《备考指南一轮 数学 》课件-第4章 第3讲 第2课时

导数及其应用第四章第3讲导数的综合应用第2课时导数与函数的零点栏目导航02素养微专

直击高考01重难突破

能力提升03配套训练重难突破能力提升1示通法判断函数的零点个数时，需结合函数的单调性，按照一定标准进行分类讨论，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.判断零点的个数解：(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，所以设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.f′(x)＝2ax－2a＝2a(x－1)，所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.【解题技巧】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(g′(x)易求，且g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点，则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.

函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．已知函数零点个数求参数的取值范围解：(1)f(x)＝ax＋xlnx的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝a＋lnx＋1.由f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝－x＋xlnx，即f′(x)＝lnx，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1图象有两个不同的交点．由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，由题意得，m＋1>－1，即m>－2①，当0<x<e时，f(x)＝x(－1＋lnx)<0；当x>e时，f(x)>0.当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.由图象可知，m＋1<0，即m<－1②，由①②可得－2<m<－1.所以m的取值范围是(－2，－1)．【解题技巧】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．【变式精练】2．已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．解：(1)由题意知，f(x)的定义域为R，又f(0)＝1－a＝2，得a＝－1，所以f(x)＝ex－x＋1，求导得f′(x)＝ex－1.易知f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，所以当x＝0时，f(x)在[－2,1]上取得最小值2.②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝ln(－a)．在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝ln(－a)时，f(x)取最小值．函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，解得－e2<a<0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．函数零点的综合问题证明：(1)因为f(0)＝1－a<0，f(2)＝e2－2－a≥e2－4>0，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上存在零点．因为f′(x)＝ex－1，所以当x>0时，f′(x)>0，故函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点．素养微专直击高考2 (2020年重庆模拟)已知函数f(x)＝x2＋1x－xlnx.(1)设h(x)＝f′(x)(其中f′(x)是f(x)的导数)，求h(x)的最小值；(2)设g(x)＝ex－a＋x－af(x)，若g(x)有零点，求a的取值范围．【考查角度】导数与单调性及最值，函数性质的综合应用．【核心素养】数学运算、逻辑推理．思想方法类——数形结合思想在研究函数零点中的应用典例精析【思路导引】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求函数的单调性，进而可求函数的最小值；(2)结合导数与单调性关系及函数的零点判定定理及函数的性质即可求解．(2)①当a≤0时，由(1)知h(x)＝f′(x)≥1＋ln2＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当x≥1时，f(x)≥f(1)＝2＞0；当0＜x＜1时，xlnx＜0，x2＋x＞0，故f(x)＞0；而ex－a＋x＞0，故a≤0时，g(x)＝ex－a＋x－af(x)＞0，此时g(x)＝0无解；所以r(a)＞r(1)＝e2－5＞0，故存在x0＝e2a，使得g(x0)＞0.又g(1)＜0，故g(x)＝0在(1，e2a)上有解．综上所述，当a≥1时，g(x)有零点．【解题技巧】已知函数有零点，求参数的范围问题时，由于有些函数较为复杂，