高考物理冲刺：知识讲解-热点分析三：守恒

高考冲刺：热点分析三：守恒

编稿：张金虎审稿：隋伟

【高考展望】

最近几年高考热点为：动量守恒定律及其应用、机械能守恒定律及其应用、能量守恒定

律及其应用、电荷守恒定律及其应用、质量数守恒及其应用。主要内容包括动量、冲量、功、

功率、机械能等基本概念；动量定理和动能定理两大定理；动量守恒定律、机械能守恒定律

和能量转化和守恒定律三大定律.

功能的关系和能量守恒定律是自然界中适用范围非常广泛的物理规律，是高中物理的主

干和重点知识，从能量角度分析处理物理问题是高中物理中处理物理问题的重要方法，也是

历年高考热点。

用动量的观点分析物理问题是力学三大思路之一，也是历年高考考查的重点、热点，在

试题中往往表现为灵活性强、综合性大、能力要求高，如对动量定理的考查绝大多数问题设

置的情景是短暂且是变力作月的过程，直接用冲量的概念无法解决，只能依据动量定理，通

过动量的变化求解某一变力的冲量或合力的冲量.

机械能守恒定律、能量守恒定律与动量守恒定律结合,大大增加了试题的难度，是高中

物理的重点，也是高考考查的重点之一，每年的高考中必有这方面的试题,而且常常是动量

与能量，或者动量、能量与平抛运动、圆周运动、热学、电磁学、原子物理等知识的综合题,

试题的情景常常是物理过程较复杂的，或者是作用时间很短的，如变加速运动、碰撞、爆炸、

打击、弹簧形变等.

【方法点拨】

对定律的考查,主要是运用守恒定律确定相互作用的各物体作用完成以后的运动状态，

即作用完成以后各个物体速度的大小和方向，或者是动量的大小和方向，因此在复习中应予

以足够的重视，既要加强对定理定律的理解，把握其实质内涵，又要在实战中理顺思路，仔

细琢磨，达到熟能生巧的目的.

复习时不仅要搞清楚定理、定律的来龙去脉，适用的条件，更要具备能够将复杂的过程分解

成一个个子过程的能力，所以在专题复习中要在过程分析上下功夫，来提高自己的分析问题

和解决综合题的能力.

【典型例题】类型一、机械能守恒定律的应用问题

应用机械能守恒定律解题的一般思路：

Q)选择适当的研究对象(物体或系统)，明确哪些物体参与了动能和势能的相互转化，选

择合适的初、末状态；

(2)对物体进行受力分析和运动分析，明确各个力做功的情况及初末状态的速度，判断机

械能是否守恒，只有符合守恒条件才能应用机械能守恒定律解题；

⑶选择适当的机械能守恒定律表述形式列守恒方程，对多过程问题可分阶段列式，也可

对全过程列式.(必要时应选取重力势能为零的参考平面)

例1如图所示，将一质量为，〃=0.1kg的小球自水平平台右端O点以初速度%水平抛出，

I—1——IF，、•，・

'竖直光滑圆轨道A8C,并沿轨道恰好通过最高点C,圆轨

的圆截去了左上角127。的圆弧，C8为其竖直直径，

口速度g=10mH）求:

77777777/77777777777777777777777777^7

B

Q)小球经过c点的速度大小；

(2)小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小；

(3)平台末端。点到A点的竖直高度H.

【思路点拨】本题是一个多过程的机械能守恒问题，涉及运动的分解、平抛运动、圆周

运动、牛顿运动定律等知识，是一个综合性习题.

【答案】⑴5m/s(2)6.()N(3)3.36m

【解析】(1)小球恰运动到C点，重力提供向心力，即

Vc

m乂—m

R

解得：

vc=y[gR=5m/s

⑵从8点到C点机械能守恒，由机械能守恒定律有

-mv^mg2R-¥-mvl

解得:

vB二展=5«m/s

在8点小球受重力、支持力NA,它们的合力提供向心力，即

m

NB-mg=~^

解得：

玛=m(8+争=6.0N

(3)从A点到B点机械能守恒，则

1,1

—mv+mgR(l-cos53°)二一〃八噌

2A2

代入数据得：

V4=V105m/s

A点的竖直分速度为

vy=v4sin53°

平台末端。点到A点的竖直高度

vLv^(sin530)2

ri=------------------------------

2g2g

代入数据得

"=3.36m.

