2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（下）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（下）月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知{an}是等比数列，a3=2，aA.5 B.12 C.20 D.502.已知数列{an}的前n项和Sn=2nA.公差为2的等差数列 B.公差为4的等差数列

C.公比为2的等比数列 D.公比为4的等比数列3.过点P(2,1)作圆C：x2+y2=1的切线l，则切线A.4x−3y−5=0 B.4x−3y−9=0

C.y=1或4x−3y−5=0 D.y=1或4x−3y−9=04.若椭圆x26+y22=1的右焦点与抛物线A.2 B.−2 C.4 D.−45.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15A.94 B.3 C.9 D.6.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，满足∠F1MF2=π2A.(0,1) B.(0,12] C.(0,7.已知{an}是等比数列，则“0>a1>A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知数列{an}满足a1=12，aA.12026 B.12025 C.202420259.在数列{an}中，a1=1，an+1=kan2+1(n∈NA.15 B.14 C.1310.古典吉他的示意图如图所示.A0，B分别是上弦枕、下弦枕，Ai(i=1,2,…,19)是第i品丝.记ai为Ai与Ai−1的距离，Li为Ai与A0的距离，且满足ai=xL−Li−1M，i=1，2，…，19A.数列a1，a2，…，a19是等差数列，且公差为−XLM2

B.数列a1，a2，…，a19是等比数列，且公比为M−1M

C.数列L1，L2，…，L19二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。11.双曲线x24−12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=913.已知f(n)=21+24+14.若不等式(−1)na<2+(−1)n+1n15.已知各项均不为零的数列{an}，其前n项和是Sn，a1=a，且Sn=anan+1(n=1,2,⋯).给出下列四个结论：

①a2=1；

②{an}为递增数列；

③若三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

已知等差数列{an}满足a5=9，a3+a9=22．

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(Ⅱ)等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1=a1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求满足Sn<202017.(本小题10分)

已知{an}是公比大于1的等比数列，a1=1，且a3，3a2，a4成等差数列．

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(Ⅱ)若{bn18.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，F是C的右焦点，D是C的下顶点，且|DF|=2.过点D作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于A，B两点(不与点D重合)，过点D作直线AB的垂线，垂足为M．

(Ⅰ)求椭圆C的方程和离心率；

(Ⅱ)19.(本小题10分)

已知数列{an}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N∗，使得a2n−1+a2n=kan对任意的n∈N∗成立，则称数列{an}具有性质Ψ(k)．

(Ⅰ)分别判断下列数列{an}是否具有性质Ψ(2)；(直接写出结论)

①an=1；②an=2n．

(Ⅱ)若数列{参考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.C

6.C

7.A

8.A

9.B

10.B

11.52

12.25

13.2(814.−2≤a<315.①③

16.解：(I)设等差数列{an}的公差为d，

∵a5=9，a3+a9=22，

∴a1+4d=9，2a1+10d=22，

解得：a1=1，d=2，

∴an=1+2(n−1)=2n−1．

(Ⅱ)(i)选择①②：由①可知：an=2n−1，

所以a1=1，a2=3，

所以b1=1

因为b3=a1+a2，

所以b3=4，

因为S3=7，b1=1，b3=4，

所以b2=2，

因为数列{bn}为等比数列，

所以公比q=2，

所以Sn=1−2n−1=2n−1，

所以2n−1<2020，

解得n≤10．

(ii)选择①③：由①可知：an=2n−1，

所以a1=1，a2=3，

所以b1=1

因为b3=a1+a2，

所以b3=4，

因为数列{bn}为等比数列，

所以q2=4，

因为bn+1>b17.18.解：(Ⅰ)由题意得：2b=2a=2c2=a2−b2，

解得b=1a=2c=1，

所以椭圆C的方程为x22+y2=1，

离心率为e=ca=22；

(Ⅱ)由题意可知，直线AD的斜率k存在且不为零，

又因为AD⊥BD，所以kBD=−1k．

因为D(0,−1)，

所以直线AD的方程为y=kx−1，直线BD的方程为y=−1kx−1，

由y=kx−1,x2+2y2=2

可得(2k2+1)x2−4kx=0，

设A(x1,y1)，则x1=4k2k2+1，y1=2k2−12k2+1，

所以A(4k219.解：(Ⅰ)①数列{an}具有“性质Ψ(2)”；

②数列{an}不具有“性质Ψ(2)”．

(Ⅱ)证明：先证“充分性”：

当数列{an}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2an，

又因为an+1≥an，

所以0≤a2n−an=an−a2n−1≤0，

进而有an=a2n

结合an+1≥an有an=an+1=…=a2n，

即“数列{an}为常数列”；

再证“必要性