2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高一（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2−3x>0}，则A∩B=A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{x|3<x≤6} D.{x|3≤x<6}2.如图，在平行四边形ABCD中，AC−AB=(

)A.CB

B.AD

C.BD

D.CD3.与−224°角终边相同的角是(

)A.24° B.113° C.124° D.136°4.已知函数f(x)=6x−log2A.(0,1) B.(1,2) C.5.设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|=A.|a|=|b|且a//b B.a6.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA−3OB+2OC=A.2 B.23 C.12 7.设a=log0.20.3，b=logA.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b8.如图，在矩形ABCD中，|AD|=43，设AB=a，BC=A.8 B.82 C.89.已知函数f(x)=11+e−x，给出下列四个结论：

①f(x)在定义域上单调递增；②f(x)存在最大值；③不等式f(x)≤13的解集是(−∞,−ln2)；④f(x)的图象关于点(0,A.① B.①③ C.①④ D.①③④10.已知函数f(x)=ex+m −1,x≥0ax+b,x<0其中m<−1，对于任意x1∈R且x1≠0，均存在唯一实数x2，使得f(x2)=f(A.(0,1) B.(−1,0)

C.(−2,−1)∪(−1,0) D.(−2,−1)二、填空题：本题共6小题，共28分。11.与向量a=(−1,1)方向相同的单位向量b=______．12.已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______．13.函数f(x)=1lgx+14.已知点A(3,−4)、B(−1,2)，点P在直线AB上，且|PA|=2|PB|，则点15.对于函数f(x)，若集合{x|x>0,f(x)=f(−x)}中恰有k个元素，则称函数f(x)是“k阶准偶函数”.已知函数f(x)=(12)x,x≤a,2x,x>a.

(1)若a=0，则函数f(x)是“______阶准偶函数”；

(2)若函数f(x)16.定义在[t,+∞)上的函数f(x)，g(x)单调递增，f(t)=g(t)=M，若对任意k>M存在x1<x2，使得f(x1)=g(x2)=k成立，则称g(x)是f(x)在[t,+∞)上的“追逐函数”已知f(x)=x2，下列四个函数：①g(x)=x；三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

已知a=(1,0)，b=(2,1)，

(1)当k为何值时，ka−b与a+2b共线．

(2)若AB=2a+3b，18.(本小题12分)

某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)若产品的质量指数在[8,10]内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．19.(本小题12分)

如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足3CD=DB，G是线段AB上的点，且满足3AG=2GB，线段CG与线段AD交于点O．

(Ⅰ)若AD=xAB+yAC，求实数x，y的值；

(Ⅱ)若AO=tAD，求实数t的值；

(Ⅲ)如图2，过点O的直线与边AB，AC20.(本小题12分)

若函数f(x)满足：对任意正数s，t，都有f(s)+f(t)<f(s+t)，则称函数f(x)为“H函数”．

(1)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=ln(x+1)是否为“H函数”，并说明理由；

(2)若函数y=3x+x−3a是“H函数”，求实数a的取值范围；

(3)若函数f(x)为“H函数”，f(1)=1，对任意正数s、t，都有参考答案1.B

2.B

3.D

4.C

5.D

6.B

7.B

8.C

9.C

10.D

11.(−12.4

13.{x|0<x≤2且x≠1}

14.(115.2

[−2,−1)∪[1，2)

16.2

17.解：(1)ka−b=k(1,0)−(2,1)=(k−2,−1)．

a+2b =(1,0)+2(2,1)=(5,2)．

∵ka−b与a+2b共线

∴2(k−2)−(−1)×5=0，

即2k−4+5=0，

得k=−12．

(2)∵A、B、C三点共线，

∴AB//BC．

∴存在实数λ18.解：(1)甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：

x−甲=3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2=6.4．

(2)由题意可知，甲生产线的样品中优等品有100×0.1×2=20件，

乙生产线的样品中优等品有100×0.05×2=10件，

从甲生产线的样品中抽取的优等品有6×2020+10=4件，记为a，b，c，d；

从乙生产线的样品中抽取的优等品有6×1020+10=2件，记为E，F；

从这6件产品中随机抽取2件的情况有：

(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,E)，(a,F)，

(b,c)，(b,d)，(b,E)，(b,F)，

(c,d)，(c,E)，(c,F)，

(d,E)，(d,F)，

(E,F)，共15种；

其中符合条件的情况有：

(a,E)，(a,F)，(b,E)，(b,F)，

(c,E)，(c,F)，(d,E)，19.解：(Ⅰ)因为3CD=DB，所以CD=14CB，

所以AD=AC+CD=AC+14CB=AC+14(AB−AC)=14AB+34AC，

所以x=14,y=34；

(Ⅱ)由题意可知：GC=AC−AG=AC−25AB=−25AB+AC，

GO=tAD−AG=tAD−25AB=t(14AB+34AC)−25AB20.解：(1)对于任意s，t∈(0,+∞)，f1(s)+f1(t)=s2+t2，f1(s+t)=(s+t)2，

所以f1(s+t)−[f1(s)+f1(t)]=(s+t)2−(s2+t2)=2st>0，

即f1(s)+f1(t)<f1(s+t)成立，

故f1(x)=x2是“H函数”；

对于f2(x)=ln(x+1)，

取s=t=1，则f2(s)+f2(t)=2ln2，f2(