2025年高考数学必刷题分类：第15讲、单调性问题（教师版）

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第15讲单调性问题

知识梳理

知识点一：单调性基础问题

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则yf(x)

为增函数；如果f(x)0，则yf(x)为减函数．

2、已知函数的单调性问题

①若f(x)在某个区间上单调递增，则在该区间上有f(x)0恒成立（但不恒等于0）；

反之，要满足f(x)0，才能得出f(x)在某个区间上单调递增；

②若f(x)在某个区间上单调递减，则在该区间上有f(x)0恒成立（但不恒等于0）；

反之，要满足f(x)0，才能得出f(x)在某个区间上单调递减．

知识点二：讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续

的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部

分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置

关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零

点，则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新

函数再求导．

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函

数正负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要

注意是否是一个连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部

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分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小

关系）；

（5）导数图像定区间；

【解题方法总结】

1、求可导函数单调区间的一般步骤

（1）确定函数f(x)的定义域；

（2）求f(x)，令f(x)0，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

（3）把函数f(x)的间断点（即f(x)的无定义点）的横坐标和f(x)0的各实根按由

小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；

（4）确定f(x)在各小区间内的符号，根据f(x)的符号判断函数f(x)在每个相应小区

间内的增减性．

注：①使f(x)0的离散点不影响函数的单调性，即当f(x)在某个区间内离散点处为

零，在其余点处均为正（或负）时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例

如，在(,)上，f(x)x3，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0，而显然f(x)x3

在(,)上是单调递增函数．

②若函数yf(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)0（f(x)不恒为0），反之不成

立．因为f(x)0，即f(x)0或f(x)0，当f(x)0时，函数yf(x)在区间(a,b)上

单调递增．当f(x)0时，f(x)在这个区间为常值函数；同理，若函数yf(x)在区间(a,b)

上单调递减，则f(x)0（f(x)不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数

大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：

f(x)0f(x)单调递增；f(x)单调递增f(x)0；

f(x)0f(x)单调递减；f(x)单调递减f(x)0．

必考题型全归纳

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

【例1】（2024·全国·高三专题练习）设fx是函数fx的导函数，yfx的图象如图

所示，则yfx的图象最有可能的是（）

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A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】由导函数的图象可得当x0时，f¢(x)>0，函数fx单调递增；

当0x2时，fx0，函数fx单调递减；

当x2时，f¢(x)>0，函数fx单调递增.

只有C选项的图象符合.

故选：C.

【对点训练1】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)的定义域为R且导函数

为f'(x)，如图是函数yxf'(x)的图像，则下列说法正确的是

A．函数f(x)的增区间是(2,0),(2,)

B．函数f(x)的增区间是,2,2,

C．x2是函数的极小值点

D．x2是函数的极小值点

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【答案】BD

【解析】先由题中图像，确定f(x)的正负，得到函数f(x)的单调性；从而可得出函数极大

值点与极小值点，进而可得出结果.由题意，当0x2时，f(x)0；当x2，f(x)0；

当2x0时，f(x)0；

当x<2时，f(x)0；

即函数f(x)在,2和(2,)上单调递增，在2,2上单调递减，

因此函数f(x)在x2时取得极小值，在x2时取得极大值；

故A错，B正确；C错，D正确.

故选：BD.

【对点训练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数yxfx的图象如图所示（其

中fx是函数fx的导函数），下面四个图象中可能是yfx图象的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】由yxfx的图象知，当x,1时，xfx0，故f¢(x)>0，fx单调递

增；

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当x1,0时，xfx0，故fx0，当x0,1，xfx0，故fx0，

等号仅有可能在x＝0处取得，

所以x1,1时，fx单调递减；

当x1,时，xfx0，故f¢(x)>0，fx单调递增，结合选项只有C符合.

故选：C.

