高中数学空间几何体的表面积和体积专项练习

高中数学空间几何体的表面积和体积专项练习

【要点精讲】

1.多面体的面积和体积公式

名称侧面积（S恻）全面积（S全）体积（V）

棱棱柱直截面周长X1s底力二S直截面,h

s恻+2S底

柱直棱柱chS底出

棱锥各侧面积之和

棱1.

s侧+S底底-h

锥正棱锥—ch'

2

棱台各侧面面积之和

棱~h（S上底+S卜底

s侧+S上底+S下底

台1

正棱台-(c+c川+Js下底，s下底）

表中S表示面积，c\c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h，表示斜高，1表示侧棱长。

2.旋转体的面积和体积公式

名称圆柱圆锥圆台球

s侧2兀117irl7i(ri+r2)l

22

S全2;ir(l+r)兀r(l+r)7i(ri+r2)l-Hi(ri+r2)4KR2

V兀&(即TIT21)—7ir2h—7th(r2i+rir2+r22)-7lR3

33

表中1、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，小垣分别表示圆台上、

下底面半径，R表示半径

四.【典例解析】

题型1：柱体的体积和表面积

例1.一个长方体全面积是20cm2,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.

解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、1cm

2(盯+yz+zx)=20(1)

依题意得：＜

4(x+y+z)=24⑵

由(2)2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)

由⑶—(1)得x?+y2+z2=16

即P=16

所以/=4(cm)0

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表

面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、

体积之间的关系。

例2.如图1所示，在平行六面体ABCD—ABCiDi中，已知AB=5,AD=4,AAi=3,

Tl

AB±AD,ZA,AB=ZAiAD=—o

3

(1)求证：顶点Ai在底面ABCD上的射影。在/BAD的平分线上；

(2)求这个平行六面体的体积

解析：(1)如图2,连结AQ,则AQ_L底面ABCD。作OMLAB交AB于M,作ON

_LAD交AD于N,连结AiM,AiNo由三垂线定得得AiM_LAB,AiN±ADoVZAiAM=Z

AiAN,

RtAAiNA之R3A1MA,AiM=AiN,

从而OM=ON。

...点。在/BAD的平分线上。

JT13

(2)VAM=AAicos一=3x—=—

322

AM3rz

・・・AO=--------二一J2o

兀2

cos—

4

99

又在RSAOAi中，AiO2=AAi2-AO2=9——=—

22

•，•AiO=季，平行六面体的体积为V=5x4x2g=30V2。

22

题型2:柱体的表面积、体积综合问题

例3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是亚，百，后，这个长方体对角线的长是

（）

A.2-73B.3叵C.6D.V6

解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=l,b=42,c=43,则对角线I的长为

222

1=y/a+b+c=V6;答案Do

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素一棱长。

例4.如图，三棱柱ABC—AiBiCi中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EBCi将

三棱柱分成体积为Vl、V2的两部分，那么V1：V2=o

解：设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则丫="+丫2=$11。

：E、F分别为AB、AC的中点,

••SAAEF——S,

4

Vi=-h(S+-S+AS--)=—Sh

34V412

V2=Sh-Vi=—Sh,

12

AVi:V2=7:5o

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积

的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可

题型3:锥体的体积和表面积

例5.7.（2009山东卷理）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体

的体积为（）.

A.In+2^/3B.4万+2G

【解析】：该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,

Zlitll/-7-^\Trfrl府1

所以该几何体的体积为2乃H——.

答案:c

【命题立意】：本题考查了立体几何中的空间想象能力,

由三视图能够想象得到空间的立体图，并能准确地

计算出.几何体的体积.

