《备考指南 文科数学》课件-第4章 第1讲

第四章第1讲[A级基础达标]1．(2018年济南模拟)在①160°；②480°；③－960°；④1530°这四个角中，属于第二象限角的是()A．① B．①②C．①②③ D．①②③④【答案】C【解析】①属于第二象限角；②由480°－360°＝120°，可知480°属于第二象限角；③由－960°＋3×360°＝120°，可知960°属于第二象限角；④1530°－4×360°＝90°，可知1530°不属于第二象限角．故选C．2．若α是第一象限的角，则eq\f(α,2)所在的象限是()A．第一象限 B．第一象限或第二象限C．第一象限或第三象限 D．第一象限或第四象限【答案】C【解析】因为α是第一象限的角，所以2kπ＜α＜2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，则kπ＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(π,4).故eq\f(α,2)是第一象限或第三象限角．故选C．3．(2018年桂林模拟)在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角弧度为()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】扇形的面积为1，所以扇形的弧长为2，所以扇形所对圆心角的弧度是2.故选B．4．(2018年湖南模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)【答案】B【解析】由题意得x＝－8m，y＝－6sin30°＝－3，r＝|OP|＝eq\r(64m2＋9)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，解得m＝eq\f(1,2).故选B．5．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是()A．sinα＋cosα＜0 B．tanα－sinα＜0C．cosα－tanα＜0 D．tanαsinα＜0【答案】B【解析】α是第三象限角，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，则A，C，D成立，B不成立．故选B．6．已知角α的终边经过点P(3，eq\r(3))，则与α终边相同的角的集合是________．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(π,6)))，k∈Z))【解析】因为角α的终边经过点P(3，eq\r(3))，则角α的终边在第一象限，且此角的正切值等于eq\f(\r(3),3)，故满足条件的锐角是eq\f(π,6)，则与α终边相同的角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))).7．(2018年榆林一模)若角α的终边经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))，则sinαtanα的值是________．【答案】eq\f(16,15)【解析】OP＝r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2)＝1，所以点P在单位圆上，所以sinα＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(－\f(4,5),\f(3,5))＝－eq\f(4,3)，得sinαtanα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝eq\f(16,15).8．(2018年济南校级期中)已知θ∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋－1k＋1·\f(π,4)，k∈Z))))，则角θ的终边所在的象限是________．【答案】第三或第四象限【解析】当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)π＋eq\f(π,4)，角θ的终边在第三象限．当k＝2n(n∈Z)时，α＝2nπ－eq\f(π,4)，角θ的终边在第四象限．9．一个扇形OAB的面积是1，它的周长是4，求圆心角的弧度数和弦长AB．【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2，))所以圆心角α＝eq\f(l,r)＝2.如图所示，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝1rad，所以AH＝1·sin1＝sin1.所以AB＝2sin1.所以圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin1.10．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ.【解析】因为θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，所以tanθ＝－eq\f(1,x).又tanθ＝－x，所以x2＝1，即x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝0；当x＝－1时，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝－eq\r(2).故sinθ＋cosθ的值为0或－eq\r(2).[B级能力提升]11．已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动eq\f(π,2)弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα等于()A．－1 B．1C．－2 D．2【答案】B【解析】圆的半径为2，eq\f(π,2)的弧长对应的圆心角为eq\f(π,4)，故以ON为终边的角为α＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，故tanα＝1.12．给出下列各函数值：①sin(－1000°)；②cos(－2200°)；③tan(－10)．其中符号为负的是()A．①② B．②C．③ D．①③【答案】C【解析】与－1000°终边相同的角是80°，所以－1000°是第一象限角，则sin(－1000°)>0；与－2200°终边相同的角是－40°，所以－2200°是第四象限角，则cos(－2200°)>0；－eq\f(7π,2)<－10<－3π，所以－10是第二象限角，则tan(－10)<0.13．(2018年营口模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为()A．2 B．sin2C．eq\f(2,sin1) D．2sin1【答案】C【解析】连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角为1弧度，故半径为eq\f(1,sin1)，这个圆心角所对的弧长为2×eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).故选C．14．(2018年牡丹江模拟)点P从点A(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达点Q，则点Q的坐标是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))【答案】A【解析】依题意得∠QOx＝eq\f(2π,3)，所以Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)，sin\f(2π,3)))，即Q点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).故选A．15．(2018年大庆模拟)已知cosx＝eq\f(2a－3,4－a)，x是第二、三象限角，则a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))【解析】因为x是第二、三象限角，所以－1＜eq\f(2a－3,4－a)＜0，解得－1＜a＜eq\f(3,2)，故a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))).16．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求角α的集合；(2)求eq\f(α,2)终边所在的象限；(3)试判断taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符号．【解析】(1)由sinα＜0，知角α在第三、第四象限或y轴的负半轴上；由tanα＞0,知角α在第一、第三象限，故角α在第三象限，其集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π<α<2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故eq\f(α,2)终边在第二、第四象限．(3)当eq\f(α,2)在第二象限时，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＞0，coseq\f(α,2)＜0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正号；当eq\f(α,2)在第四象限时，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＜0，coseq\f(α,2)＞0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)也取正号．因此，taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正号．17．如图所示，动点P，Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq\f(π,3)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq\f(π,6)弧度，求点P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．【解析】设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·eq\f(π,3)＋t·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－