【对点训练3】（2024·陕西西安·校联考一模）已知定义在[3,4]上的函数fx的大致图像

如图所示，f(x)是fx的导函数，则不等式xfx0的解集为（）

5

A．(2,1)1,B．(3,2)

2

5

C．(1,0)1,D．(3,4)

2

【答案】C

【解析】若x0，则fx0,fx单调递减，图像可知，x1,0，

5

若x0，则fx0,fx单调递增，由图像可知x1,，

2

5

故不等式xfx0的解集为1,01,．

2

故选：C

【解题方法总结】

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数f(x)单调递增导函数

f(x)0（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足f(x)0）；原函数单调递减导

函数（导函数等于，只在离散点成立，其余点满足）．

f(x)00f(x0)0

题型二：求单调区间

x22

【例2】（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数ylnx的单调递

x

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增区间为（）

A．(0,2)B．(0,1)C．(2,)D．(1,)

【答案】D

【解析】函数的定义域为(0,).

x22221x2x2(x2)(x1)

ylnxxlnx，则y1.

xxx2xx2x2

y0

令，解得x(1,).

x0

故选：D

【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）函数yxlnx（）

A．严格增函数

11

B．在0,上是严格增函数，在,上是严格减函数

ee

C．严格减函数

11

D．在0,上是严格减函数，在,上是严格增函数

ee

【答案】D

1

【解析】已知yxlnx，x0，则ylnxxlnx1，

x

1

令y0，即lnx10，解得x，

e

11

当0x时，y0，所以在0,上是严格减函数，

ee

11

当x时，y0，所以在,上是严格增函数，

ee

故选：D.

【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）函数fxln4x21的单调递增区间（）

1111

A．,B．,C．,D．0,

2222

【答案】A

11

【解析】由4x210，可得x或x，

22

211

所以函数fxln4x1的定义域为,,.

22

8x1

求导可得fx，当f¢(x)>0时，x0，由函数定义域可知，x，

4x212

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21

所以函数fxln4x1的单调递增区间是,.

2

故选：A.

b

【对点训练6】（2024·高三课时练习）函数fxax（a、b为正数）的严格减区间是（）．

x

bbb

A．,B．,0与0,

aaa

bbbb

C．,0与0,D．,00,

aaaa

【答案】C

【解析】由题得x0.

bbbb

由fxa，令fxa0解得x0或0x．

x2x2aa

bbb

所以函数fxax的严格减区间是,0与0,.

xaa

选项D，本题的两个单调区间之间不能用“”连接，所以该选项错误.

故选：C

【解题方法总结】

求函数的单调区间的步骤如下：

（1）求f(x)的定义域

（2）求出f(x)．

（3）令f(x)0，求出其全部根，把全部的根在x轴上标出，穿针引线．

（4）在定义域内，令f(x)0，解出x的取值范围，得函数的单调递增区间；令f(x)0，

解出x的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，

则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开．

题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

x21

【例3】（2024·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数f(x)lnx在区间(m,m)上不

23

单调，则实数m的取值范围为（）

22

A．0mB．m1

33

2

C．m1D．m>1

3

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【答案】B

x2

【解析】函数f(x)lnx的定义域为(0,)，

2

1x21(x1)(x1)

且f(x)x，

xxx

令f(x)0，得x1，

1

因为f(x)在区间(m,m)上不单调，

3

m0

2

所以1，解得：m1

m1m3

3

故选：B.

【对点训练7】（2024·陕西西安·统考三模）若函数fxx2axlnx在区间1,e上单调递

增，则a的取值范围是（）

22

A．3,B．,3C．3,e1D．3,e1

【答案】B

【解析】因为函数fxx2axlnx在区间1,e上单调递增，

1

所以fx2xa0在区间1,e上恒成立，

x

1

即a2x在区间1,e上恒成立，

x

1

令gx2x1xe，

x

12x212x12x1

则gx20，

x2x2x2

所以gx在1,e上递增，又g13，

所以a3.

所以a的取值范围是,3.

故选：B

3

【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）若函数fxlogaaxx(a0且a1)在区间

0,1内单调递增，则a的取值范围是（）

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11

A．3,B．1,3C．0,D．,1

33

【答案】A

【解析】令gxaxx3，则gxa3x2，

aaaa

当x或x时，gx0，当x时，gx0，

3333

aaaa

所以gx在,和,上递减，在,上递增，

3333

当a1时，yloga为增函数，且函数fx在区间0,1内单调递增，

a1

a

所以0，解得a3，

3

a

1

3

此时gx在0,1上递增，则gxg00恒成立，

当0a1时，yloga为减函数，且函数fx在区间0,1内单调递增，

a

0

所以3，无解，

0a1

综上所述，a的取值范围是3,.