【总结升华】本题是一个多过程的机械能守恒问题，涉及运动的分解、平抛运动、圆周

运动、牛顿运动定律等知识，是一个综合性习题.以下变式题是有关连接体的机械能守恒问

题，注意与单个物体机械能守恒相区别.

举一反三：

【高清课堂：高考热点分析之三守恒例1]

A萱角形支架两端分别连接质量为〃2和2〃7的小球A和8。支架的

__21m

两直i支架可绕固定轴。在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始

时°C2m上释放’则下列叙述错误的是()

A.4球的最大速度为2而

所以。可能达到的最大高度为L5力，B项止确.

首形状如图所示，底部为半圆形，半径为R,固定在竖直平面内，直

轨道（［量相同的48两小环用长为/＜的轻杆连接在一起，套在轨道上（角度

够一」示位置静止释放，A环离底部的高度为2R.不考虑轻杆和轨道的接触,

即忽2R卜…「一’关，求:

（1）48两环都未进入半圆形底部前，杆上的作用力.

（2）A环到达最低点时，两环的速度大小.

【答案】（1）零（2）即厢

【解析】Q）对A、B、杆整体受力分析知，A、3两环与杆一起做自由落体运动，其加速

度等于重力加速度g.

以3为研究对象，根据牛顿第二定律，3受到的合力

FB=ma=mg,

所以杆与8之间的作用力为零.

（2）A环到达最低点时，8已经进入圆轨道，两环具有相同角速度，两环速度大小相等，

匕

A环到达最低点时,杆与竖直方向夹角为60。，8环下降的高度

5R

A=3/?-/?cos60=—.

2

对A、B整体，由机械能守恒定律得

rng-2R+mg--/?=—+—.

222

解得

类型二、能量守恒问题

1.注意W其他二七2一片二的含义；

2.系统的一种能量减少，另一种能量必然增加.

例2.如图所示，MNP为竖直面内一固定轨道，其圆弧段MN与水平段NP相切于N.P

端固定一竖直挡板.M相对于N的高度为力，NP长度为八一木块自M端从静止开始沿轨道

%...........弹性碰撞后停止在水平轨道上某处.若在段的摩擦可忽略不

:普动摩擦因数为〃，求物块停止的地方与N点距离的可能值.

NP

【答案】20一人或2一2,

H/j

【解析】根据功能关系，在物块从开始下滑到静止的过程中，物块的重力势能减小的数

值与物块克服摩擦力所做功的数值W相等，即

△E〃=W

设物块的质量为加，在水平轨道上滑行的总路程为s',则

△Ep=mgh

W=〃mgs'

联立得：

,h

s=—.

第一种可能是：物块与弹性挡板碰撞后，在N前停止，则物块停止的位置距”的距离为

d=2s-s'=2s--.

4

第二种可能是：物块与弹性挡板碰撞后，可再一次滑上光滑圆弧轨道，滑下后在水平轨

道上停止，则物块停止的位置距N的距离为

d=sr-2s=--2s.

所以物块停止的位置距N的距离可能为

2s——sK——25.

【总结升华】本题中物块储存的重力势能全部用于克服摩擦力做功.在解答这部分习题

时，要注意能量转化的方向.

举一

勿体以某一速度从A点冲上倾角为30。的斜面，运动的

加速大高度为〃，则这个过程中

A,重力势能增加了〃侬？

B.机械能损失了;相处？

C.动能损失了mgh

D.重力势能增加了[〃侬？

4

【答案】AB

【解析】重力势能增加量

〉Ep=mgh,

A对、D错；

动能增加为

3

\Ek=­ma-2/?=——mght

即动能损失为T〃侬？，C错；

机械能改变为

AE=△£'〃+£'&=——mgh,

即机械能损失了的，B对.