（2009四川卷文）如图，已知六棱锥P-的底面是正六边形,

PA1平面ABC,PA=2AB则下列结论正确的是

A.PB1AD

B.平面PA5±平面P3C

C.直线〃平面PAE

D.直线PD与平面ABC所成的角为45。

【答案】D

【解析】；AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PABJ_平面PAE,

所以平面，平面P3C也不成立；BC〃AD〃平面PAD,.•.直线〃平面PAE也不

成立。在RrAPA。中，PA=AD=2AB,；./PDA=45。.，D正确

（2009全国卷H文）设OA是球。的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45。角的平面

77r

截球o的表面得到圆C。若圆C的面积等于丁，则球O的表面积等于X

4

答案：8兀

解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由

例61.（2009年广东卷文）（本小题满分13分）

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示，墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,

下半部分是长方体ABCD—EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;

(2)求该安全标识墩的体积

(3)证明:直线BD_L平面PEG

图4图5图6

【解析】(D侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为：V=VP_EFGH=VABCD_EFGH

=1X402X60+402x20=32000+32000=64000(c/n2)

(3)如图，连结EG,HF及BD,EG与HF相交于O,连结PO.

由正四棱锥的性质可知,P。1平面EFGH,PO1HF

又EG工HFHF_L平面PEG

又BDPHFBDJL平面PEG

A

例7.ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD

所在的平面，且GC=2,求点B到平面EFC的距离?

解：如图，取EF的中点。，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B-EFG。

设点B到平面EFG的距离为h,BD=4A/2,EF=2a,CO=-X4V2=372O

4

GO=4CO-+GC2=7（3A/2）2+22=J18+4=722。

而GCJ_平面ABCD,且GC=2。

l由t吟EFC=Vk。j—tELrFDB7，得—EF•GO*h=—cSZAArpLroD,

o3

点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为

体积问题来求解。构造以点B为顶点，AEFG为底面的三棱锥

是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是

解这类题的方法，从而简化了运算。

例8.已知三个球的半径R2,R3满足&+2R2=3凡，

则它们的表面积5,邑，S,,满足的等量关系是__________.

【答案】店+2疽=3后

【解析】S]=4码2,店=，同理：户=2木2年=2^3，即R1=工7^，

R2=*,R3=,，由鸟+2%=34得何+2病=3病

2^7171

例9.如图，ABCD的边长为2的正方形，直线1与平面ABCD平行，g和F式1上的两个不

同点，且EA=ED,FB=FC,@和F'是平面ABCD内的两点，后户和kF'都与平面ABCD

垂直,

(I)证明：直线ER'垂直且平分线段AD

(II)若NEAD=/EAB=60。，EF=2,求多面

体ABCDEF的体积。

【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分

与整体的基本思想

【解析】（1）由于EA=ED且EZT_L面ABC。:.E'D=E'C

.•.点E-在线段AD的垂直平分线上,同理点F-在线段BC

的垂直平分线上.

又ABCD是四方形

•••线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线

即点EF-都居线段AD的垂直平分线上

所以，直线E-F一垂直平分线段AD.

⑵连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两

部分.设AD中点为M,在RtAMEE-

ME=6.EE'=6.

二%—ABCD=g•S四方形ABC。•EE'=2?xg=苧

111-2A/2

XV^BCF=V-BEF=V-BEA=V-ABC=-5-EE'=-x-x2-9xy//2=------

EcCE3ABC323

多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD+VE—BCF=272

例10.(1)如图，在长方形ABC。中，A3=2,BC=\,E为0c的中点，F为线段EC

(端点除外)上一动点.现将AAFD沿AF折起，使平面ABD1平面ABC.在平面ABD内

过点。作。KLA5,K为垂足.设AK=/,则的取值范围

是.

（第17fl）

答案:加

【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，/=1,随着F点

到C点时，因CB±AB,CB1DK,CB1平面ADB,即有，8。，对于

CD=2,BC=1,:.BD=6,又AD=1,A3=2,因此有A。，8。，则有f因此

2

____—的取值范围是[）,1]

例H.3.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是cm3.

【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观

的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法.

【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为Ix3x3=9,上面的长方体体积为

3x3xl=9,因此其几何体的体积为18

例12.直三棱柱ABC-43cl的各顶点都在同一球面上，若

AB=AC=AAi=2,ZBAC=120°,则此球的表面积等于。

解:在AABC中AB=AC=2,NB4C=120。,可得BC=273，由正弦定理，可得AABC

外接圆半径r=2,设此圆圆心为0’，球心为0,在RTAOB。中,易得球半径R=故此

球的表面积为4万夫2=20万.