故选：A.

ππ

【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)sinxacosx在区间,上是减

42

函数，则实数a的取值范围为（）

A．a21B．a1C．a12D．a1

【答案】B

ππ

【解析】由题意，f(x)cosxasinx0在,上恒成立，

42

cosx1ππ

即a在,上恒成立，

sinxtanx42

ππ

因为ytanx在,上单调递增，所以ytanx1，

42

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ππ1

所以在x,时，01，

42tanx

所以a1.

故选：B

【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）三次函数f(x)mx3x在(,)上是减函数，

则m的取值范围是（）

A．m0B．m1C．m0D．m£1

【答案】A

【解析】对函数f(x)mx3x求导，得f(x)3mx21

因为函数f(x)在(,)上是减函数，则f(x)0在R上恒成立，

即3mx210恒成立，

当x20，即x0时，3mx210恒成立；

11

当2，即时，2，则，即3m，

x0x0x03m22

xxmin

1

因为0，所以3m0，即m0；

x2

又因为当m0时，f(x)x不是三次函数，不满足题意，

所以m0.

故选：A．

a

【对点训练11】（2024·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数fxlnx.若对任意x，

x11

fx2fx1

x20,2，且x1x2，都有1，则实数a的取值范围是（）

x2x1

2727

A．,B．,2C．,D．,8

42

【答案】A

fx2fx1

【解析】根据题意，不妨取x1x2，则1可转化为fx2fx1x1x2，

x2x1

aa

即lnx1x1lnx2x2.

x11x21

a

令Fxlnxx，则对任意x，x0,2，且xx，

x11212

都有Fx1Fx2，

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1a

所以Fx在0,2上单调递增，即Fx210在0,2上恒成立，

xx1

3

x1

即a在0,2上恒成立.

x

32

x1x12x1

令hx，0x2，则hx，0x2，

xx2

11

令hx0，得0x，令hx0，得x2，

22

1112727

所以在上单调递减，在,2上单调递增，所以，所以，

hx0,hxminha

22244

27

即实数a的取值范围是,，

4

故选:A

21

【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）若函数fxlnxax2在区间,2内存在

2

单调递增区间，则实数a的取值范围是（）

11

A．2,B．,C．2，D．2,

88

【答案】D

【解析】∵f(x)lnxax22，

1

∴f(x)2ax，

x

11

若fx在区间,2内存在单调递增区间，则f(x)0,x,2有解，

22

1

故a，

2x2

111

令g(x)，则g(x)在,2单调递增，

2x22x22

1

g(x)g2，

2

故

a2

.

故选：D.

【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）若函数f(x)x2xlnx2在其定义域的一个

子区间(2k1,2k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）

331313

A．,B．,3C．,3D．,

242224

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【答案】D

【解析】因为函数f(x)的定义域为(0,)，

1

所以2k10，即k，

2

12x2x1(x1)(2x1)

f(x)2x1，

xxx

1

令f(x)0，得x或x=1（舍去），

2

因为f(x)在定义域的一个子区间(2k1,2k1)内不是单调函数，

113

所以2k12k1，得k，

244

13

综上，k，

24

故选：D

2

【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxlnxxb（bR）在区间

1

,2上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是

2

39

A．,B．,C．,3D．,2

24

【答案】B

11

【解析】函数fx在区间,2上存在单调增区间，函数fx在区间,2上存在子

22

2

12x2bx12

区间使得不等式fx0成立．fx2xb，设hx2x2bx1，

xx

119

则h20或h0，即84b10或b10，得b，故选B.

224

考点：导数的应用.

1a

【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxx3x2x1在,0，3,上

32

单调递增，在1,2上单调递减，则实数a的取值范围为（）

105

A．,B．,2

32

10105

C．,2D．,

332

【答案】A

1a

【解析】由fxx3x2x1，得fxx2ax1．

32

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因为fx在,0，3,上单调递增，在1,2上单调递减，

所以方程fx0的两个根分别位于区间0,1和2,3上，

f(0)010,

f(1)01a10,

所以，即

f(2)042a10,

f(3)093a10,

105

解得a.

