广东省广雅中学等校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题（原卷版+解析版）

2024－2025学年度高二年级3月联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.曲线在点处切线斜率为（

）A.2 B.1 C. D.2.已知首项为1的数列满足，则（）A. B. C. D.3.已知函数，则（

）A.0 B.1 C. D.4.已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（

）A. B. C. D.5.若函数在上单调递增，则最大值为（

）A.4 B.8 C.12 D.166.已知是函数的极小值点，则（

）A.-2 B.0 C.-1 D.-1或-27.记为等差数列的前项和，且，，则（）A.12 B.8 C.6 D.38.棱长为1的正方体中，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（

）（附：平面的截距式方程为：，其中分别为平面在轴上的截距）A. B. C. D.二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中；有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足，则（

）A.该玩具车位移的最大值为110B.该玩具车在内的平均速度为12.5C.该玩具车在时的瞬时速度为30D.该玩具车的速度和时间的关系式是10.记为首项为2的数列的前项和，已知，则（

）A. B.C. D.11.平行六面体的各棱长为1，且分别为，，，中点．若两两垂直，则（

）A. B.C. D.四面体的体积为三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数在上最大值为_______13.已知正项等比数列满足，则______14.曲线与曲线公切线斜率最大值为______．四，解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知圆，直线．（1）若与仅有一个交点，求；（2）设为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围．16.已知数列的前项积为，为公差不为0的等差数列，且，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，记的前项和为，证明：．17.已知曲线与曲线交于，两点．（1）求；（2）求的最小值．18.直椭圆柱体是指上下底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图，已知某直椭圆柱体的底面椭圆离心率为，高为椭圆短轴长的一半，上底面椭圆的长轴为，下底面椭圆的长轴为，点为上一点，过点作直线交椭圆于两点，设线段与线段的长度之比为.（1）当点为底面椭圆的焦点时，求的值；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值．19.已知双曲线的左顶点为，且过点的右支上有三点，满足．（1）求的方程；（2）求的面积；（3）求四边形面积最小值．

2024－2025学年度高二年级3月联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.曲线在点处的切线斜率为（

）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用商的导数来求切线斜率即可.【详解】求导得：，当时，切线斜率，故选：A.2.已知首项为1的数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用累乘法求解.【详解】依题意，.故选：A.3.已知函数，则（

）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】对函数两边同时求导，再由赋值法代入计算可得结果.【详解】由可得，令可得，解得.故选：C4.已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，得，从而抛物线方程为，即可求解.【详解】由题知，解得，所以抛物线，则的准线方程为，故选：B.5.若函数在上单调递增，则的最大值为（

）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】【分析】由函数在上单调递增，转化为在上恒成立，分离参数转化为求函数的最小值求解即可.【详解】因为，所以，由于在上单调递增，所以在上恒成立，在上恒成立，在上单调递增，所以在上的最小值为，所以，故的最大值为，故选：D6.已知是函数的极小值点，则（

）A.-2 B.0 C.-1 D.-1或-2【答案】A【解析】【分析】求得，根据是函数的极小值点，求得，得到，进而求得的值，得到答案.【详解】由函数，可得，因为是函数的极小值点，可得，解得或，当时，，此时函数在上单调递增，不符合题意，舍去；当时，，令，解得或；令，解得，所以在上单调递增，在上点单调递减，所以是函数的极小值点，符合题意，所以，此时，所以.故选：A.7.记为等差数列的前项和，且，，则（）A.12 B.8 C.6 D.3【答案】C【解析】【分析】由等差中项的性质，结合求和公式，可得答案.【详解】由，则，解得或，由，显然，解得.故选：C.8.棱长为1的正方体中，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（

）（附：平面的截距式方程为：，其中分别为平面在轴上的截距）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立坐标系，利用平面的法向量得出平面的截距式方程，再求关于平面的对称点为的坐标，则周长的最小值为.【详解】如图，以为原点，以为基底建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量，则，令，则，设平面与轴的交点为，则，则，得故平面的截距式方程为：，即，设关于平面的对称点为，则的中点为，，则，且，解得，即，则，因，故周长的最小值为.故选：D二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中；有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足，则（

）A.该玩具车位移最大值为110B.该玩具车在内的平均速度为12.5C.该玩具车在时的瞬时速度为30D.该玩具车的速度和时间的关系式是【答案】ACD【解析】【分析】利用二次函数性质可判断A正确，再由平均速度计算公式可得B错误，根据瞬时速度概念以及导数定义可得CD正确.详解】根据题意，由可得其导数，对于A，由二次函数性质可知当时，位移取得最大值，其最大值为，即A正确；对于B，该玩具车在内的平均速度为，因此该玩具车在内的平均速度为，可得B错误；对于C，由可知当时的瞬时速度为，即C正确；对于D，由于，所以该玩具车的速度和时间的关系式是，所以D正确.故选：ACD10.记为首项为2的数列的前项和，已知，则（