例13.已知过球面上A,5,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且

AB=BC=CA=2,求球的表面积

解：设截面圆心为。'，连结设球半径为R,

口，八八26C2^/3

则OA=-x——x2=------,

323

在RtAO'OA中，OA2=O'A2+O'O2,

・•.”(”次,

2

S=4/rR—^-7io

9

点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。

例14.如图所示，球面上有四个点P、A、B、C,如果PA,PB,PC两两互相垂直，且

PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。

解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r,圆心为O，，球心到该圆面的距

离为d。

在三棱锥P—ABC中，：PA,PB,PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,

AB=BC=CA=V5a,且P在AABC内的射影即是AABC的中心01

H=2r,；.『必念

由正弦定理，得

sin6003

又根据球的截面的性质，有。O」平面ABC,而POU平面ABC,

；.P、0、0,共线，球的半径»C)7PA?一户

.*.OO'=R--0=d=J。？一产,(R-----a)2=R2-(—a)2,解得R=^a,

3332

S球=4nR2=3兀a2。

点评：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内

接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=一。，下略

题型9:球的面积、体积综合问题

例15.(1)表面积为324乃的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积。

(2)正四面体ABCD的棱长为°,球。是内切球，球Q是与正四面体的三个面和球。都相

切的一个小球，求球。1的体积。

解：(1)设球半径为R,正四棱柱底面边长为

则作轴截面如图，AA'=14,AC=42a,

又...4"7?2=324万,...尺=9,

AC=VAC,2-CC,2=872,.-.47=8,

S表=64x2+32x14=576

(2)如图，设球。半径为R,球Oi的半径为r,E为C。中点，球。与平面AC。、BCD

切于点RG,球。1与平面AC。切于点”

由题设

AG=VAE2-GE2=—a

3

V6

---ci-R，得R=*a

3______

AAOF^AAEG

A/3

—a

2

V6

---a-2R-r/7

AAOiHs4AOF.*1-一，得/一a

„R24

—ci—R

3

4V6

=—713

331728

点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等

题型10:球的经纬度、球面距离问题

例19.(1)我国首都靠近北纬40-纬线，求北纬40-纬线的长度等于多少人根？(地球半

径大约为6370左加)

(2)在半径为13cm的球面上有A,B,C三点，

AB=BC=AC=12cm,求球心到经过这三点的截面的距离。

解：(1)如图，A是北纬40-上一点，AK是它的半径，

・・・OK.LAK,

设C是北纬40八的纬线长，

•・,NAOB=NOAK=40、

C=2TT-AK=2Tt-OA-cosZOAK=2^-OAcos40^

«2x3.14x6370x0.7660«3.066xlO4(M

答：北纬40-纬线长约等于3.066x1()4历九.

(2)解：设经过A5,C三点的截面为。

设球心为O,连结00',则。。'，平面ABC,

•：AO'=-xl2x-=4^3,

23

OO,=V<9A2-OA,2=11,

所以，球心到截面距离为.

例16.在北纬45-圈上有A,3两点，设该纬度圈上A,3两点的劣弧

历

长为丁R（夫为地球半径），求仙两点间的球面距离

解：设北纬45一圈的半径为则”「，设。,为北纬45一圈的

圆心，AAOB=a,

._V2.V2V2

••ccv-TVH,•・Ra-7iH,

424

a=—,•-AB=>]2r=R,

2

n

AABC中，ZAOB=y,

TC

所以，两点的球面距离等于gR.

点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进

而求出这两点的球面距离

如图，在直三棱柱ABC-4与G中，E、尸分别是43、4。的中点，点。在与G上,

4。1B©

求证：(1)EF〃平面ABC;

(2)平面4万，平面

【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位

置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分

证明：(D因为E,F分别是4笈，4。的中点，所以EBC,又E3

BCu面ABC,所以EF〃平面ABC;

⑵因为直三棱柱ABC-A^,所以BB11面4BQ1,_14刀,

又所以耳。1面BBQQ,

又4。(^面42，所以平面4尸DJ.平面B瓦G。

五.【思维总结】

1.正四面体的性质设正四面体的棱长为a,则这个正四面体的

⑴全面积：S全=V^a2;

V2

(2)体积：V=-a3;

12

⑶对棱中点连线段的长：d=^a;