类型三、能量守恒定律的综合应用

做功的过程就是能量转化的过程，功是能量转化的量度.

1.重力所做的功等于重力势能的减少量；弹簧的弹力所做的功等于弹性势能的减少量；

2.合外力所做的功等于动能的增加量；

3.电场力所做的功等电势能的减少量；

4.只有重力或弹簧的弹力做功,则势能和动能相互转化，机械能守恒；

5.除重力和弹簧的弹力以外的其他力所做的功等于机械能的增加量，即

W其他=4鸣二△£：；

6.克服一对滑动摩擦力所做的净功等于机械能的减少量,即△£=//（面为相对滑动的

距离）；

7.克服安培力所做的功等于电能的增加量.

例3.如图所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，小物块A和B大小可忽略，它们分

别带有+2和+QB的电荷量，质量分别为%和〃％.两物块由绝缘的轻弹簧相连，一不可伸长

个连接一轻质小钩,整个装置处于场强为E、方向水

，已知弹簧的劲度系数为Z，不计一切摩擦及44间

,8不会碰到滑轮.

Q)若在小挂钩上挂一质量为M的不带电物块C并由静止释放，可使物块A恰好能离开挡

板尸，求物块C下落的最大距离；

(2)若C的质量改为2M，则当4刚离开挡板。时，。的速度为多大？

【思路点拨】用到能量的转化?口守恒定律，即电期旨和机械能的转化。

【答案】⑴/2=[0+a)(2)白鹿翳+甲

【解析】Q)开始平衡时有：

3=EQB

解得：

、_EQB

当4刚离开挡板时有：

kx2=EQA

解得：

丫-殴

-M

故。下落的最大距离为

〃=X]+X)

由以上各式得：

P

h=-(Q^Q)

kAB

(2)由能量守恒定律知C下落/?的过程中，。的重力势能的减少量等于B的电势能的增加

量、弹性势能的增加量和系统动能增加量的和.

当C的质量为M时有：

Mgh=EQBh+AEp弹

当C的质量为2M时有：

2Mgh=EQBh+AE泮+g(2M+〃%)/

联立以上各式得：

l2MgE(Q/Qj

7k(2M+mB)

【总结升华】本题用到能量的转简口守恒定律，即电势能和机械能的转化,是能量守恒

定律的一个综合应用.

举一反三:

【变式】小物块4的质量为〃？，物块与坡道间的动摩擦因数为〃，水平面光滑；坡道顶

端距..........................入水平滑道时，在底端。点处无机械能损失,

重力宣M处并固定墙上，另一自由端恰位于坡道的

.|h

底端7A/WWWWWWV\自静止滑下，求：

MO

Q)物块滑到。点时的速度大小；

(2)弹簧为最大压缩量dE寸的弹性势能；

(3)物块A被弹回到坡道上升的最大高度.

【答案】⑴J2初-伏•。劭⑵〃侬?-3阳阮。的⑶黑鬻

【解析】Q)从4到。运用功能关系有：

Ah,10

一geos9----=-mgh+—mv

sin2

解得：

v=y/2gh(1-/./cot3)

(2)在水平轨道上，由能量守恒，有：

1

E口=—mv2

〃2

联立解得：

Ep=mgh-pmghcotO

(3)设物体能上升的最大高度为力,物体A被弹回的过程中由功能关系，有

一〃〃igh[CSO=mgh]-Ep

解得：

._(1-pcotO)h

n|=--------------.

1+pcotO

类型四、动量守恒

1.应用动量守恒定律应注意的问题

(1)选取正方向：若系统内物体作用前后都在同一直线上运动，这时应规定正方向，将矢

量运算转化为代数运算.

(2)动量是状态量,对应着一个瞬时时刻.动量守恒是指该相互作用过程中的任一时刻的

总动量恒定.

(3)动量表达式中的速度必须是相对同一惯性参考系的速度，在研究地面上物体间相互作

用的过程时，通常取地球为参考系.

