2024-2025学年下学期高一数学人教A版同步经典题精练之事件的相互独立性

第20页（共20页）2024-2025学年下学期高中数学人教A版（2019）高一同步经典题精练之事件的相互独立性一．选择题（共5小题）1．（2024秋•辽宁期末）太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验．已知甲，乙，丙各自出舱实验成功的概率分别为710A．720 B．710 C．3740 2．（2024秋•洛阳期末）甲、乙两名同学参加了班级组织的数学知识有奖竞答活动，二人从各自的10道题中（这20道题均不相同）各自独立地随机抽取2道题现场回答，已知在每人的10道题中，均有5道是代数题，5道是几何题，则甲、乙两名同学抽取的4道题目中有且仅有2道代数题的概率为（）A．2581 B．12 C．1127 3．（2025•武汉模拟）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图（1），某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图（2）所示的六棱锥P﹣ABCDEF．该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶P﹣ABCDEF的六个顶点A，B，C，D，E，F，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与C处挂同一种形状的风铃的概率为（）A．961 B．1261 C．2161 4．（2024秋•自贡校级期末）某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为2A．712 B．12 C．512 5．（2024秋•日照期末）已知事件A，B相互独立，且P（A）=13，P（B）=2A．13 B．23 C．19 二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•淄博期末）已知随机事件A，B，C，则下列说法正确的是（）A．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B） B．P（A）+P（B）＝1是事件A与事件B互为对立事件的充要条件 C．若事件A与事件B互斥，P(A)=D．若事件A与事件B相互独立，P(A（多选）7．（2024秋•顺德区期末）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A＝“第一次正面朝上”，事件B＝“第二次反面朝上”，则（）A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．A与B相等 D．P（A）＝P（B）（多选）8．（2024秋•涪城区校级期末）下列说法正确的是（）A．从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3则p1＝p2＝p3 B．若P(AB)=19，PC．一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D．若P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且事件A与事件B相互独立，则P（A∪B）＝0.58（多选）9．（2024秋•昆明期末）昆明市盘龙区有众多旅游资源，包括2个国家4A级旅游区（世博园、金殿风景名胜区），1个国家森林公园（金殿森林公园），甲、乙两人分别从世博园、金殿风景名胜区、金殿森林公园这3个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择景点相互独立，则下列说法正确的是（）A．甲去世博园的概率为13B．甲、乙两人都去世博园的概率为13C．甲、乙两人中恰有一人去世博园的概率为49D．甲、乙两人中至少有一人去世博园的概率为4三．填空题（共3小题）10．（2024秋•威海期末）已知甲、乙两人投篮命中率分别为13，12，并且他们投篮互不影响．现每人投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为11．（2024秋•辽宁期末）已知P（B|A）＝0.8，P（B）＝0.6，则A与B．（填“独立”或“不独立”）12．（2024秋•杭州校级期末）甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，若甲、乙两人射击的命中率分别为35和34，假设两人射击互不影响．则两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为四．解答题（共3小题）13．（2024秋•汉中期末）甲乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是13，乙解出此问题的概率14，记“甲能解出此问题”为事件A，“乙能解出此问题”为事件B，“两人都能解出此问题”为事件C，“两人都不能解出此问题”为事件D，“恰有一人能解出此问题”为事件E，“至多有一人能解出此问题”为事件F，“至少有一人能解出此问题”为事件（1）请用事件A，B表示事件C，D，E，F，G并填在下表中；CDEFG（2）分别求出事件E，F，G的概率；（3）俗语“兄弟同心，其利断金”出自《周易》，常用来比喻只要兄弟一条心，就能发挥很大的力量，泛指团结合作．请你结合本题从概率的角度谈谈对这句话的认识．14．（2024秋•辽宁期末）《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益．根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行了一次未成年人保护法知识竞赛．竞规则如下：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响．若答对题数合计不小于3，则称这个小组为“优秀小组”．已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙答对每道题的概率均分别为P1，P2．（1）若P1=34，（2）若P1+15．（2024秋•信宜市期末）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙至少有一人猜对的概率．