）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据已知给赋值即可判断，；由数列是周期为的周期数列即可判断，.【详解】当时，，因为，所以，故正确；当时，，所以，即，当时，，所以，即，故错误；所以数列是周期为的周期数列，所以，即，故正确；，所以，故错误.故选：.11.平行六面体的各棱长为1，且分别为，，，中点．若两两垂直，则（

）A. B.C. D.四面体的体积为【答案】ACD【解析】【分析】设，，，用，，表示，，，由向量线性运算及数量积的定义即可判断，，，由锥体的体积公式即可判断.【详解】设，，，因为平行六面体的棱长为1，所以，因为分别为，，，中点，所以，，，因为两两垂直，所以，，，因为，所以，所以，故正确；因为，所以，所以，故错误；因为，所以，所以，故正确；因为，，，平面，平面，所以平面，，，所以，所以是直角三角形，面积为，所以四面体的体积为，故正确.故选：.三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数在上的最大值为_______【答案】【解析】【分析】对函数求导并得出其在指定区间上的单调性，即可求得最大值.【详解】由可得，在上，恒成立，因此在上单调递增，所以的最大值为.故答案为：13.已知正项等比数列满足，则______【答案】【解析】【分析】根据等比数列定义及其通项公式列方程组即可求得结果.【详解】设正项等比数列的公比为，可知；因此可得，两式相除可得，解得或；可得或（舍）；因此.故答案为：14.曲线与曲线公切线斜率的最大值为______．【答案】e【解析】【分析】根据题意，求得与，得到，进利用导数求得函数的单调性，进而求得函数的最值.【详解】设公共切线与曲线切于点，与曲线切于点，因为曲线与曲线，可得与则，将代入可得，又因为可得，所以，将代入可得，设，则，可得在单调递增，在单调递减，所以，所以最大值为故答案为：四，解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知圆，直线．（1）若与仅有一个交点，求；（2）设为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可求；（2）利用求出点的轨迹圆的方程，则问题转化为该圆与直线存在公共点，再利用即可.【小问1详解】圆心，半径，因与仅有一个交点，则圆心到直线的距离，解得.【小问2详解】设点，由得，化简得，又点在直线上，则直线与圆存在公共点，则，解得，故取值范围为16.已知数列的前项积为，为公差不为0的等差数列，且，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，记的前项和为，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知可得，由递推关系，即可求解；（2）由已知可得，根据裂项相消法求和即可证明.【小问1详解】设等差数列的公差为，，因为成等比数列，所以，所以，解得，因为，所以，所以，当时，，当时上式成立，所以；【小问2详解】，，得证.17.已知曲线与曲线交于，两点．（1）求；（2）求的最小值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根据交点列式结合对数运算计算求值；（2）先根据交点坐标，参数分离再构造函数，应用导函数得出函数单调性即可求出最小值.【小问1详解】因为曲线与曲线交于两点，所以，化简得，即，所以，因为交点为，，所以或，所以；【小问2详解】因为，所以，所以，设，所以，当单调递减；当单调递增；所以，所以.18.直椭圆柱体是指上下底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图，已知某直椭圆柱体的底面椭圆离心率为，高为椭圆短轴长的一半，上底面椭圆的长轴为，下底面椭圆的长轴为，点为上一点，过点作直线交椭圆于两点，设线段与线段的长度之比为.（1）当点为底面椭圆的焦点时，求的值；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）令椭圆半焦距为c，利用椭圆的离心率，结合椭圆焦点与长轴两个端点的距离求出.（2）利用椭圆方程求出，由已知求出，借助对称性利用几何法求出夹角的余弦.【小问1详解】令椭圆半焦距为，由椭圆离心率为，得该椭圆的长半轴长，短半轴长，点为底面椭圆的焦点，则，，或，，所以的值是或.【小问2详解】由（1）知底面椭圆对应的标准方程为，设，由，得，解得，，由，得直线，与椭圆方程联立，得，则，由，平面平面，平面平面，平面，得平面，则点关于平面对称，过作于，连接，于是≌，，即，是二面角的平面角，连接，由平面，平面，得，，而，则，，而，则，，，所以平面与平面夹角的余弦值为.19.已知双曲线的左顶点为，且过点的右支上有三点，满足．（1）求的方程；（2）求的面积；（3）求四边形面积最小值．【答案】（1）；（2）6；（3）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，列方程求出即可得的方程.（2）设点，由此求出直线方程，与双曲线方程联立求出点的坐标，进而求出直线的方程，再求出三角形面积.（3）取弦的中点为，由（2）证得是的中点