2.动量守恒的三种情况

Q)系统所受的合外力为零，动量守恒；

(2)内力远大于外力，动量近似守恒；

(3)某方向的合外力为零，该方向上的动量守恒.

例4.如图所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为机的

小木块4.m<M.43间动摩擦因数为〃，现给4和5以大小相等、方向相反的初速度%,

使A_________口小QA不会滑离8,求：

(1)AB最后的速度大小和方向.

(2)从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时,平板车向右运动的位移大小.

2M-m9

【答案】(1)*竺％，方向向右（2）v--Vo

【解析】Q)最终48具有相同的速度，设此速度为-,选择向右的方向为正方向.则据

动量守恒定律可得：

+m)v

解得：

M-in

v=———%,万向可石•

M+m

(2)从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，木块速度为零，平板车速度为》,

由动量守恒定律得：

A/v()-/zzv0=A/v，

这一过程平板车向右运动s,由能量守恒定律得:

ptngs=gM"—JMu'2

用”曰2M-tn

解得：s=会厂说2•

2"Mg

【总结升华】本题是两个物体相互作用过程动量守恒的最常规的试题，旨在帮助同学

们通过试题理解运用动量守恒定律解题时要选择正方向，在有些解答中，可能你看不到诸如

"选择……为正方向"的字眼，但是方程的列出一定是选择了正方向的，如果没有写也只能说

是省略了.

举一反三:

【变式厂—；一A…；Hii下船、人和货物）分别为I。叭⑵Z,两船沿

ZI0I0

同一直线同一3两船相撞，乙船上的人将一质量为〃7的货

物沿水平方向求抛出货物的最小速度.（不计水的阻力）

【答案】4%

【解析】设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为hm,抛出货物后船的速度为"，甲

船上的人接到货物后船的速度为v2,由动量守恒定律：

12/72V0=1

10/zzv0-/??vmin=llwv2

为避免两船相撞应满足

联立以上各式得：

%n=4%•

类型五、弹性碰撞与非弹性碰撞

一个质量为叫的物体以速度V.碰撞一个质量为吗的静止的物体，碰后它们的速度分别为

v/,在碰撞过程中，动量守恒，其表达式为：

网,二网灯'+m2V2’.

1.若碰撞是弹性碰撞，那么动能也守恒,其表达式为：

+-w2v2

碰后的速度

町一〃72

匕一V|

恤+niy

v，：力〃

m}+机2

若它们的质量相等，那么它们碰撞后将交换速度.

2.若碰撞为完全非弹性碰撞，碰撞后两物体的速度相同，则

v/=v/=^VL.

W]+g

3.若碰撞为一般的菲弹性碰撞，则碰撞后速度关系满足以下两个关系式：

m.+tn.+1n)

WV|f2WlV|

'<v2<.

叫+，％~my+"b

4.若碰撞为非弹性碰撞;则碰撞过程中将发生能量转化,系统的机械能与其他形式的能

相互转化，通常为机械能转化为内能.

例5.在光滑的水平面上，质量为成的小球A以速率%向右运动.在小球的前方。点处

有一质量为性的小球8处于静止状态，如图所示.小球A与小球8发生正碰后小球A、8均

向右运动.小：RA在尸点相遇，PQ=1.5PO.假设小球间的

碰撞及小球与gQ____________________E求质量之比型.

XWv^XXWXXX\Xx\XKXW\XX^\XW\X\NXXXWXYXXXXWXW^V"b

OPQ-

【思路点拨】通过分析碰撞前后的运动，找出碰撞前后物体的速度关系，再利用动量守

恒规律和动能守恒规律列方程求解.

【答案】"=2

%

【解析】从两小球碰撞后到它们再次相遇，小球A和8的速度大小保持不变，对小球3：

OQ+PQ=v2t

对小球A:

P0=vxt,

而

PQ=\.5P0,

由以上三式得：

则两球碰撞后的速度大小之比为

为:可二4:1

两球碰撞过程动量守恒，有：

m]vQ=m]vi+m2v2

由于是弹性碰撞，碰撞过程机械能守恒，有

121212

2mM=5叫叫+]阳2n2

解得：

色=2.

