2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题练习含解析新人教A版选修1-1

PAGE1-1.1.1命题[学生用书P77(单独成册)])[A基础达标]1．给出下列语句：①三角函数莫非不是函数吗？②和为有理数的两个数均为有理数．③一条直线与一个平面不是平行就是相交．④作△A′B′C′≌△ABC.⑤这是一棵大树．⑥求证eq\r(3)是无理数．⑦二次函数的图象太美啦！⑧4是集合{1，2，3，4}中的元素．其中命题的个数为()A．3 B．4C．6 D．7解析：选A.命题是指可以推断真假的陈述句，所以②③⑧是命题；①是反问句，不是命题；④⑥是祈使句，不是命题；⑤“大树”没有界定标准，不能推断真假，不是命题；⑦是感叹句，不是命题．2．下列命题中，为真命题的是()A．若x2＝4，则x＝2B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：选B.若x2＝4，则x＝±2，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C中命题为假命题，如“3，3，3”和“2，3，4”的平均数相等，但标准差明显不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝eq\f(\r(2),2)<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．3．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“标准大气压下，100℃时水沸腾”不是命题C．命题“对角线相互垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：选D.对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.4．命题“平行四边形的对角线既相互平分，也相互垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线相互平分B．这个四边形的对角线相互垂直C．这个四边形的对角线既相互平分，也相互垂直D．这个四边形是平行四边形解析：选C.把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.5．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：选C.方程无实数根时，应满意Δ＝a2－4<0，故当a＝0时符合条件．6．把命题“末位数字是4的整数肯定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为__________________________________．答案：若一个整数的末位数字是4，则它肯定能被2整除7．已知命题“函数f(x)＝cos2ωx－sin2ωx的最小正周期是π”是真命题，则实数ω的值为________．解析：依题意，得f(x)＝cos2ωx－sin2ωx＝cos2ωx，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2π,2ω)))＝π，解得ω＝±1.答案：±18．(2024·福州高二检测)下列命题是真命题的是__________(填序号)．①空集是任何一个集合的真子集；②函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；③若f(x)>M(M为常数)，则函数y＝f(x)的最小值为M；④若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝eq\f(f（2x）,x－1)的定义域为[0，1)．解析：空集是任何一个非空集合的真子集，故①是假命题；函数y＝2x(x∈N)的图象是一群孤立的点，故②是假命题；若f(x)>M(M为常数)，则函数y＝f(x)的最小值肯定不为M，故③是假命题；若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝eq\f(f（2x）,x－1)中的x应满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤2,x－1≠0))，解得0≤x<1，则g(x)的定义域为[0，1)，故④是真命题．答案：④9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断命题的真假．(1)当ac<bc时，a<b；(2)面积相等的两个三角形全等；(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.解：(1)若ac<bc，则a<b.由于ac<bc，c<0时，a>b，所以是假命题．(2)若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．是假命题．(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.是真命题．10．推断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．解：这是一个可以推断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题，理由如下：函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．[B实力提升]11．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是()A．红豆生南国 B．春来发几枝C．愿君多采撷 D．此物最相思解析：选A.“红豆生南国”是陈述句，所述事务在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.12．给出如下三个命题：①设a，b∈R，且ab≠0，若eq\f(a,b)＜1，则eq\f(b,a)＞1；②若四个非零实数a，b，c，d依次不成等比数列，则ad≠bc；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中假命题的序号是()A．①②③ B．①②C．②③ D．①③解析：选B.①举反例，eq\f(a,b)＝－1＜1，但eq\f(b,a)＝－1＜1，①是假命题；②举反例：a＝1，b＝2，c＝8，d＝16，说明此命题是假命题，②是假命题；③f(|x|)＝log2|x|，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(|－x|)＝log2|－x|＝f(|x|)，故f(|x|)是偶函数，③是真命题．13．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>eq\f(1＋a,5)，则x>1”．由命题为真命题可知eq\f(1＋a,5)≥1，解得a≥4；若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>eq\f(1＋a,5)”．由命题为真命题可知eq\f(1＋a,5)≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>eq\f(2,5)”．14．(选做题)(1)已知“方程ax2＋bx＋1＝0有解”是真命题，求a，b满意的条件；(2)已知命题“若x1<x2<0，则eq\f(a,x1)>eq\f(a,x2)”是假命题，求a满意的条件．解：(1)因为ax2＋bx＋1＝0有解，所以当a＝0时，bx＋1＝0有解，只有b≠0时，方程有解x＝－eq\f(1,b).当a≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为Δ＝b2－4a≥0.综上，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，