2025年高考数学必刷题分类：第26讲、导数同构（学生版）

第26讲导数同构

知识梳理

方法技巧总结一、常见的同构函数图像

函数表达式图像函数表达式图像

ylnxx

ylnxx函数极值点

1,1

lnx

yxlnxy

x

函数极值点函数极值点

111

,e,

eee

x

yyexx

lnx

函数极值点过定点

e,e0,1

yxex

yexx

函数极值点

函数极值点

1

0,11,

e

x

exy

yex

x

函数极值点

函数极值点

1

1,

1,ee

方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题

1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式

2、同构式的应用：

（1）在方程中的应用：如果方程fa0和fb0呈现同构特征，则a,b可视为

方程fx0的两个根

（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为

一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>

①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：fxxex，fxexx；寻找“亲

戚函数”是关键；

③信手拈来凑同构，凑常数、x、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性

求参数范围．

（3）在解析几何中的应用：如果Ax1,y1,Bx2,y2满足的方程为同构式，则A,B为

方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方

程

（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于an,n与

an1,n1的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

3、常见的指数放缩：exx1(x0);exex(x1)

1x

4、常见的对数放缩：1lnxx1(x1);lnx(xe)

xe

5、常见三角函数的放缩：x0,,sinxxtanx

2

6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：

（1）当a0且a1,x0时，有alogaxx

（）当且时，有x

2a0a1logaax

再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中x0）

xxlnxx

（3）xee;xlnxlnxe

xx

ee

（4）exlnx:xlnxln

xx

2xx2lnx2x

（5）xee;x2lnxlnxe

xx

ee

（6）ex2lnx,ex2lnx

x2x2

x

再结合常用的切线不等式lnxx-1，lnx,exx1,exex等，可以得到更多的

e

结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：

xxlnxxx

（7）xeexlnx1；xlnxlnxexe1

xxlnxx

xeee(xlnx)xxex1

（8）；xlnxlnxexe

e

7、同构式问题中通常构造亲戚函数xex与xlnx，常见模型有：

lnx1

①axlogxexlnaxlnaexlnaxlnxlnxelnxxlnalnxaee；

alna

lnx1

②exexlnxxexxlnxxexlnxelnxxlnx；

e

③eaxaxlnx1x1elnx1lnx1axlnx1

8、乘法同构、加法同构

（1）乘法同构，即乘x同构，如lnaexlnalnxxlnaexlnalnxelnx；

（）加法同构，即加同构，如xxlogax，

2xalogaxaxlogaxxalogax

（3）两种构法的区别：

①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数xex与xlnx易实现，但构造的函数xex与xlnx

均不是单调函数；

②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不

等式求参数范围；

必考题型全归纳

题型一：不等式同构

1ln5ln3

例1．（2024·四川达州·高二校考阶段练习）已知a,b,c,，且5lna，3lnb，

eab

ln2

2lnc，则（）

c

A．b<c<aB．cba

C．acbD．abc

ln2

例2．（2024·湖北黄石·高二校考期中）已知a,b,c(1,)．且a22lna1，

2

1lnπ

b22lnb1，c22lnc1，则（）

eπ

A．bacB．bca

C．abcD．cab

例3．（2024·陕西榆林·高二校考期末）已知a，b，c(0,1)，且a5lnaln5，b4lnbln4，

c3lncln3，则a，b，c的大小关系是（）

A．b<c<aB．acbC．abcD．cba

8

变式1．（2024·河南·高二校联考期中）已知a0.5ln2，b0.4ln5ln2，cln3ln2，

9

则a，b，c的大小顺序是（）

A．abcB．bac

C．cbaD．acb

变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知0xyπ，且eysinxexsiny，其中e为自然

对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）

A．cosxcosy0B．cosxcosy0

C．cosxsinyD．sinxsiny

变式3．（2024·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）已知函数f(x)的导数f(x)满

足f(x)(x1)f(x)0对xR恒成立，且实数x，y满足(x1)f(x)(y1)f(y)0，则

下列关系式恒成立的是（）

11xy

xy

A．33B．eeC．D．xysinxsiny

x1y1exey

题型二：同构变形

例4．（2024·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函

数．

kx

(1)log2xk20；

1

(2)e2xlnx0；

m

2；

(3)xlnxmex0

ax1

(4)ae12xlnx；

x

(5)alnx12x1ax2ex；

(6)xalnxexxa(x1)；

(7)ex2xlnx0；

(8)x2exlnx0．

题型三：零点同构

5

x12xsinx13

例．（全国高三专题练习）设，满足，则xy（）

52024··x,yR5

y12ysiny11

A．0B．2C．4D．6

例6．（2024·全国·高二专题练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两

个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于a的

31

方程aea2e4和关于b的方程b(lnb2)ea,bR可化为同构方程，则ab的值为（）

A．e8B．eC．ln6D．1

axlnx

例7．（2024·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数fx和gx

exax

有相同的最大值b.

