9.2.4总体离散程度的估计课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2.4

总体离散程度的估计

样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息。平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大。平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态．特别的，当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.问题引入

有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：７８７９５４９１０７４乙：９５７８７６８６７７

那么两个人的水平就没有什么差异吗?

如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？问题引入

思考：甲、乙两人射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别.观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？

甲成绩比较分散,乙成绩相对集中.即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.思考：如何度量成绩的这种差异呢？一、极差：甲命中环数的极差=10-4=6，乙命中环数的极差=9-5=4.

甲的成绩波动范围比乙的大，极差在一定程度上刻画了样本数据的离散程度.思考：为什么说“一定程度”呢？

因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.

如果射击成绩稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；否则，会比较远.因此，可以用这个量度量成绩的波动幅度.

假设一组数据是用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即作为到的“距离”.它们都可以刻画离散程度.

方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.标准差的单位与原始数据一致.在解决实际问题中，一般多采用标准差.

总体中所有个体的变量值分别为总体平均数为.则称为总体方差，为总体标准差.

一个样本中个体的变量值分别为样本平均数为.则称为样本方差，为样本标准差.

标准差（方差）刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小.所以，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.

实际问题中，我们通常用样本标准差估计总体标准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性.

请同学们计算两名运动员成绩的标准差.由可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小.由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定.所以应选乙.

如果总体的N个变量值中，不同的值有k（k≤N)个,不妨记为

其中

则总体方差还可以写成加权的形式

思考：那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有何特点？标准差为0的所有样本数据都相等.说明:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.它用来描述样本数据的分散程度.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性.题型一标准差、方差的计算与应用【例1】从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：(1)哪种玉米苗长得高？(2)哪种玉米苗长得齐？【训练1】某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：组别平均数标准差第一组904第二组806求全班这次考试成绩的平均数和标准差.

例6在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？

解：把男生样本记为其平均数记为，方差记为；把女生样本记为其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为

根据方差的定义，总样本方差为可得同理可得因此所以

所以总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.

样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据值的信息.

例如：根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数样本标准差

可以发现，这100个数据中大部分落在区间内，在区间外的只有7个.也就是说，绝大部分数据落在内.

题型二分层随机抽样的方差【例2】甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队队员体重的平均数为60kg，方差为200，乙队队员体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？探究：关于统计的有关性质及规律题型三方差、标准差与统计图表的综合应用【例3】甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.【训练3】为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家