河北省昌黎第一中学2025届高三上学期期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河北省昌黎第一中学2025届高三上学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx2−6<0，B=xA.1,6 B.0,6 C.2.若z2−i=z+2i3，则zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量a=1,3,b=−2,4，且a在b上的投影为A.5 B.6 C.24.已知α+β=π3，且sin2α+π6A.13 B.23 C.385.已知圆柱的底面半径等于球O的半径，圆柱的侧面积与球O的表面积之比为12，则圆柱外接球的体积与球O的体积之比为(

)A.334 B.3386.已知定义在R上的函数fx满足：fx+1为偶函数，fx+2−2为奇函数，且f3A.0 B.2 C.4 D.67.已知函数fx=2sinx−cosx在0,θ上的值域为−1,A.−12,2 B.−2,43 8.已知函数fx=2x−a+x−1−4恰好有A.−2,1 B.−3,1 C.−3,−2 D.−2,0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知2x−1n=anx+1nA.i=0nai=1 B.a0=110.已知数列an的前n项和为Sn=nn+12，bn=tanaA.2Sn=anan+1 B.11.由坐标原点O向双曲线y=kx(k>0)的各条切线作垂线，垂足对应的轨迹曲线C如下图所示，若k=2，点Px,y(xy>0)在曲线C上，则A.C的方程为x2+y22=4xy B.曲线C关于直线y=x对称

C.点P到两坐标轴距离之积的最大值为2 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线fx=xcosx在0,0处的切线被圆C:x−113.已知P是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上第一象限内的点，M在y轴的正半轴上，连接PM，并延长与x轴交于点N，且M恰好为PN的中点，点P关于x轴的对称点为Q，连接QM，设直线PM，QM的斜率分别为k114.2024年6月中专生姜萍以93分全球第12名的成绩入围全球数学竞赛决赛，成为社交媒体上的热门话题，也使数学竞赛成为各大高校关注的焦点．某高校借此热度在数学系举行了模拟数学竞赛，经过选拔之后组织了甲、乙两个竞赛队进行冠亚军争夺赛．比赛时，主持人先展示出一道题目，再从标有1，2，3，4的四张卡片中随机抽取一张，若数字为奇数，则由甲队答题，若数字为偶数，则由乙队答题，在规定时间内，若答对本题，则本队得10分，否则对手得10分．按照这种方式依次进行下一题的答题，直到其中一个队的得分超过另一个队30分，比赛结束，分高者为冠军．已知甲、乙答对每道题的概率分别为59、49，且互不影响，前3道题，甲队获得20分的概率为

，若第一个问题甲队得10分，恰好回答完第7道题后决出冠军，则乙队获得冠军的概率为

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinB+cosC=0(1)求C；(2)若a=2，记∠BAC的角平分线与BC交于点D，求AD．16.(本小题12分)如图，在三棱锥P−ABC中，O为AC的中点，D在线段PC上．已知PA=PC,AB=BC=2，∠ABC=120(1)求证：平面POB⊥平面ABC；(2)是否存在点D，使二面角D−AB−C的正切值为235？若存在，求出17.(本小题12分)已知函数f(1)若m=−2，求证：fx(2)当x∈0,+∞时，不等式fx≤2x+5恒成立，求18.(本小题12分)已知双曲线E:x2a2−y2b2(1)求E的方程；(2)过直线x=22上一点P，作双曲线E的两条切线，切点分别为A，B(i)求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；(ⅱ)已知点P在第一象限，A，B分别在第一、四象限，若▵PAB的面积为5306，求直线19.(本小题12分)若对∀n∈N∗，都有an−bn≤k(1)设an的前n项和Sn=1−12n,b1(2)若an=2n,(3)已知ai,bi∈1,2,3,4i=1,2,3,4，由数列an的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若an参考答案1.B

2.D

3.A

4.B

5.C

6.D

7.B

8.C

9.AD

10.AC

11.BCD

12.213.214.100243

；15.(1)因为c=3b，由正弦定理可得：sin所以sinC=−3又因为0<C<π，所以C=2π(2)由余弦定理可得c2=a又c=3b，则b2−b−2=0，解得：b=2，或b=−1(根据面积关系可得S▵ABC即12即3又sinπ12=

16.(1)由PA=PC,AB=BC，，O为AC的中点，故PO⊥AC、BO⊥AC，又PO∩BO=O，PO、BO⊂平面POB，故AC⊥平面POB，又AC⊂平面ABC，故平面POB⊥平面ABC；(2)由∠ABC=120∘，AB=BC=2，则故BO=22则有PO2+BO2=PB2，故故可以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O−xyz，则有O0,0,0、P0,0,3、B1,0,0、C则AB=1,3,0设PD=λPC，则AD=由z轴⊥平面ABC，故平面ABC的法向量可为m=设平面ABD的法向量为n=则有n令x=3，则y=−1，即平面ABD的法向量可取n=设二面角D−AB−C为θ，有tanθ=则cosθ=即有cosm化简得2λ−33λ−2=0，故λ=3由λ∈0,1，故λ=23

17.(1)fx=−2x则f′x令2x02+2x0−1=0则当x∈−1,x0时，f′x>0故fx在−1,x0则fx令ℎx=ln故ℎx在0,+∞上单调递减，故ℎ即当x>0时，lnx+1故f=4×−1+(2)fx令gx则g′x当m≤0时，mx+m−1≤0，则g′x≤0在故gx在0,+∞上单调递减，则g当m≥1时，mx+m−1≥0，则g′x≥0在故gx在0,+∞上单调递增，则g当0<m<1时，令mx+m−1=0，则x=1−m则当x∈0,1−mm时，g′x≤0故gx在0,1−mm由g2综上所述：m≤0．

18.(1)由已知得ca=2c−a=所以E:x(2)(i)引理：二次曲线px2+qy2=1(p,q不为(证明：二次曲线①px2+qy2=1(p,q不为显然①，②两方程相减得2px0x+2q由于点Mx由于①②，①③，②③联立之后是等价的同解方程组，所以直线③经过①②的所有公共点，且与①或②不可能再有其它的公共点，由于曲线①②只有点Mx0,y0当①是椭圆时，直线③与之有且只有点Mx当二次曲线①为双曲线时，②表示的是经过点Mx①②不可能再有除点Mx0,y0也就是说直线③与①有且只有点Mx0,所以它就是双曲线的切线．引理证毕.)设P22则A,B处的切线方程为x1因为它们都经过点P，所以为2所以直线AB的方程为2显然直线AB经过定点2(ii)设P22直线AB的方程为x−2ty−2=0，与则y1y1=1AB=点P到直线AB的距离d=若S▵PAB=1令2t2+1=5代入(∗)可得：u32−5u2=再设3u=v解得v=1，(负值舍去)，则u=13解得t=33，所以直线AB

19.(1)当n=1时，a1当n≥2时，an当n=1时，也a1=1所以bn+1所以bn所以an所以an与bn是“(2)由an所以an又an与bn为“4级相邻数列”，所以n2n令fn=n所以fn=n2n单调递减，所以f所以1(3)因为an与bn为“1当ai=1时，bi∈1,2有2种不同选择；ai=2时，bi∈1,2,3有3种不同选择；ai由数列an的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，所以M有1,2,1,3当M={1,2}时，数列an可能是1个1、3个2的排列(有4种不同的排列)；也可能是2个1、2个2的排列(有C42=6种不同的排列)；还可能是3个1、1个2的排列(有1个1、3个2的每一种排列，2个1、2个2的每一种排列，3个1、1个2的每一种排列对应的数