2024-2025学年下学期高中数学人教A版（2019）高一同步经典题精练之事件的相互独立性参考答案与试题解析题号12345答案DCCCC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•辽宁期末）太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验．已知甲，乙，丙各自出舱实验成功的概率分别为710A．720 B．710 C．3740 【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率．【解答】解：根据题意，因为甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为710、34、并且每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验成功，即三人至少有一人出舱实验成功，其概率P=1故选：D．【点评】本题考查相互独立事件的概率，涉及对立事件的性质，属于基础题．2．（2024秋•洛阳期末）甲、乙两名同学参加了班级组织的数学知识有奖竞答活动，二人从各自的10道题中（这20道题均不相同）各自独立地随机抽取2道题现场回答，已知在每人的10道题中，均有5道是代数题，5道是几何题，则甲、乙两名同学抽取的4道题目中有且仅有2道代数题的概率为（）A．2581 B．12 C．1127 【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】分类讨论；综合法；概率与统计；逻辑思维．【答案】C【分析】本题结合古典概型的概率计算以及相互独立事件概率乘法公式可求解．【解答】解：甲乙两人各从10道题中独立随机抽取2道题，不同抽法有C102C10有且仅有2道代数题的抽法有C51C51•C5所以甲、乙两名同学抽取的4道题目中有且仅有2道代数题的概率为25×3345×45故选：C．【点评】本题主要考查古典概型的概率计算以及相互独立事件概率乘法公式．3．（2025•武汉模拟）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图（1），某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图（2）所示的六棱锥P﹣ABCDEF．该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶P﹣ABCDEF的六个顶点A，B，C，D，E，F，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与C处挂同一种形状的风铃的概率为（）A．961 B．1261 C．2161 【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】分类讨论；分析法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】记事件M：相邻的两个顶点挂不同形状的风铃，事件N：A与C处挂同一种形状的风铃．分三类讨论求出事件M的挂法总数，分两类讨论求出对于事件N的挂法总数，结合条件概率的计算公式计算即可求解．【解答】解：记事件M：相邻的两个顶点挂不同形状的风铃，事件N：A与C处挂同一种形状的风铃．当顶点A与C挂同一种形状的风铃，且相邻两顶点挂不同形状的风铃时，分以下两类：（1）A，C，E挂同一种形状的风铃，由前面解析可知，此时不同的挂法有108种；（2）当A，C挂同一种形状的风铃，E挂其他形状的风铃时，有A42此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有A4综上，总计有108+144＝252种挂法，即n（MN）＝252，对于事件M，包含的情况可分以下三类：（1）当A，C，E挂同一种形状的风铃时，有4种挂法，此时B，D，F各有3种挂法，故不同的挂法共有4×3×3×3＝108种；（2）当A，C，E挂两种不同形状的风铃时，有C32此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有C3（3）当A，C，E挂三种不同形状的风铃时，有A43此时B，D，F各有2种挂法，故不同的挂法共有A4综上，总计有108+432+192＝732种挂法，即n（M）＝732．故P(故选：C．【点评】本题主要考查古典概型以及分类讨论思想的运用，属于中档题．4．（2024秋•自贡校级期末）某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为2A．712 B．12 C．512 【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率．【解答】解：根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：14故选：C．【点评】本题主要考查独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式，是基础题．5．（2024秋•日照期末）已知事件A，B相互独立，且P（A）=13，P（B）=2A．13 B．23 C．19 【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据已知事件A，B相互独立，可得事件A，B也相互独立，再利用相互独立事件的概率乘法公式可解．【解答】解：已知事件A，B相互独立，则事件A，B也相互独立，又P（A）=13，P（B）=23，则P（B则P(AB)=P（A）P（故选：C．【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•淄博期末）已知随机事件A，B，C，则下列说法正确的是（）A．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B） B．P（A）+P（B）＝1是事件A与事件B互为对立事件的充要条件 C．若事件A与事件B互斥，P(A)=D．若事件A与事件B相互独立，P(A【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；对立事件的概率关系及计算．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】ACD【分析】根据相互独立事件的定义判断A，举反例判断B，根据互斥事件的定义可得A⊆B，再由对立事件的概率公式判断C，根据和事件的概率公式判断【解答】解：对于A：若事件A与事件B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），故A正确；对于B：由P（A）+P（B）＝1推不出事件A与事件B互为对立事件，则充分性不成立；如抛掷一枚骰子，记A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则P(所以P（A）+P（B）＝1，显然事件A与事件B不对立，而事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）＝1，则必要性成立，故B错误；对于C：若事件A与事件B互斥，P(则P(B)=1-所以P(A+对于D：若事件A与事件B相互独立，P则P(A+故选：ACD．