【总结升华】本题属于弹性碰撞问题，碰撞中动量守恒，机械能也守恒(因势能未变，表

现为动能守恒)，先通过分析碰撞前后的运动,找出碰撞前后物体的速度关系，再利用动量守

恒规律和动能守恒规律列方程求解.对弹性碰撞模型，要求能够记忆表达式及结果，可缩短

解题的时间.

举一反三:

【高清课堂：高考热点分析之三守恒例5]

【变式1]图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块3相连，8静止在水平导轨上，弹

簧处在原长状态。另一质量与B相同滑块A,从导轨上的P点以某一初速度向B滑行，当A滑

过距离乙时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后4、B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后

A恰比方向中甘占D珀宣〉运+九人壬门a匕弓轨的滑动摩擦因数都为〃，运动过程中弹簧最

挡7BA

大形板;口............口

/z^zzzzzzzzzz^77^^Wzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz7777^^^^<zzzzzzz

【答案】J〃g(T0l\+T6k)

【解析】解：令48质量皆为〃z,A刚接触8时速度为匕（碰前），由功能关系,有

121,去

43碰撞过程中动量守恒，令碰后43共同运动的速度为％,有

WV]=2〃八，2@

碰后4、B先一起向左运动，接着A、8一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A、3的共

同速度为打，在这过程中，弹簧势能始末两态都为零，利用功能关系，有

；（2相）名一;（2相）g=〃（2〃7）g（2,2）③

此后AB开始分离，A单独向右滑到P点停下，由功能关系有

片二〃，喇④

由以上各式，解得

%=J4g(104+16/2).

【变式2】如图所示，A、B、。三个木块的质量均为〃?.置于光滑的水平桌面上，B、。之

间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连.将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和

。紧连，使弹簧不能伸展，以至于艮C可视为一个整体，现A以初速％沿8、。的连线方向

朝3运动，与8相碰并粘合在一起，以后细线突然断开，弹簧伸展,从而使C与43分离,

已知C离开弹簧后的谏度恰为v..求母籥*圣放的热能.

国

TZrzTTzzzzzzzzzz/zzz/zzzz[^gzTl^ATZzAzz/zW/zzzWzz/zVTxEzTzX?^

【答案】

【解析】设碰后A、8和C的共同速度的大小为u,由动量守恒得：

3mv—HIVQ

设。离开弹簧时,48的速度大小为匕，由动量守恒得：

3〃八'=2m\\+wv0

设弹簧的弹性势能为号，从细线断开到。与弹簧分开的过程中机械能守恒，有

1⑶〃)/+E尸;(2机)q+1*

由以上各式得弹簧所释放的势能为：

类型六、动量与能量问题的综合应用

例6.装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击.通

过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因.质量为2〃?、厚度为2d的钢板静止在水平光

海省而卜居昌汨的学曜I'J苴一他宣诉直射向该钢板,刚好能将钢板射穿.现把钢板分成

隔一段距离水平放置，如图所示.若子弹以相同的

第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度.设子

板不会发生碰撞.不计重力影响.

【答案】二叵d

4

【解析】设子弹初速度为力，射入厚度为"的钢板后，最终钢板和子弹的共同速度为V,

由动量守恒得

(2/z?+in)V="2%①

解得

v=r0

此过程中动能损失为

1,11

AE=-~-x3mV~(2)

解得

△£二g机4

分成两块钢板后，设子弹穿过第一块钢板时两者的速度分别为匕和匕，由动量守恒得

/叫+，〃匕=/叫)③

因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，射穿第一块钢板的动能损失为竽，由能量守恒

2

得

121i/212bE小

联立①②③④式，且考虑到匕必须大于匕，得

fl⑸有

vi=彳+丁vo®

（26J

设子弹射入第二块钢板并留在其中后两者的共同速度为修，由动量守恒得

2，〃K=〃八，］⑥

损失的动能为

△石'=?叫2—3'2加匕2⑦

联立①②⑤⑥⑦式得

AEz=-x1+周喈⑧

2

因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力,由⑧式可得，射入第二钢板的深度工为

2

【总结升华】本题在子弹打击钢板的过程，由子弹和钢板组成的系统受到了阻力，但

比子弹打击钢板的作用力小得多，所以可以认为这个打击过程中动量守恒.子弹与钢板作用

过程中有机械能损失，损失的机械能转化为子弹和钢板的内能.

