8.3 实数及其简单运算（第1课时）2025年春初中数学人教版七年级下册教案

8.3实数及其简单运算

第1课时一、教学目标1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类.2.熟练掌握实数大小的比较方法.3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.二、课型新授课三、课时第1课时共2课时四、教学重难点【教学重点】 进一步加深生对无理数概念和数轴的认识．【教学难点】 对是无限不循环小数的探究过程．五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、练习本.六、教学过程（一）导入新课毕达哥拉斯有一句名言，叫作“万物皆数”，他把数的概念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了．有一天，毕达哥拉斯的一个学生找到了一种既不是整数，又不是整数之比的怪东西．这个学生叫希伯斯，他研究了一个边长为1的正方形，发现这个正方形对角线的长度是2．2既不是整数，也不是整数的比．他很惶惑：根据老师的看法，这应该是世界上根本不存在的东西呀！希伯斯把这件事告诉了老师．毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认它是一种新的数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上．他下令封锁消息，不准希伯斯再谈论，并且警告说，不要忘记了入学时立下的誓言．希伯斯很不服气．他想，不承认这是数，岂不等于是说正方形的对角线没有长度吗？为了坚持真理，捍卫真理，希伯斯将自己的发现传扬了开去．直到最近几百年，数学家们才弄清楚，它确实不是整数，也不是分数，而是一种新的数，那是什么呢？（二）探索新知1.探究实数的概念和分类教师问：请把下列有理数写成小数的形式.3，-35，478，911，1190，教师依次展示学生答案学生1答：3=3，-35学生2答：478=5.875，911学生3答：1190=0.12，59=0.教师总结如下：3=3，-35=-0.6，478=5.875，911=0.81，1190=0.12，5教师问：从上面的题目，你有什么发现？学生答：上面的数都是有限小数或无限循环小数.教师问：上面的数都是有理数，任何有理数都能写成有限小数或无限循环小数吗？学生答：任何有理数都能写成有限小数或无限循环小数.教师问：请用计算器把2和35写成小数的形式.学生答：2=1.41421356237309504880168…

35=1.709975946676696989353教师问：通过上面的操作，你有什么发现？学生答：2和35写成小数的形式，都是无限不循环小数.教师问：无限不循环的小数----------叫作无理数.你能举出一些无理数吗？学生答：7，3，-12，π，π2，2π+10.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕，－168.3232232223…〔两个3之间依次多1个2〕.教师问：这些数有什么特点？教师问：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类，根据此你能给实数分类吗？师生一起解答：（1）按定义分：（2）按性质符号分：出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正.考点1：实数的分类

将下列各数分别填入下列相应的括号内：14，7，π，-16，-38，-5，39，49,0，25,0.3232232223…（相邻的两个2之间依次多一个0）.无理数：{}有理数：{}正实数：{}负实数：{}解析：实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类．而有理数分为整数和分数．师生共同讨论解答如下：解：无理数：{7，π，-5，39，0.3232232223…（相邻的两个2之间依次多一个0），…}有理数：{14，-16，-38，49,0，25正实数：{14，7，π，39，49,25,0.3232232223…（相邻的两个2之间依次多一个负实数：{-16，-38，-方法总结：正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复．学生自主练习后口答，教师订正.2.探究实数与数轴的关系教师问：无理数能在数轴上表示出来吗？学生答：无理数能在数轴上表示出来.教师问：以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点从原点O到达点O′，点O′对应的数是多少？学生答：OO′的长就是这个圆的周长π，所以点O′对应的数是π.数轴上的点O′就表示无理数π.教师问：你能在数轴上表示出2吗？学生答：在数轴上表示出2如下图所示.教师问：如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴能填满吗？学生答：数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.所以将所有有理数都标到数轴上，数轴不能填满.教师问：如果将所有实数都标到数轴上，那么数轴能填满吗？学生答：将所有实数都标到数轴上，那么数轴能填满.教师问：数轴上的数如何比较大小呢？学生问：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.教师问：数轴上每一点表示什么呢？学生答：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.教师问：数轴上的点与实数是什么关系？学生答：实数和数轴上的点是一一对应的.考点2：求数轴上的点表示的实数值如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和3，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．（出示课件18）分析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．学生独立思考后，师生共同解答.解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为-1和3，∴点B到点A的距离为1＋3，则点C到点A的距离为1+3，设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为-1-x，∴-1-x＝1＋3，∴x＝-2-3.总结点拨：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值．学生自主练习后口答，教师订正.3.探究实数大小的比较教师问：与有理数一样，实数也可以比较大小：在数轴上有理数如何比较大小呢？学生答：数轴上右边的点表示的有理数比左边的点表示的有理数大.教师问：观察下面的数轴，在数轴上如何比较实数的大小呢？学生答：数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.教师问：如何比较实数的大小呢？学生答：与有理数一样，在实数范围内：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.教师问：不用计算器，5与2比较哪个大？与3比较呢？师生一起解答：如图所示，5，2可以分别看作是面积为5，4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此5＞2.同样，因为5<9，所以5＜3.考点3：比较实数的大小在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，并用“<”连接它们.12-25-3学生独立思考后，师生共同解答.解：-2<-3<1<2<5.学生自主练习，教师给出答案.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.（三）课堂练习略.（四）课堂小结无理数的概念无限不循环小数实数的概念有理数和无理数统称为实数实数的分类按定义分；按性质符号分实数与数轴的关系与数轴上的点一一对应实数的大小比较（五）课前预习预习下节