【点评】本题考查对立事件，互斥事件的性质，属于基础题．（多选）7．（2024秋•顺德区期末）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A＝“第一次正面朝上”，事件B＝“第二次反面朝上”，则（）A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．A与B相等 D．P（A）＝P（B）【考点】相互独立事件的概率乘法公式；事件的互斥（互不相容）及互斥事件．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BD【分析】根据题意，由古典概型公式求出P（A）、P（B）和P（AB），分析可得A与B相互独立，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则Ω＝{正正，正反，反正，反反}，A＝{正正，正反}，B＝{正反，反反}，AB＝{正反}，则P（A）＝P（B）=12，P（AB）则有P（A）P（B）＝P（AB），A与B相互独立，分析选项：BD正确．故选：BD．【点评】本题考查相互独立事件的判断，涉及互斥事件的定义，属于基础题．（多选）8．（2024秋•涪城区校级期末）下列说法正确的是（）A．从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3则p1＝p2＝p3 B．若P(AB)=19，PC．一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D．若P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且事件A与事件B相互独立，则P（A∪B）＝0.58【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ABD【分析】根据抽样方法的相关概念、独立事件的概率公式、事件之间的关系以及概率的乘法运算，逐一检验，可得答案．【解答】解：对于选项A，由简单随机抽样的性质，可知p1＝p2＝p3，故选项A正确；对于选项B，P(故选项B正确；对于选项C，设事件A＝{两次均为中}＝{中枪次数为0}、事件B＝{至多中一次}＝{中枪的次数为0，1}，由A∩B＝A，则事件B包含事件A，故选项C错误；对于选项D，由A∪B=因为事件A与事件B相互独立，所以P(A∪B)=P(A)P(B)+P(A)P(B故选：ABD．【点评】本题主要考查了简单随机抽样的定义，考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．（多选）9．（2024秋•昆明期末）昆明市盘龙区有众多旅游资源，包括2个国家4A级旅游区（世博园、金殿风景名胜区），1个国家森林公园（金殿森林公园），甲、乙两人分别从世博园、金殿风景名胜区、金殿森林公园这3个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择景点相互独立，则下列说法正确的是（）A．甲去世博园的概率为13B．甲、乙两人都去世博园的概率为13C．甲、乙两人中恰有一人去世博园的概率为49D．甲、乙两人中至少有一人去世博园的概率为4【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】AC【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解．【解答】解：对于A，甲去世博园的概率为P=13，故对于B，甲、乙两人都去世博园的概率为P=13×对于C，甲、乙两人中恰有一人去世博园的概率为P=13×对于D，甲、乙两人中至少有一人去世博园的概率为P＝1-23×故选：AC．【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．填空题（共3小题）10．（2024秋•威海期末）已知甲、乙两人投篮命中率分别为13，12，并且他们投篮互不影响．现每人投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为7【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】736【分析】甲比乙进球数多包含以下三种情况：①甲进1球，乙进0球，②甲进2球，乙进1球，③甲进2球，乙进0球，由此能求出甲比乙进球数多的概率．【解答】解：已知甲、乙两人投篮命中率分别为13，1甲比乙进球数多包含以下三种情况：①甲进1球，乙进0球，概率为：p1=C②甲进2球，乙进1球，概率为：p2=1③甲进2球，乙进0球，概率为：p3=1则甲比乙进球数多的概率为19故答案为：736【点评】本题考查相互独立事件的概率相关知识，属于基础题．11．（2024秋•辽宁期末）已知P（B|A）＝0.8，P（B）＝0.6，则A与B不独立．（填“独立”或“不独立”）【考点】由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】不独立．【分析】根据题意，用反证法分析，假设A与B独立，分析可得P（B|A）＝P（B），结合题干数据可得结论．【解答】解：根据题意，假设A与B独立，则有P（AB）＝P（A）P（B），则有P(而P（B|A）＝0.8，P（B）＝0.6，两者不等，故假设不成立，即事件A与B不独立．故答案为：不独立．【点评】本题考查相互独立事件的判断，涉及条件概率的计算，属于基础题．12．（2024秋•杭州校级期末）甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，若甲、乙两人射击的命中率分别为35和34，假设两人射击互不影响．则两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为9【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】910【分析】先分别求出两人射击一次不能命中目标的概率，可得各射击一次两人都没有命中目标的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可．