华大新高考联盟2025届高三下学期3月教学质量测评数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页华大新高考联盟2025届高三下学期3月教学质量测评数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−3,−2,0,2}，B={x|−1<x<4}，则A∩B的子集个数为(

)A.2 B.4 C.8 D.162.(1−5i)(4+3i)在复平面内所对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布N(100,16).现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在(96,112)和(92,108)的概率为(运算结果保留小数点后两位)(

)

参考数据：若X服从正态分布(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9973A.0.57 B.0.75 C.0.80 D.0.844.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中acosB+bcosA=3ctanC，若c=A.16π B.25π C.36π D.49π5.如图，已知在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，AB=3，△BCD的面积为3，点A在平面BCD上的投影为点B，点M，N分别为AC，CD的中点，则(

)

A.MN与BD相交 B.MN与AD异面 C.BM⊥AN D.DM⊥BN6.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，159=2×82+3×8+7，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的719A.3 B.4 C.5 D.77.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为4，侧棱长为2，点M在平面B1BCC1上(A.3−2 B.23−8.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1A.y=±x B.y=±2x C.y=±二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A(π6,0)，B(2πA.f(x)的最小正周期为π B.f(0)≠f(11π6)

C.f(x)在[π,3π2]上单调递减 D.10.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)A.y=|f(x)|的图象关于直线x=2对称 B.g(0)=0

C.ab<0 D.f(0)+f(4)=611.19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，用标准差表达并论证了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件|X−μ|<ε做出估计.切比雪夫不等式定义为：若随机变量X具有数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，则对任意正数ε，不等式P(|X−μ|<ε)≥1−σ2作物类别数量作物平均高度/cm作物高度的方差雄性作物5030256雌性作物5020361由本次的试种可知，该新型作物的高度受到环境、肥料等一系列因素的影响，每株作物成长到达标高度的概率为0.6，则下列说法正确的是(

)A.本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为25

B.本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为313.5

C.为了保证下一次种植实验中至少有90%的作物的高度达到预定达标高度的频率大于0.3且小于0.9，则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植27株

D.经过几次实验之后，作物最终成长的高度到达24cm及以上的频率为0.8，若种植20000株此类作物，则作物存活16000株的概率最大三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知O为坐标原点，抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M(2,y0)在抛物线C13.已知在梯形ABCD中，BC=2AD，若M为CD边上靠近C的三等分点，且BM=xAB+yAD14.已知m=99⋯912个9，n=66⋯68个6，则m，n的最大公约数为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)为了了解某地25∼40岁居民的工资情况，研究人员随机抽取了部分居民进行调查，所得数据统计如下表所示：工资超过3500工资不超过3500合计男性居民200180女性居民280240合计(1)完善上述表格并依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为工资的多少与居民的性别具有相关性?(2)以频率估计概率，若在该地所有居民中随机抽取3人，求至少2人工资超过3500的概率．附：χ2P(0.050.010.001k3.8416.63510.82816.(本小题15分)已知数列{an}的首项为2，前n项和为S(1)求数列{an(2)求满足an>3n+52(3)已知bn=16an+6n−20，记数列{b17.(本小题15分)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间D上的凹函数;若f′(x)在区间D上单调递减，则称f(x)为区间D上的凸函数.已知函数f(x)=x(1)若f(x)在[2,3]上为凹函数，求实数λ的取值范围;(2)已知F(x)=f(x−1)，且F(x)在(1,+∞)上存在零点，求实数λ的取值范围．18.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(−1,32)，(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l的斜率为12，求|MN|的值(3)已知M′(4,y1)，直线M′N交x轴于点P，若四边形MAPM′为等腰梯形，求直线19.(本小题17分)已知四棱锥S−ABCD的底面ABCD为平行四边形，SA=AB=SB，SB⊥AC，∠ABC=60∘，BC=2，(1)求三棱锥S−ABC外接球的表面积．(2)设T为线段SD上的点．(ⅰ)若ST=13SD，求直线AC(ⅱ)平面α过点B，T，且AC//平面α，探究：是否存在点T，使得平面SAD与平面α之间所成角的正切值为34，若存在，求出STSD的值;若不存在，请说明理由．参考答案1.B

2.D

3.C

4.B

5.C

6.D

7.D

8.B

9.AD

10.BCD

11.ACD

12.2513.4314.3333

15.解：(1)完善表格如下表所示：

零假设：依据小概率值α=0.05的独立性检验，不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性，

则χ2=900×(200×240−180×280)2380×520×480×420≈0.13<3.841，

故依据小概率值α=0.05的独立性检验，假设成立，

即不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性．

(2)记至少2人工资超过350016.解：(1)∵Sn+1+2=an+3n+Sn，

∴an+1−an=3n−2，

则当n≥2时，a2−a1=1，a3−a2=4，⋯⋯,an−an−1=3n−5，

累加可得，an−a1=(1+3n−5)(n−1)2=3n2−7n+42，

故an=3n2−7n+82，

当n=1时，a1=2满足上式，

所以a17.解：(1)f′(x)=1−xex+λx+1=m(x)，

则m′(x)=x−2ex−λ(x+1)2，依题意知，m′(x)≥0对任意的x∈[2,3]恒成立，

则(x+1)2(x−2)ex≥λ恒成立，

令n(x)=(x+1)2(x−2)ex=x3−3x−2ex，x∈[2,3]，

则n′(x)=1ex(−x3+3x2+3x−1)=x+1ex(−x2+4x−1)>0，

故n(x)在[2,3]上单调递增，故n(2)=0≥λ，则实数λ的取值范围为(−∞,0]．

(2)依题意得，F(x)=f(x−1)=x−1ex−1+λlnx.

若λ≥0，当x>1时，x−1ex−1>0，lnx>0，

所以F(x)>0，F(x)在(1,+∞)上无零点，舍去．

若λ<0，则F′(x)=λex−1−x2+2xxex−1，令g(x)=λex−1−x2+2x，

则g′(x)=λex−1−2(x−1)<0，则g(x)在(1,+∞)上单调递减，且g(1)=λ+118.解：(1)依题意得，1a2+34b2=1,14a2+1516b2=1,解得a2=4，b2=1，

故椭圆C的方程为x24+y2=1．

(2)依题意得，直线l的方程为y=12(x−1)，联立x24+y2=1,y=12(x−1),

整理得，2x2−2x−3=0，故x1+x2=1，x1x2=−32，

故|MN|=1+k2|x1−x2|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2=1+14⋅1+6=35219.解：(1)因为∠ABC=60∘，BC=2，AB=1，

故AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos∠ABC=3，

故△ABC为直角三角形，即AB⊥AC．

而SB⊥AC，SB∩AB=B，SB，AB⊂平面SAB，则AC⊥平面SAB．

又因为AC⊂平面ABCD，所以平面SAB⊥平面ABCD．

过△SAB的外接圆圆心O1作直线l1垂直于平面SAB，

过线段BC的中点O2作直线l2垂直于平面ABCD，其中l1∩l2=O3，

则O3即为三棱锥S−ABC的外接球球心，

则O2O3=36，故BO3=BO22+O2O32=1312，

故三棱锥S−ABC外接球的表面积S=4πR2=4π×BO32=4π×1312=13π3

(2)(i)以AB的中点O为原点，OB为x轴，平行AC方向为y轴，OS为z轴，建立如图1所示的空间直角坐标系，

则A(−12,0,0)，B(12,0,0)，C(−12,3,0)，S(0,0,32)，D(−32,3,0)，

而ST=13SD，故T(−12,33,