32

故选：A．

【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxmx33m1x2m21m0

的单调递减区间是0,4，则m（）

11

A．3B．C．2D．

32

【答案】B

【解析】函数fxmx33m1x2m21m0，则导数fx3mx26m1x

令fx0，即3mx26m1x0，

∵m0，fx的单调递减区间是0,4，

∴0，4是方程3mx26m1x0的两根，

21m

∴04，040，

m

1

∴m

3

故选：B.

【解题方法总结】

（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于

零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最

大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等．

（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法

求解参变量范围．

（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小

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于零有解．

题型四：不含参数单调性讨论

1lnx1

【例5】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxx0.试判断函数fx在

x

0，上单调性并证明你的结论；

【解析】函数fx在0,上为减函数，证明如下：

1

1ln1x

因为，所以ln1x，

fxx01x

xfx2

x

1

又因为x0，所以0，ln(1x)0，所以fx0，

1x

即函数fx在0,上为减函数.

exa

【对点训练16】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知fxlnx

x

若a1，讨论fx的单调性；

ex1x1ex1

【解析】若a1，则fxlnxx0，求导得fx，

xx2

令f¢(x)>0可得x1，令fx0可得1x0，

故fx在x0,1上单调递减；在1,上单调递增.

【对点训练17】（2024·贵州·校联考二模）已知函数fxxlnxex1．

(1)求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)讨论fx在0,上的单调性．

【解析】（1）fxlnx1ex，

∴f11e，又f11e，

∴曲线yfx在点1,f1处的切线方程是y1e1ex1，

即y1ex；

（2）令gxfxlnx1exx0，

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11

则gxex在0,上递减，且g2e0，g11e0，

x2

11x

0

∴x0,1，使gx0e0，即lnx0x0，

2x0

当x0,x0时，gx00，当xx0,时，gx00，

∴fx在0,x0上递增，在x0,上递减，

x011

∴fxfx0lnx01ex012x0110，

x0x0

1

当且仅当x0，即x01时，等号成立，显然，等号不成立，故fx0，

x0

∴fx在0,上是减函数．

【对点训练18】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数

π

fxexaxaR，gxexcosx.

2

(1)若fx0，求a的取值范围；

(2)求函数gx在0,上的单调性；

【解析】（1）由题意知fx的定义域为R.

exexexx1

①当x0时，由fx0得a，设mx，则mx，

xxx2

当x0,1时，mx0，故mx在(0,1)上单调递减；当x1,时，mx0，故mx

在(1,)上单调递增，

所以mxm1e，因此ae

min.

11

②当x0时，若a0，因为fea10，不合题意.所以a0，此时fx0恒成立.

a

③当x0时，f010，此时aR.

综上可得，a的取值范围是0,e.

（2）设nxsinxx，x0，则nxcosx1≤0，所以nx在0,上单调递减，

ππ

所以nxn00，即sinxx在0,上恒成立.所以sinxx.

22

又由（1）知exex，

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2

xπππππ

所以当x0时，gxesinxexxex0，

22224

所以gx在0,上单调递增.

【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)ln(ex1)lnx．

判断f(x)的单调性，并说明理由；

ex1xexex1(x1)ex1

【解析】f(x)

ex1x(ex1)x(ex1)x

令g(x)(x1)ex1，g(x)ex(x1)exxex0

g(x)在(0,)上递增，g(x)g(0)0，f(x)0，

f(x)在(0,)上单调递增.

【解题方法总结】

确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉

求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．

题型五：含参数单调性讨论

情形一：函数为一次函数

【例6】（2024·山东聊城·统考三模）已知函数f(x)(m1)xmlnxm．

讨论f(x)的单调性；

m(m1)xm

【解析】f(x)m1，x(0,)，

xx

1

①当m10，即m1时，f(x)0，f(x)在区间(0,)单调递增．

x

②当m10，即m1时，

mm

令f(x)0，得0x，令f(x)0，得x，

m1m1

mm

所以f(x)在区间0,单调递增；在区间,单调递减．

m1m1

③当m10，即m1时，

若1m0，则f(x)0，f(x)在区间(0,)单调递增．

mm

若m0，令fx0，得0x，令fx0，得x，

m1m1

mm

所以f(x)在区间0,单调递减；在区间,单调递增．

m1m1

[在此处键入]

[在此处键入]

mm

综上，m1时，f(x)在区间0,单调递增；在区间,单调递减；

m1m1

1m0时，f(x)在区间(0,)单调递增

mm

m0时，f(x)在区间0,单调递减、在区间,单调递增．

m1m1

【对点训练20】（2024·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知函数

fxlnx2a2x23ax1a0.