【解答】解：因为甲、乙两人射击的命中率分别为35和3所以两人各射击一次，都没有命中目标的概率（1-35）所以两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为1-1故答案为：910【点评】本题主要考查了独立事件和对立事件的概率公式，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•汉中期末）甲乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是13，乙解出此问题的概率14，记“甲能解出此问题”为事件A，“乙能解出此问题”为事件B，“两人都能解出此问题”为事件C，“两人都不能解出此问题”为事件D，“恰有一人能解出此问题”为事件E，“至多有一人能解出此问题”为事件F，“至少有一人能解出此问题”为事件（1）请用事件A，B表示事件C，D，E，F，G并填在下表中；CDEFG（2）分别求出事件E，F，G的概率；（3）俗语“兄弟同心，其利断金”出自《周易》，常用来比喻只要兄弟一条心，就能发挥很大的力量，泛指团结合作．请你结合本题从概率的角度谈谈对这句话的认识．【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】集合思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）C＝A∩B，D=A∩B，E=A（2）P（E）=512，P（F）=1112，P（（3）至少有一人能解出此问题的概率P（G）=12，大于甲解出此问题的概率13【分析】根据和事件、积事件的定义进行求解．【解答】解：（1）C＝A∩B，D=A∩B，E=A（2）P（E）=512，P（F）=1112，P（（3）至少有一人能解出此问题的概率P（G）=12，大于甲解出此问题的概率是13【点评】本题主要考查和事件、积事件的定义以及概率的计算，属于基础题．14．（2024秋•辽宁期末）《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益．根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行了一次未成年人保护法知识竞赛．竞规则如下：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响．若答对题数合计不小于3，则称这个小组为“优秀小组”．已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙答对每道题的概率均分别为P1，P2．（1）若P1=34，（2）若P1【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）3364（2）最大值为34，最小值为189【分析】（1）根据题意，将获“优秀小组”的事件分拆成三个互斥事件的和，分别求出各个事件的概率即可计算作答；（2）将获得“优秀小组”的概率P表示为P1P2的函数，令t=【解答】解：（1）记事件A：“在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组””，事件B：“甲答对两题，乙答对一题”，事件C：“甲答对一题，乙答对两题”，事件D：“甲、乙都答对两题”，因为事件B、C、D彼此互斥，所以P(B)=(3又因为事件B、C、D彼此互斥，所以P(（2）由题知甲、乙小组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率为P，P=P12×2P2(1-P2)+2P1(1-P1)P＝P1P2（3﹣3P1P2），因为P1+P又0≤P1≤1，0≤P2≤1，则0≤32而P1令t=则P=因为函数P=-3当t=12时，P取最大值为34，此时，P1=12，P2＝1当t=916时，P取最小值189所以该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最大值为34，最小值为189【点评】本题主要考查了独立事件和互斥事件的概率公式，考查了二次函数的性质，属于中档题．15．（2024秋•信宜市期末）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙至少有一人猜对的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）1325（2）1925【分析】（1）由题意，20个灯谜中甲能猜对12个，乙能猜对8个，根据古典概型的知识可以分别求出“任选一道灯谜，甲猜对”和“任选一道灯谜，乙猜对”的概率，再根据互斥事件的并事件的概率公式求解；（2）“甲乙至少有一人猜对”的对立事件为“两人都没有猜对”，根据对立事件和相互独立事件的交事件的概率公式即可求解．【解答】解：（1）设事件A表示“任选一道灯谜，甲猜对”，事件B表示“任选一道灯谜，乙猜对”，由古典概型公式得P（A）=1220=35，P（B）=“恰有1人猜对”=AB∪AB，且AB与AB互斥，因为两名同学独立竞猜，所以事件A和B相互独立，从而A与B，A于是P(（2）事件“两人都没有猜对”表示为AB，记C所以P(显然事件C与事件AB为对立事件，所以P所以甲、乙至少有一人猜对的概率为1925【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．

考点卡片1．互斥事件与对立事件【知识点的认识】1．互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做A．注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；②在一次试验中，事件A与A只发生其中之一，并且必然发生其中之一．（2）对立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．【命题方向】1．考查对知识点概念的掌握例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．例2：下列说法正确的是（）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．解答：根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，故选B．点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．2．互斥事件概率公式的应用例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则P(A)=则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案为：5点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件