCG:S^BG=CE-.EA=3:2,所以

_9_

^AACG-Sg前：^SBCG=4：6：9,那么Ssec=历，=历

X；

那么^MGGEF5=-^MGCC=5-—19=—95

同样分析可得S：，那么EG:EH=SM8：S“CH=牝9

EG:EB=SMCG:S^CB=4:19,所以EG:GH:HB=4:5:10,同样分析可得

AG:G/:/D=10:5:4f

所以s.=Q皿=4|=卜^H/=ASAB/£=2x1=1.

【稳固】如右图，三角形A3C中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且二角形G”/的

面积是1，求三角形A8C的面积.

【解析】连接BG,s^A6C.=6份

根据燕尾定理■"为=3:2=6:4

S.ABC:S、*=BD:DC=3:2=9:6

得%c=4（份），S△皿=9（份），那么S△布=19（份），因此21=2，

同理连接力/、CH得建型~=工五'色,所以生也■=19-6-6-6=2_

S^ABC19S△瓯19S4AK1919

三角形67〃的面积是1,所以三角形力比的面积是19

【稳固】如图，M8C中8D=2DA,CE=2EB9AF=2FC9那么08C的面积是阴影

三角形面积的倍.

【分析】如图，连接4.

根据燕尾定理，SSBCI:SMCI=BD:AD=2:\,[BI=CF:AF=1:2,

S二S

所以，S晨0:5》:5必卸=1:2:4,那么，S由°AABC-

71+2+4

同理可知MCG和MBH的面积也都等于MBC面积的2,所以阴影三角形

7

的面积等于AA3C面积的1-2x3=1，所以A48C的面积是阴影三角形面积

77

的7倍.

【稳固】如图在A的中，为喂喑斗求盗鬻的值・

【解析】连接BG,设s„=l份，根据燕尾定理

S△八因：S△叱=A*:32:l,S△即:S△心.=加＞:。。=2:1,得S△依=2（份）,

s*=4（份），那么s△他.=7（份），因此沁=会同理连接A1、CH得

Szvsc7

S&ABH_2S&BIC_2所以S.GH/_7-2-2-2_1

。一〒。一TW--7~7

【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上

的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题

目都是用“同理得到〃的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称

法作辅助线.

【例28】如图，三角形"C的面积是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA，三角形A&?被

分成9局部，请写出这9局部的面积各是多少？

【解析】设附与月。交于点只BG与AE交于点、Q,即与AD交于点、救,BF与AE

交于点儿连接口CQ,CM,CN.

根据燕尾定理，S$、BP：SMBP=AG:GC=1:2，SAABP:S„ACP=BD:CD=\:2,设

Szu”=l（份），那么必必=1+2+2=5（份），所以打的=（

同理可得，S&8Q=:,S&ABN=:，而S.AW=g,所以S4APQ=£-2=A

121

3721

同理‘S△呼”S△皿=（,所以％边形PQWN=2

乙\DJ/\z

_139_5_11511115

»四边形-3-3570-42,◊四边形NF"-321/-'5nl边形G/WQ321642

【稳固】如图，AABC的面积为19点。、E是8c边的二等分点，点Z7、G是AC

边的三等分点，那么四边形JK/”的面积是多少？

【解析】连接CK、a、a.

根据燕尾定理，S$CK：SMBK=CD:BD=\:2,S^BK:S^CBK=AG:CG=1:2,

1

所以SgcK•S^BK：S&CBK=1:2:4那么SMCK=>MGK=彳

1+2+47

类似分析可得L4.

=

又S&Affj：SACBJ-AF:CF=2:1,S^RJ:^^ACJBD:CD=2:1,可得S1Mo=—«

那么，S'g=—

CCKJ42184

根据对称性，可知四边形的面积也为乜，那么四边形”出周围的

84

图形的面积之和为先初*2+5*+5乂踮=匚2+2+:=9_,所以四边形.小出

8415370

的面积沏糕端

【例29】右图，AABC中，G是AC的中点，D、E、产是比•边上的四等分点，AD

与BG交于M,4,与BG交于N,ZXABM的面积比四边形ICGN的面积大

7.2平方厘米，那么AABC的面积是多少平方厘米？

【解析】连接CM、CN.

根据燕尾定理，S“8M：S△⑻=AG:GC=1:1,S^ABM:S^CM=BD:CD=\:3,所以

S&ABM；

再根据燕尾定理，s△.：SWN=4G:GC=1:1,所以

ANGX

S^ABN'•S4FBN=S&CBN：S&FBN=4:3,所以AN:NF=4:3,那么''=—=~'所

Nv5]__5_

八"FCGN,x13△八改.=—■^△ABC

根据题意，有也…系澳跣=7.2,可得工械=336（平方厘米）

JZo

【例3。】如图，面积为1的三角形板中，D、E、尺G、H、/分别是被BC、

CA的三等分点，求阴影局部面积.

【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令以与切的交点为帆4F与W的交点为N,BI与力Q的交点为P,BI

与〃的交点为Q连接AM.BN、CP

⑴求Sa。”,：在AABC中，根据燕尾定理，

：

S&ABM=4,：,，=1：2S△八CM:S&CBM=:"D=1：2

设s=1（份），那么%.=2（份），S“；”=l（份），S△诙=4（份），

==

所以^AABA/==JS^ASC9所以^^ADM§$AMiM=F^AABC>^^^.ABC>

所以S四边麻口卬=（­+—）5AABC=kS^ABC，

同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的！

6

(2)求S五边形“WOE：在"BC中，根据燕尾定理

S^ABN:SMCN=BF:CF=1:2S^ACN:S&BCN—AD:BD=1:2,

所以S△心，=卜心=-x-^.«c=—

Q/iz小3372[£同理S△物

&

在中，根据八、、尾定理

S&ABP-S△八CP=BF*CF=1:2,S△八8P:S.BP=A/:C/=1:2

所以'△ABP=M%ABC所以

UJ___1_

=JJ_

S五边形/XYPQ£=S&\BP­S^ADN-S&BEP<5-21-21'△ABC、4ABC

同理另外两个五边形面积是会面积的加所以

<I1CIIC13

5浦.=1—x3----x3=—

610570

【例31]如图，面积为1的三角形胸中，D、E、F、G、H、/分别是被BC、

CA的三等分点,求中心六边形面积.

【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为MR、P、S、M、0,连接C7?

在A4BC中根据燕尾定理，SAABR：S&ACR=BG:CG.=2L

所以工”六'^ARC，问理S>ACS=SAAK,%CQB=亍8c

1

所以S△叱=1]*会>；,同理%种=—

7

11131

根据容斥原理，和上题结果S六边形=—+-----=

777010

课后练习：

练习1.ADEF的面积为7平方厘米，RE=CE,AD=2BD.CF=3AF,求△ABC的面积.

[解析】SAHDE:S2fte=(BDxBE):(BAxBC)=(1x1)：(2x3)=]：6,