讨论函数fx的单调性；

4ax11ax

【解析】fx的定义域为0,,fx

x

1

若a0，则fx,fx在0,单调递增；

x

11

若a0，令fx0，解得x0,x0（舍去）

1a24a

1¢1

当0x时，f(x)>0，函数fx在0,上单调递增，

aa

11

当x时，fx0，函数fx在,上单调递减，

aa

【对点训练21】（2024·全国·模拟预测）已知函数fxlnx1ax1aR.

讨论函数fx的单调性；

【解析】因为fxlnx1ax1，

1

所以fx1a.

x

因为x0，若1a0，即a1时，fx在0,上单调递增，

若1a0，即a1时，

11

令fx1a0，得0x；

xa1

11

令fx1a0，得x，

xa1

11

所以fx在0,上单调递增，在,上单调递减.

a1a1

综上，当a1时，fx在0,上单调递增；

11

当a1时，fx在0,上单调递增，在,上单调递减.

a1a1

[在此处键入]

[在此处键入]

【对点训练22】（2024·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数fxxalnx．

讨论fx的单调性；

xaa

【解析】由函数fxxalnx，可得f(x)lnxlnx1(x0)，

xx

a1axa

设xf(x)lnx1，可得(x)，

xxx2x2

①当a0时，(x)0，所以f(x)在(0,)单调递增；

②当a<0时，令(x)0，解得xa.

当0xa时，(x)0，f(x)单调递减；

当xa时，(x)0，f(x)单调递增.

综上，当a0时，f(x)在(0,)单调递增；

当a0时，f(x)在(0,a)单调递减，在(a,)单调递增.

情形二：函数为准一次函数

【对点训练23】（2024·云南师大附中高三阶段练习）已知函数fxxlnxax.

讨论fx的单调性；

【解析】

函数fx的定义域为x(0，)，f(x)lnx1a．

令f(x)0，解得xea1，

则有当0xea1时，f(x)0；当xea1时，f(x)0；

所以f(x)在(0，ea1)上单调递减，在(ea1，)上单调递增．

1

【对点训练24】（2024·北京·统考模拟预测）已知函数f(x)kexx2.

2

(1)当k1时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；

(2)设g(x)f(x)，讨论函数g(x)的单调性；

【解析】（1）k1，

1

f(x)exx2，

2

f(x)exx，

[在此处键入]

[在此处键入]

1

当x1时，f(1)e，

2

1

切点坐标为1，e，

2

又f(1)e1，切线斜率为e1，

曲线yf(x)在x1处切线方程为：

1

e1xy0.

2

1

（2）f(x)kexx2，xR，

2

g(x)f(x)kexx，xR，

g(x)kex1，xR，

①当k0时，g'x0成立，

f(x)的单调递减区间为R，无单调递增区间.

②当k0时，令g(x)kex10xlnk，

所以当xlnk时，g(x)0，g(x)在(,lnk)上单调递减

xlnk时，g(x)0，g(x)在(lnk,)上单调递增

综上:k0时，f(x)的单调递减区间为R，无单调递增区间；

k0时，f(x)的单调递增区间为(lnk,)，单调递减区间为(,lnk)；

【对点训练25】（2024·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数

fxexax1aR.

讨论fx的单调性；

【解析】∵fxexax1aR，∴fxexa，

①当a0时，f¢(x)>0恒成立，此时fx在,上单调递增；

②当a0时，令fxexa0，解得xlna，

当x,lna时，fx0，fx在区间,lna上单调递减，

当xlna,时，f¢(x)>0，fx在区间lna,上单调递增.

综上所述，当a0时，fx在,上单调递增；当a0时，fx在区间,lna上

[在此处键入]

[在此处键入]

单调递减，在区间lna,上单调递增.

情形三：函数为二次函数型

方向1、可因式分解

【对点训练26】（2024·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数

fxalnxx2a2xa0.

讨论函数fx的单调性；

【解析】因为fxalnx