举一反三：

【高清课堂：高考热点分析之三守恒例2】

【变式1】质量为M的均匀木块静止在光滑水平面上，木块左右两侧各有一位拿着完全

相同步枪的射击手。首先左侧射手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为4,然后右侧射手

开枪，子弹水五酎入木十九的层节空度七人力n国所示。设子弹均未射穿木块，且两颗子弹与

木块之间的作7〃y0付于木块静止时，下列判断正确的是（）

A.木块静止，4=&B.木块向右运动,4cd2

C.木块静止，4〈心D.木块向左运动，&二d2

【答案】C

【解析】设子弹速度为％,质量为〃7,已知木块质量为M.

左侧射手开枪后,子弹射入木块与木块一起向右运动。木块与子弹共同速度设为匕，由

动量守恒:

mv=(M+〃，)匕

由能量守恒得：

2

F『d[—gmv_g（M+

右侧射手开枪后，射出的子弹与木块与及左侧射手射出的第一颗子弹共同的速度设为匕，

由动量守恒：

(M+/〃)匕一〃?％=(M+2/7?)v2

由能量守恒得：

Ffd2=；〃琢+；（M+机）彳一；（M+2m）片

解得：

v2=0

d_Minv；

d_7M+2ni)mvl

277r(M+"。

即

4<d2.

【高清课堂：高考热点分析之三守恒例2]

1辱忒21加图所示.周宗容器及可动活塞P都是绝热的，中间有一导热的固定隔板B,

B的i现将活塞P缓慢地向B移动一段距离。已知气体的温度随其

内能1的过程中（）

A.外力对乙做功，甲的内能不变

B.外力对乙做功，乙的内能不变

C.乙传递热量给甲，乙的内能增加

D.乙的内能增加，甲的内能不变

【答案】C

【变式3］一质量为2/"的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所示.图中而为

粗糙的水平面，长度为L；儿为一光滑斜面，斜面和水平面通过与劭和儿均相切的长度可

獭决以大小为%的水平初速度从。点向左运动，在

斜面点前与物体。相对静止.重力加速度为g.求：

(1)木块在必段受到的摩擦力/；

(2)木块最后距。点的距离s.

［答案］Q)Q)瞋黑L

3L%—3g/z

【解析】Q)设木块和物体。第一次达到的共同速度为-,两物体从开始到第一次到达共

同速度过程，由动量和能量守恒得：

mvti=(in+2m)v

；mv1=；(m+2m)v2^mgh+fL

由以上两式得：

，利(诏一3g/?)

J—31

(2)木块返回后与物体P第二次达到的共同速度与第一次相同(动量守恒),对全过程应用

能量守恒得：

11,

—mv~7=—(〃z+2m)v~^f(2L-s)

由以上各式得：

£-6gh

、-ZL•

埼一30

【变式4］如图所示,质量m『2kg、长L=1.5m的长木板A静止在光滑的水平面上，

在长木板A的右端固定了根轻质弹簧，质量〃?广1kg的小滑块B静止于木板A的右端，质量

m=2kg的小滑块C以%;6m/s的初速度向左运动并压缩弹簧(与弹簧不粘连)，当长木板4达

到某一速度时与左侧的挡板碰撞，碰后长木板A立即停止,这时8才开始在A上滑动，它刚

好能滑到长木板A的左端,B、C均可视为质点，A、/之间的动摩擦因数为"=0.3,取

iroc

Z？ZZZZTZTTZTZTZTTTTTTTT^ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ^^ZZZZ/

(1)A与挡板碰撞前瞬间的速度vA为多大？

⑵在整个过程中，弹簧弹性势能的最大值就为多少？

【答案】(1)3m/s(2)22.5J