(1)求a,b；

(2)证明：存在直线ym，其与两条曲线yfx和ygx共有三个不同的交点，并且从

左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

变式4．（2024·安徽安庆·高三校联考阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､

形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.

若关于a的方程aeae6和关于b的方程b(lnb2)e31(a,bR)可化为同构方程.

（1）求ab的值；

1

（2）已知函数f(x)x(lnx).若斜率为k的直线与曲线yf'(x)相交于A(x,y)，

311

1

B(x,y)(xx)两点，求证：.xx

22121k2

变式5．（2024·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数fx的定义域为D，若函

数fx满足条件：存在a,bD，使fx在a,b上的值域为ma,mb（其中m0,1)，则

称fx为区间a,b上的“m倍缩函数”.

111

(1)证明：函数fxx3为区间,上的“倍缩函数”；

224

1

(2)若存在a,bR，使函数fxlog2xt为a,b上的“倍缩函数”，求实数t的取值

22

范围；

k

(3)给定常数k0，以及关于x的函数fx1，是否存在实数a,b(ab)，使fx为区

x

间a,b上的“1倍缩函数”.若存在，请求出a,b的值；若不存在，请说明理由.

变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxlnx1x1．

(1)求函数fx的单调区间；

(2)设函数gxaexxlna，若函数Fxfxgx有两个零点，求实数a的取值范

围．

变式7．（2024·全国·统考高考真题）已知函数f(x)exax和g(x)axlnx有相同的最小

值．

(1)求a；

(2)证明：存在直线yb，其与两条曲线yf(x)和yg(x)共有三个不同的交点，并且从

左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

blnx

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxaxllnx和gx有相同的最

x

大值，并且abe.

(1)求a,b；

(2)证明：存在直线yk，其与两条曲线yfx和ygx共有三个不同的交点，且从左

到右的三个交点的横坐标成等比数列.

xlnmx

变式9．（2024·江苏常州·高三统考阶段练习）已知函数fx和gx有相同

emxx

的最大值.

(1)求实数m的值；

(2)证明：存在直线yn，其与两曲线yfx和ygx共有三个不同的交点，并且从左

到右的三个交点的横坐标成等比数列.

题型四：利用同构解决不等式恒成立问题

例8．（2024·全国·高三专题练习）完成下列各问

（1）已知函数fxxexaxlnx，若fx0恒成立，则实数a的取值范围是_______；

（2）已知函数fxxexaxlnx1，若fx0恒成立，则正数a的取值范围是_______；

（3）已知函数fxxex+eaxlnx1，若fx0恒成立，则正数a的取值范围是

_______；

（4）已知不等式xexax1lnx对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；

（5）已知函数fxxbexalnxx1(x1)，其中b0，若fx0恒成立，则实数a与

b的大小关系是_______；

（6）已知函数fxaexlnx1，若fx0恒成立，则实数a的取值范围是_______；

（7）已知函数fxae2xln2x1，若fx0恒成立，则实数a的取值范围是_______；

（8）已知不等式ex1kxlnx，对x0，恒成立，则k的最大值为_______；

（9）若不等式axxeaxlnx10对x0恒成立，则实数a的取值范围是_______；

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知fxx2023.设实数m0，若对任意的正实数x，不

mxlnx

等式fef恒成立，则m的最小值为___________.

m

1

例10．（2024·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式xmlnxxm对

ex

x1,恒成立，则实数m的最小值为__________.

lnx

变式10．设实数0，若对任意的x(0,)，不等式ex0恒成立，则的最小值

为()

112e

A．B．C．D．

e2ee3

a

变式11．设实数a0，若对任意的x[e，)，不等式aexx2lnx0恒成立，则a的最

大值为()

12e

A．B．C．D．e

ee2

a

变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxxlnaex，gxx2x，当

x

x0,时，fxgx恒成立，则实数a的取值范围是（）

11

A．,B．,C．1,D．e,

e2e

变式13．（2024·云南·校联考模拟预测）已知函数fxlnx2x2，gxaexxlna.

(1)求函数fx的极值；

(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.

①若fxgx恒成立，求实数a的取值范围；

②若关于x的方程fxgx有两个实根，求实数a的取值范围.

题型五：利用同构求最值

例11．（2024·全国·高二专题练习）“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将x化成xlnex，

lnx

xelnxx0的变形技巧.已知函数fxxex，gx，若fxgxt0，则

x12

x1

t的最大值为（）

x2e

11

A．B．C．1D．e

e2e

例12．（2024·全国·高二期末）已知函数f(x)xln(x1),g(x)xlnx，若

22

fx112lnt,gx2t，则x1x2x2lnt的最小值为（）

1112

A．B．C．D．

e2ee2e

例13．（2024·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数fxxlnx1，gxxlnx，

2

若fx112lnt，gx2t，则x1x2x2lnt的最小值为（）

1112

A．B．C．D．

e2e2ee

变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)xln(x1),g(x)xlnx，若

2lnt

fx112lnt,gx2t，则的最大值为（）

x1x2x2

111

A．B．C．2D．e

2eee